1.2.3直线的一般式方程 学案 -2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

1.2.3　直线的一般式方程 [学习目标]　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.理解并掌握含参数的直线的一般式方程.4.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 一、直线的一般式方程 问题1　任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？ 问题2　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 知识梳理 方程__________(A，B不全为0)叫作直线的__________． 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 反思感悟　求直线的一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 跟踪训练1　(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________； ②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为________________； ③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________． (2)在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________． 二、直线的一般式方程化为其他形式的方程 例2　(1)已知直线Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，则直线不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： ①直线l在x轴上的截距是－3； ②直线l的斜率是－1. 延伸探究　对于本例(2)中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值． 反思感悟　含参数的一般式方程的处理方法 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 跟踪训练2　(1)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B．2 C．1 D. (2)若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的(　　) 三、直线一般式方程的应用 例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 延伸探究　本例中若直线l在y轴上的截距为2，求a的值，这时直线l的一般式方程是什么？ 反思感悟　已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 跟踪训练3　直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 1．知识清单： (1)直线方程的一般式方程． (2)直线五种形式方程的互化． (3)直线一般式方程的应用． 2．方法归纳：分类讨论法、转化与化归． 3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况． 1．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 2．直线2x＋3y＋6＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点________． 4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________． 1.2.3　直线的一般式方程 问题1　当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程． 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0×y－x1＝0.此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程． 因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示． 问题2　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成 y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线． 当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成 x＝－，它表示垂直于x轴的直线． 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线． 知识梳理 Ax＋By＋C＝0　一般式方程 例1　解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 跟踪训练1　(1)①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0 ③x＋y－1＝0 (2)x－y－6＝0 解析　设直线的斜截式方程为y＝kx＋b(k≠0)，则由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0. 例2　(1)A　[直线Ax＋By＋C＝0化为y＝－x－， 又AB>0，BC>0，所以－<0，－<0，则直线不经过第一象限．] (2)解　①当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3，且m2－2m－3≠0， 解得m＝－. ②当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2. 延伸探究　 解　∵直线l与y轴平行， ∴解得m＝. 跟踪训练2　(1)D　[由题意得，直线与坐标轴的交点为(1,0)，(0，－1)，故所求三角形的面积为.] (2)D　[直线ax＋by＋c＝0化为y＝－x－，因为a，b，c都大于0，所以－<0，－<0，所以直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的D.] 例3　(1)证明　将直线l的方程整理为 y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A，又点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． (2)解　直线OA的斜率为k＝＝3. 如图所示， 要使直线l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a≥3. 延伸探究　 解　把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋. 由条件可知＝2， 解得a＝－7， 这时直线l的一般式方程为7x＋y－2＝0. 跟踪训练3　解　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝. ∵直线l在两坐标轴上的截距相等， ∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0. 综上，a的值为2或0. (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 故要使直线l不经过第二象限，只需 解得a≤－1. ∴实数a的取值范围为(－∞，－1]． 随堂演练 1．C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°.] 2．A　[2x＋3y＋6＝0即y＝－x－2， ∴k＝－，在y轴上的截距为－2，∴直线不经过第一象限．] 3．(－2,1) 解析　直线l：kx－y＋1＋2k＝0， 即y－1＝k(x＋2)． 由直线的点斜式可知直线过定点(－2,1)． 4．3 解析　由已知得∴m＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$