1.3 《正方形的性质与判定(1)》课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定(1) 情境引入 在生活中，我们见过很多类似于下面的图形，你能描述一下它们的特征吗？ 议一议 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 议一议：(1)正方形是矩形吗？是菱形吗? 2 2 3 3 2.5 2.5 下面的平行四边形的共同特征是什么？ 正方形定义： 平行四边形 一组邻边相等 有一个角是直角 菱形 矩形 正方形 议一议 正方形有哪些性质？ 从定义可知：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质. 边 角 对角线 对称性 菱形 矩形 正方形 性质比较 对边平行； 四条边相等. 对边平行； 对边相等. 对边平行； 四条边相等. 对角相等； 邻角互补. 四个角相等； 都是直角. 四个角相等； 都是直角. 对角线互相平分； 对角线互相垂直. 对角线互相平分； 对角线相等. 对角线互相垂直平分； 对角线相等. 轴对称图形； 中心对称图形. 轴对称图形； 中心对称图形. 轴对称图形； 中心对称图形. B D C A 猜想1： 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 猜一猜 猜想2： 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形的性质 D B C A O 证一证 猜想1：正方形的四个角都是直角，四条边相等. B D C A 已知：四边形ABCD是正方形，∠A = 900，AB = BC. 求证:(1)∠A =∠B =∠C =∠D = 900；(2)AB = BC = CD = DA. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC,AB∥CD,∠C =∠A = 900， ∴∠A＋∠B =1800,∠A＋∠D =1800. ∵∠A = 900， ∴∠B =∠D = 900. 即∠A =∠B =∠C =∠D = 900. (2)∵四边形ABCD是正方形, ∴AD = BC,AB = CD. ∵AB = BC, ∴AB = BC = CD = DA. 几何语言： ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 900. AB = BC = CD = DA. 正方形的性质总结 议一议 定理1 正方形的四个角都是直角，四条边相等. B D C A 证一证 猜想2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD交于点O. 求证：AC = BD, AC ⊥ BD , OA = OC , OB = OD. D B C A O 证明:∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB = BC = CD, OA = OC , OB = OD, ∠ABC = ∠DCB = 90°. ∴ AC⊥BD. ∵ BC = CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS), ∴AC = BD. 几何语言： ∵四边形ABCD是正方形, ∴OA = OC,OB = OD,AC = BD,AC⊥BD. 正方形的性质总结 议一议 定理2 正方形的对角线相等且互相垂直平分. D B C A O 将一张正方形纸片对折，它有几条对称轴? 正方形有4条对称轴： 经过每组对边中点的直线（2条） 和对角线所在的直线（2条）. 想一想 D B C A O 例题讲解 解：BE = DF,且BE⊥DF.理由如下： (1)∵四边形ABCD是正方形， ∴BC = DC,∠BCE = 90°， ∴∠DCF = 180-∠BCE = 180-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. (2)延长BE交DF于点M, 如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上 一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 例1 又∵CE = CF, ∴△BCE≌△DCF(SAS). ∴BE = DF. M ∵△BCE ≌ △DCF， ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF＋∠F = 90°， ∴∠CBE＋∠F = 90°. ∴∠BMF=90°, ∴BE⊥DF. 议一议 . 更具体的关系呢？ 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗？与同伴交流. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的具体关系： 平行四边形 菱形 有一组邻边相等 有一角是直角 有一角 是直角 有一组邻边相等 矩形 正方形 有一角是直角，有一组邻边相等 随堂练习 1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中 有多少个等腰三角形？ 2.如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接AF,CF. 你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. D B C A O 解：△ABD≌△CBD;△ABF≌△CBF;△DAF≌△DCF. 证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AB = BC = AD， ∠DAB =∠ABC = 900. ∴∠ABD =∠ADB = 450. ∴∠DBC = 450 =∠ABD. 求证：△ABF≌△CBF. ∵AB = BC,BF = BF, ∴△ABF≌△CBF. 共8个三角形：△OAB，△OBC，△OCD，△ODA， △ABC，△ADC，△ABD，△CBD. 1.对角线长为2cm的正方形，边长是多少? 习题1.3 A B C D 2 解:如图,正方形ABCD的对角线AC = 2. ∵四边形ABCD是正方形 ， ∴AB = BC = CD = DA，∠ABC = 900. 习题1.3 2.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB的度数. 解：∵四边形ABCD是正方形 ， ∴AB = BC ，∠ABC = 900. ∵△CBE是等边三角形， ∴BE = BC = CE, ∠EBC = 600. ∴AB = BE ，∠ABE = 900－ 600 = 300. 习题1.7 3.如图，A,B,C,D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上， 仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD = QC. 求证：BP = AQ，BP⊥AQ. A B C D P Q O 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB = AD = DC, ∠BAD =∠ADC = 900. ∵PD = QC, ∴AD－PD = DC－CQ， 即AP = DQ. ∴△BAP≌△ADQ(SAS). ∴BP = AQ,∠ABP =∠DAQ. ∵∠BAD = 900, ∴∠ABP＋∠APB=900， ∴∠DAQ＋∠APB=900， ∴∠AOP = 900. 即BP⊥AQ. 习题1.7 4.在一个正方形ABCD的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？(至少说出三种) A B C D A B C D A B C D 以上的方法有什么共同特点？ 课堂小结 1.正方形的性质：包括边、角、对角线以及对称性. 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系. 平行四边形 菱形 有一组邻边相等 有一角是直角 有一角 是直角 有一组邻边相等 矩形 正方形 有一角是直角，有一组邻边相等 作 业 教材第26第6题 再 见 $$