1.3 《正方形的性质与判定(2)》课件　2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.3 正方形的性质与判定(2) 第一章 特殊平行四边形 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？ 情景引入 猜想： 1. 的矩形是正方形. 2. 的矩形是正方形. 3. 的菱形是正方形. 4. 的菱形是正方形. 有一组邻边相等 对角线互相垂直 有一个角是直角 对角线相等 你能试着证明这些定理吗？ A B C D O 1.有一组邻边相等的矩形是正方形； 2.对角线互相垂直的矩形是正方形； 3.有一个角是直角的菱形是正方形； 4.对角线相等的菱形是正方形. 试一试 正方形已有的判定方法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形. 求证以下定理： A B C D O 证一证 正方形已有的判定方法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形. 证明：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD是矩形，AB = BC. 求证：四边形ABCD是正方形. A B C D ∵AB = BC， ∴矩形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B = 90°. 学一学 正方形形判定定理1： 有一组邻边相等的矩形是正方形. A B C D 几何语言 ∵四边形ABCD是矩形，AB = BC, ∴矩形ABCD是正方形. 正方形已有的判定方法：1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形 ； 2.有一组邻边相等的矩形是正方形. 证明：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D O 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC = 90°,OB = OD. ∵ AC⊥BD, ∴AC垂直平分BD, ∴AB = AD. ∴矩形ABCD是正方形. 学一学 正方形形判定定理2： 对角线互相垂直的矩形是正方形. 几何语言 ∵四边形ABCD是矩形，AC ⊥ BD, ∴矩形ABCD是正方形. A B C D O 正方形已有的判定方法：1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形 ； 2.有一组邻边相等的矩形是正方形. 3.对角线互相垂直的矩形是正方形. 证明：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD是菱形，∠B = 90°. 求证：四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = BC. ∵∠B = 90°., ∴菱形ABCD是正方形. 学一学 正方形形判定定理3： 有一个角是直角的菱形是正方形. 几何语言 ∵四边形ABCD是菱形，∠B = 90°, ∴菱形ABCD是正方形. A B C D 证明：对角线相等的菱形是正方形. 证一证 已知：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O,AC = BD. 求证：四边形ABCD是正方形. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = BC = CD，AB∥CD， ∴∠ABC＋∠DCB = 1800. ∵AC = BD，BC = CB, ∴△ABC≌△DCB(SSS). ∴∠ABC = ∠DCB. ∵∠ABC＋∠DCB = 1800， ∴∠ABC = 900. ∴菱形ABCD是正方形. 正方形已有的判定方法：1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形 ；2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.对角 线互相垂直的矩形是正方形；4.有一个角是直角的菱形是正方形； 学一学 正方形形判定定理4： 对角线相等的菱形是正方形. 几何语言 ∵四边形ABCD是菱形，AC = BD, ∴菱形ABCD是正方形. A B C D O 定理总结 正方形的判定定理： 1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 4.对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形 . 想一想 平行四边形 矩形 正方形 有一组邻边相等 对角线相等 对角线垂直 已知:如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 例2 例题讲解 证明:∵BF∥CE，CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形. 在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB=45°， ∴∠BEC=90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 习题1.8 2.已知：如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE = DF. 求证：四边形AECF是菱形. 证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴AB = BC = CD = AD, AD∥BC. ∴∠ADF = ∠ABE,∠ADF = ∠CBE. ∵DF = BE， ∴△ADF≌△ABE, △ADF≌△CBE. ∴AF = AE , AF = CE . 同理AE = CF . ∴AF = AE = CE = CF. ∴四边形AECF是菱形（四边相等的四边形是菱形）. 你还有其他方法吗？ 习题1.8 2.已知：如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE = DF. 求证：四边形AECF是菱形. 证明：连接AC,设与BD交于点O. ∴平行四边形四边形AECF是菱形. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD , OA = OC , OB = OD, O ∵BE = DF， ∴OD －DF = OB －BE， 即OF = OE. ∵OA = OC , ∴四边形AECCF是平行四边形. ∵AC⊥EF , [方法二] 习题1.8 3.如图,在正方形ABCD中, E,F,G,H分别在它的四条边上, AE=BF=CG=DH. 四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？ 解：四边形EFGH是正方形. 证明:∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°, AB = BC = CD = DA. ∵ AE = BF = CG = DH. ∴ AB－AE = BC－BF = CD－CG = AD－DH， 即 BE = CF = DG = DH， ∴△EBF≌△FCG ≌△ GDH ≌△ HAE. ∴EF = FG = GH = HE , ∴四边形EFGH是菱形. 1 2 3 ∠1=∠2 . ∵∠B = 90°, ∴∠2＋∠3 = 90°, ∴∠1＋∠3 = 90°, ∴∠HEF = 180°－(∠1＋∠3) = 90°. ∴菱形四边形EFGH是正方形. 习题1.8 4.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形 ABCD的边长相等，在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形 重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论. 证明：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是正方形， ∴AC = BD ,AC ⊥ BD ,OA = OC ,OB = OD, ∠ABC = 90°，∠A′OC′= 90°. ∴∠BOC = 90°，OB = OC, ∴∠OBC = ∠OCB = 45°， ∴∠OBE = 90°－45°= 45°=∠OCF. A B C D O A' B' C' E F ∵∠A′OC′ = ∠BOC， ∴∠A′OC′－∠BOF = ∠BOC－∠ BOF ， 即∠EOB = ∠FOC. ∴△EOB≌△FOC. ∴S△EOB = S△FOC. ∴S△EOB＋S △OBF= S△FOC ＋S △OBF. 想一想 1.如图，在ΔABC中，EF为ΔABC的中位线， ①若∠BEF = 70°，则∠A= . ②若AC = 8cm,则EF= . B F E C A 700 4cm 即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 猜一猜 1.四边形ABCD中，AC是对角线，点E、F、G、H分 别是边AB，BC，CD，DA的中点，则EF和GH有怎 样的关系？EH和FG呢？ D H G B F E C A 2.四边形EFGH是什么样的特殊四边形？ 像这样连接四边形四条边中点的四边形 我们通常称之为中点四边形. 我们发现任意一个四边形的中点四边形是平行四边形. 如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？ 平行四边形 矩形 菱形 正方形 议一议 我们讨论当原四边形为以下四边形时，中点四边形是什么样的特殊四边形. 对角线垂直的四边形 对角线相等的四边形 对角线垂直且相等的四边形 特殊四边形的中点四边形： 平行四边形的中点四边形是 . 菱形的中点四边形是 . 矩形的中点四边形是 . 正方形的中点四边形是 . 议一议 平行四边形 菱形 矩形 正方形 特殊四边形的中点四边形： 议一议 对角线垂直的四边形 中点四边形的形状是 . 对角线相等的四边形 中点四边形的形状是 . 对角线垂直且相等的四边形 中点四边形的形状是 . 菱形 矩形 正方形 ◆平行四边形的中点四边形是 . ◆矩形的中点四边形是 . ◆菱形的中点四边形是 . ◆正方形的中点四边形是 . ◆对角线垂直的四边形的中点四边形是 . ◆对角线相等的四边形的中点四边形是 . ◆对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是 . 结论总结 特殊四边形的中点四边形： 平行四边形 菱形 矩形 正方形 矩形 菱形 正方形 一般四边形的中点四边形： 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 结论总结 特殊四边形的中点四边形： 平行四边形 菱形 矩形 正方形 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的 对角线的长度和位置关系 一、正方形的判定定理： 1.有一个角是直角的菱形是正方形； 2.对角线相等的菱形是正方形； 3.有一组邻边相等的矩形是正方形； 4.对角线垂直的矩形是正方形. A B C D O 课堂小结 二、特殊四边形的中点四边形： 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 作 业 教材26页第5题. 再 见 $$