1.1 菱形的性质与判定(1) 课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定(1) 图片中有你熟悉的图形吗？ 情境引入 图2与图1相比，这种平行四边形特殊在哪里？ 你能给这种平行四边形下个定义吗？ 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 概念总结 图1 图2 菱形定义： 菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.例如： 显然菱形的对边 ，对角 ，对角线 . 菱形此外还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流. 想一想 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行 对边相等 对角相等 邻角互补 互相平分 中心对称 图形 平行且相等 相等 互相平分 (1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 对称轴之间有什么位置关系？ 做一做 (2)菱形中有哪些相等的线段？ 请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： 有两条对称轴：直线AC和直线BD.并且AC⊥BD. 菱形的四条边都相等，即 AB = BC = CD = DA. 1.菱形是 图形，有 条对称轴，是菱形两条对角线 所在的直线； 猜一猜 3.菱形的邻边 ，对边 ，四条边 . 轴对称 两 2.菱形的两条对称轴互相垂直，从而菱形的对角线 . 互相垂直 相等 相等 都相等 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)AB = BC = CD = AD； (2)AC⊥BD. 证一证 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）. 又∵AB = AD， ∴AB = BC = CD = AD. (2) ∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD.（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中 ∵OB = OD, ∴AO⊥BD, 即AC⊥BD. 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外， 还有一般的平行四边形所没有的特殊性质： 定理1 定理2 定理总结 菱形的四条边都相等. 菱形的两条对角线互相垂直. 即：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB = BC = CD = DA. 即：∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD. 解:∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = AD(菱形的四条边相等)， AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB=OD= BD= ×6=3(菱形的对角线互相平分).     在等腰三角形ABD中， ∵∠BAD = 60°, ∴ △ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD = 60°， BD = 6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 例题学习 随堂练习 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长. 习题1.1 1.已知:如图，在菱形ABCD中,∠BAD = 2∠B.求证:△ABC是等边三角形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC ,AB = BC. ∴∠B＋∠BAD=180°. ∵∠BAD = 2∠B， ∴ 3∠B = 180°, ∴ ∠B = 60°. ∵ AB = BC ， ∴△ABC是等边三角形. 2.如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长. 习题1.1 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = BC = CD = DA, AC⊥BD ,OA = OC, OB = OD， ∴∠AOD = 90°. ∵BD = 6，AC = 8， ∴OA = AC = 4, OD = BD = 3.     在Rt△AOC中，由勾股定理得 ∴AB=BC=CD=5, ∴菱形ABCD的面积为20.   习题1.1 3.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 求证：AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ABC和∠ADC. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = AD，CD = CB. AC⊥BD. ∴AC平分∠BAD ,AC平分∠BCD. 同理，BD平分∠ABC和∠ADC. 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三 角形和直角三角形？ A B C D O 解：等腰三角形有△ABD，△CBD，△ABC，△ADC. 直角三角形有△ABO，△ADO，△BCO，△DCO. 习题1.1 课堂小结 1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所 在的直线；菱形也是中心对称图形； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分. 3.菱形具有平行四边形的所有性质. 应用菱形的性质可以进行计算和推理证明. 作 业 教材第26页第1题. 再 见 $$