1.1 《菱形的性质与判定(2)》课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定(2) 复习回顾 1. 的平行四边形叫做菱形. 2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,当 时， 四边形ABCD是一个菱形. 有一组邻边相等 3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且AC=10cm, BD=24cm,则菱形ABCD的周长为 cm. AB=AD 52 A B C D O A B C D O A D B C 0 探一探 菱形的判定方法 【活动一】应用平行四边形对角线的特殊位置来判定. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将BD绕着点O旋转一定的角度，使BD⊥AC,这时我们的得到的四边形是菱形吗？你能得到什么猜想？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴□ABCD是菱形(菱形定义). ∴BA=BC. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD. 求证: □ABCD是菱形. 证一证 定理总结 菱形判定定理1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. 几何语言 【活动二 】应用边的数量关系判定四边形是菱形. 已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条 对角线吗? A C A C B D 小刚的作法： 1.分别以A,C为圆心，以大于 AC的长为半径作 弧，两条弧分别相交于点B,D； 小刚认为四边形ABCD就是所求菱形，你认为对吗？ 你有什么猜想？ 2.依次连接A,B,C,D,得到四边形ABCD. 猜想： 的四边形是菱形. 四条边相等 探一探 菱形的判定方法 已知:如图,四边形ABCD中,AB = BC = CD = DA. 求证: 四边形ABCD是菱形. 证一证 证明:∵AB = CD, AD = BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB = BC, ∴平行四边形ABCD是菱形(菱形定义). 四条边相等的四边形是菱形 定理总结 菱形判定定理2 四边相等的四边形是菱形. ∵四边形ABCD中，AB = BC = CD = DA ∴四边形ABCD是菱形. 几何语言 注意：在使用本条定理判定菱形时，不需要先判定四边形是 平行四边形，只要是一般的四边形即可. 做一做 你能用折纸等办法得到一个菱形吗? 动手试一试. 先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚线剪下, 将纸展开,就得到了一个菱形. 你能说说这样做的道理吗? 做一做 如图，根据轴对称性可知，四边形的四条边相等，因此展开后得到的四边形是菱形. 证明：在△AOB中, ∴AB2 = OA2＋OB2 . ∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形) . 例题学习   随堂练习 画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4cm和6cm. O A C B D 如图，即为所求作菱形. 习题1.2 1.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC 相交于点E，O，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAC=∠ACF，∠AEF=∠EFC. ∵EF垂直平分AC, ∴OA = OC. ∴△AOE ≌ △COF(AAS). ∴AE = CF. ∴四边形AFCE是平行四边形. ∵EF⊥AC， ∴□AFCE是菱形. 2.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形. 习题1.2 证明:∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA = OC,OB = OD. ∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点， ∴OE= OA, OG= OC, OH= OD, OF= OB. ∴OE = OG , OH = OF.         ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵EG⊥HF, ∴□EFGH是菱形. 习题1.2 3.如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC,AD＞CD,将纸片沿过点D的直线 折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E,连接C′E,你能 确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论. A B E C D C′ 证明:由折叠可知△CDE≌△C′DE， ∴ C′D = CD，C′E = CE， ∠C′DE = ∠CDE, ∵AD∥BC， ∴∠C′DE =∠CED, ∴∠CDE = ∠CED. ∴CD = CE. ∵C′D = CD，C′E = CE， ∴C′D = C′E = CE = CD. ∴四边形CDC′E是菱形. 解：四边形CDC′E是菱形. 课堂小结 1.定义法: 叫做菱形.本 菱形的判定方法有哪些？ 2.判定定理1： 的平行四边形是菱形. 3.判定定理2： 的四边形是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 四边相等 作 业 教材第27页第8题. 再 见 $$