专题05 排列与组合-2025年高二寒假数学学与练（人教A版2019）

05排列与组合 一、阅读教材，归纳知识： 1．排列数：从个 中取出个不同的元素，所有 的个数叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示． 2．排列数公式及全排列： （1） ，其中，并且;（2） ． （3）从个不同元素中取出个不同的元素（即全部取出）排成一列，叫作个元素的一个全排列，此时 （叫作的阶乘）．规定： ． 3．排列数公式： （1）乘积形式： ．（这里且） （2）阶乘形式：．（，且） （3）性质： ，规定 ， ． 4．组合：一般地，从个不同元素中取出个不同的元素， 构成一组，叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个组合． 5．组合数：从个不同元素中取出个不同的元素，所有 的个数叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号 表示． 6．组合数公式： 或 （其中，并且）. 7．组合数的基本运算性质： （1） （）；（2） （）． 自检自纠： 1．不同元素，不同排列， 2．， ， ，1 3．…，！，1，1 4．不论次序地，， 5．不同组合， 6． ， 7．， 二、概念辨析，判断正误 1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题.( ) （2）由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数.( ) （3）区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关.( ) （4）从三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．( ) （5）“”“”与“”是三种不同的组合．( ) （6）组合数.( ) （7）两个组合相同，则其对应的元素一定相同．( ) （8）.( ) （9）.( ) （10）若，则.( ) 【答案】（1）错误（2）错误（3）正确（4）正确（5）错误（6）正确（7）正确（8）错误（9）正确 （10）错误 【详解】（1）由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题，故错误； （2）表示从个元素中取个元素的情况种数，故一定是正整数，故错误； （3）组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺序而排列有顺序，故正确； （4）由于从三个元素中取两个元素与顺序无关，所以是组合问题，故正确； （5）由于组合与顺序无关，所以“”“”与“”是一种情况，故错误； （6）由组合数的计算可得，故正确； （7）两个组合相同的充要条件就是其中元素完全相同，一一对应，故正确； （8），故错误； （9），故正确； （10）在中m表示连乘因数的个数,所以,故错误 故答案为：（1）错误（2）错误（3）正确（4）正确（5）错误（6）正确（7）正确（8）错误（9）正确 （10）错误 三、考点剖析，学以致用 考点1：排列数与组合数的计算 例1.（1）（   ） A．6 B．12 C．24 D．42 【答案】D 【详解】.故选：D. （2）（多选）（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由组合数的性质得 .故选AB. （3）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由排列数的定义得.故选：D. （4）若，则n=（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】由，则，则，得即，解得n=6或（舍）.故选：A （5）满足关系式的正整数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知且，根据组合数以及排列数的计算公式可得，解得,所以可取3,4,5,故选：B （6）阶乘是基斯顿·卡曼于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即 ．根据上述材料，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据阶乘的定义可得，A正确；，B正确； ，C正确；，故D错误， 故选:D 跟综训练： 1．（    ） A．74 B．98 C．124 D．148 【答案】C 【详解】．故选：C． 2．（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【答案】D 【详解】依题意，.故选：D 3．已知，则 . 【答案】 【详解】因为，，所以,可得. 4．若，则 ． 【答案】2 【详解】由题知，即，解得．故答案为：２. 5．已知，则m等于（　　） A．0 B．2或3 C．1或3 D．3 【答案】B 【详解】由，得，而，，有，所以或.故选：B. 6．（多选）下列各式中，等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对选项A，，故A错误. 对选项B，，故B错误. 对选项C，，故C正确. 对选项D，，故D正确. 故选：CD 7．（多选）下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，•，选项D正确． 故选：ACD． 8．不等式，其中的解集为 ； 【答案】 【详解】由题知，，且，又， 即，解得，故或，所以，原不等式的解集为.故答案为： 考点2：排列问题 例2.（1）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【详解】由题意所有排列的方法种数为，故选：C. （2）5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有（    ） A．20种 B．60种 C．120种 D．100种 【答案】C 【详解】根据已知可知，不同的分配方法有.故选：C. （3）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 【答案】B 【详解】当甲跑第1棒时，则有种选择方法；当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有种选择方法，乙不参加比赛则有种选择方法．故合适的选择方法种数为种．故选：B. （4）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．36 B．72 C．81 D．144 【答案】D 【详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上， 故共有种不同的排法， （5）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 【答案】B 【详解】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，先排除去丙的5个元素，共有种排法，再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种.故选：B. （6）自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818，若用欧拉数的前6位数字2，7，1，8，2，8设置一个6位数的密码，则不同的密码有（    ）个 A．180 B．240 C．360 D．720 【答案】C 【详解】因为2出现2次，8出现2次，所以不同的密码有个.故选：A. 跟综训练： 1．A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，共有___________种不同站法. 【答案】18 【详解】A，B，C，D四人站成一排总排列数有，其中A站排头的排列数有，所以所求的排列数为，故答案为： 2．从甲､乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是___________. 【答案】48 【详解】从甲､乙等5个人中选出3人排成一列的所有情况为：，甲在排头的排法种数是：，因此：甲不在排头的排法种数是，故答案为：48 3．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有___________种（用数字作答） 【答案】480 【详解】按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A，当C在左边第2个位置时AA，当C在左边第3个位置时，有AA+AA，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有 480种． 故答案为480． 4．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有( ) A．66种 B．60种 C．36种 D．24种 【答案】B 【详解】首先对五名学生全排列，则共有种情况，又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况， 所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有种情况.故选：B 5．若2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有种情况，则位女生不相邻的排法有种；故答案为： 6．安排5位同学站成一排照相，若甲同学与乙同学相邻，且甲同学与丙同学不相邻，则不同的摆法数（ ） A．36 B．30 C．24 D．20 【答案】A 【详解】根据题意，分两种情况讨论：第一种情况：若甲站在两端，甲有2种情况，乙必须与甲相邻，也有1种情况，剩余3人全排列，安排到剩余的3个位置，有种，则此时共有种站法； 第二种情况：若甲不站在两端，甲可以站在中间的3个位置，有3种情况，乙必须与甲相邻，也有2种情况，丙与甲不能相邻，有2个位置可选，有2种情况，剩余2人全排列，安排到剩余的2个位置，有种，则此时共有种站法；综上可知：一共有种站法.故选A. 7．男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男女生相间且甲和乙相邻，共（ ）种不同排法. 【答案】40 【详解】不妨给6人从左至右依次编号为：123456，先讨论男女男女男女的排法，若甲排1号位，则乙只能排二号位，剩下两男两女全排列，共有种；若甲排3号位，则乙可以选择2号位或4号位，剩下两男两女全排列，共有种；若甲排5号位，则乙可以选择4号位或6号位，剩下两男两女全排列，共有种；合计20种排法，若再将男女调换位置，则符合条件的总排法有种，故答案为：40 考点3：组合问题 例3. （1）（多选）某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（    ） A．至多有1件不合格品的抽法种数为 B．都是合格品的抽法种数为 C．至少有1件不合格品的抽法种数为 D．至少有1件不合格品的抽法种数为 【答案】CD 【详解】对于A：至多有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是没有不合格品，故抽法种数为，A错误；对于B：都是合格品的抽法种数为，B错误；对于C：至少有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是有2件不合格品，故抽法种数为，C正确； 对于D：至少有1件不合格品的抽法种数为，D正确.故选：CD. （2）2023年成都大运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中依次选出3名担任语言服务，2名担任人员引导，1名担任应急救助.每名志愿者只能担任一项，则甲乙不参与同一项志愿服务的选法有（    ）种. A．28 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【详解】从6名志愿者中依次选出3名担任语言服务，2名担任人员引导，1名担任应急救助，每名志愿者只能担任一项，则共有种可能，其中甲乙参与同一项的可能选法有种可能，故甲乙不参与同一项志愿服务的选法有种，故选：D. （3）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（    ） A．54种 B．45种 C．36种 D．18种 【答案】A 【详解】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有种选派方法，若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有种，同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有种，故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有，故选A （4）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______结果用最简分数表示． 【答案】 【详解】编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，所有的事件总数为：，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两种情况，所以这三个砝码的总质量为9克的概率是：，故答案为：． （5）如图所示，某城市，间有4条东西街道和6条南北街道.若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线行走，则从到有___________种不同的走法.（用数字作答） 【答案】56 【详解】从走到，每次只能向北或向东走，则不论从到怎么走，都必须向北走3个路口，向东走5个路口，共走8个路口，所以问题可转化为从8个路口中选3个路口向北走，则共有种不同的走法.故答案为：56 跟综训练： 1．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法. 【答案】84 【详解】只需从9名学生中选出3名即可，从而有（种）选法.故答案为：84. 2．从10名学生中选出6名学生去参加一个展览会，共有________种不同选法. 【答案】210 【详解】从10名学生中选出6名学生去参加一个展览会，共故答案为：210 3．新源县某高中有三个重点班，分别为A班40人，B班36人，C班有25人.现从三个班各选一人参加一项活动，则不同的选法有______种．（以数字作答） 【答案】36000 【详解】由题意，从三个班各选一人参加一项活动，共有故答案为：36000 4．从4男2女六名航天员中选出三名作为神舟十四号乘组，则恰好有一名女航天员被选中的选法有______种．（用数字作答） 【答案】 【详解】依题意可知，选法有种.故答案为： 5．某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有_________种 【答案】45 【详解】人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.“个男生个女生”的方法数有. “个男生个女生”的方法数有.故总的方法数有种. 6．年春，荆楚大疫，染者数万计.举国防，皆闭户.各地医院紧急派遣医护人员支援湖北.现长沙市某医院需要从医院某科室的名男医生、名女医生中分别抽调名男医生、名女医生前往武汉，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有__________种.(用数字作答) 【答案】 【详解】由题意可知不同的选派方法有种.故答案为： 7．党的十八大提出，倡导富强､民主､文明､和谐，倡导自由､平等､公正､法治，倡导爱国､敬业､诚信､友善.这12个词语分别从国家､社会､公民个人三个层面概括了社会主义核心价值观.现从这12个词语中任选3个，且这3个词语不都选自同一层面，则不同的选法种数为___________. 【答案】208 【详解】从12个词语中任选3个，有种选法，其中3个词语选自同一层面的选法共有种，则不同的选法种数为.故答案为：208. 8．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的序号是______. ①如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法 ②如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 ③如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 ④如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法 【答案】②③ 【详解】根据题意，依次分析选项：选项①：如果4人中男生女生各有2人，其中男生的选法有种，女生的选法有种，那么4人中男生女生各有2人的选法有种，所以选项①错误.选项②：如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么在剩下的8人中再选2人即可，有种选法，所以选项②正确.选项③：从10人中任选4人，有种选法；排除甲乙两人任选4人，有种选法；因此男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有种，所以选项③正确.选项④：从10人中任选4人，有种选法；只从男生中选择4人，有种选法；只从女生中选择4人，有种选法；因此4人中必须既有男生又有女生的选法有种，所以选项④错误. 故答案为：②③ 考点4：排列与组合的综合应用 例4.（1）某班班会准备从含甲、乙的人中任意选取人发言，但若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】按甲乙两人中两人都不参加，有1人参加和两2人都参加分类，方法数为．故选：A． （2）由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有 个． 【答案】90 【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则 当0排在第6位时，共有（个）数；当0排在第5位时，共有（个）数； 当0排在第4位时，共有（个）数， 故这样的七位数共有（个）．故答案为： （3）将“数学不可不学数”中的7个汉字重新排列后，不同的排列方法还有（    ）种． A．629 B．630 C．839 D．840 【答案】A 【详解】“数学不可不学数”这7个汉字进行排列，7个位置选2个放“数”，有种方法，剩下5个位置选2个放“学”， 有种方法，剩下3个位置选2个放“不”， 有种方法，最后一个位置放“可”，排列方法共有种，故重新排列后，不同的排列方法还有种.故选：A （4）将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给三人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】B 【详解】将4张电影票分成三份，其中2张一份的电影票编号连续，则有12，3，4；1，23，4；1，2，34三种分法，然后将三份电影票分给三个人，有种分法，所以不同的分法种数为．故选B． （5）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】先将五个人分为三组， 每组的人数分别为、、或、、，若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组，则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种；若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇，只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种.接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，因此，不同的安排方案种数为种.故选：C. （6）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 【答案】A 【详解】将四个区域标记为，如下图所示： 第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法， 根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法.故选：A. （7）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案. 【答案】96 【详解】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．由分类加法原理得总的染色种数为种．故答案为：96． 跟综训练： 1．某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 【答案】A 【详解】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况，3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有种，所以共有种排法.故选：A 2．将5名志愿者分配到3个不同的社区协助开展活动，每个社区至少分配1名志愿者，并且每位志愿者都参与该活动，则不同的分配方法数为（ ） A．150 B．180 C．240 D．300 【答案】A 【详解】先将5名志愿者分为3组，有种分法；再将这3组分配到3个社区，有种分法；则不同的分配方法数为种；故选：A 3．某人用字母v，r，y各1个和2个字母e拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单词的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对e，v，e，r，y5个字母排列也就是将e，v，e，r，y放入5个确定的位置，先从5个位置中选出2个位置放2个e，有种方法，再将剩下3个字母全排放入其他两个位置，有种方法，因此共有种方法，而写对的可能只有1种，所以他写错这个英语单词的情况有种，所以他写错这个英语单词的概率为.故选：D. 4．（23-24高二下· 广西钦州市·期中）从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三位数，这样的三位数的个数为（    ） A．40 B．48 C．55 D．70 【答案】C 【详解】由题意知，分两种情况讨论：若选出的数字中含有0，则0必须在个位上，此时只需在其它6个数中选出2个，大的放在十位，小的放在百位，共有个三位数；若选出的数字中不含有0，此时只需在0以外得其它6个数中选出3个，最大的放在十位，其他两个放在百位和个位，共有个三位数，综上，满足题意得三位数共有55个.故选：C 5．如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 【答案】A 【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为；若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为；则不同的信号总数为.故选：A． 6．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答） 【答案】120 【详解】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；所以共有种栽种方法.故答案为：120 四、课后练习，巩固提升 1．若，则x的值为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 【答案】C 【详解】,或，即或.故选：C 2．已知，那么 A．20 B．30 C．42 D．72 【答案】B 【详解】，.答案选B 3．从10名学生中任选2名参加某项志愿者活动，不同的选法种数是（    ） A．12 B．20 C．45 D．90 【答案】C 【详解】由题意，从10名学生中任选2名参加某项志愿者活动，由组合的定义可知，不同的选法种数为,故选:C 4．若8名同学排成2排，每排4人，共有多少种排法（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为8名同学排成2排，每排4人，等价于8名同学排成一排，故共有种排法，故选：D 5．用可以组成无重复数字的两位数的个数为（    ） A．25 B．20 C．16 D．15 【答案】C 【详解】从中任选两个数字，组成两位数的个数有个，其中数字0排首位的有4个，所以满足条件的两位数有个.故选：C 6．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C. 7．某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】B 【详解】分两类：一类是选1个女生，则有种；另一类是选2个女生，则有种.所以不同选法种数共有.故选:B. 9．从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种.(用数字作答） 【答案】36 【详解】先从班委会除了甲、乙的另外3名成员中选出1名担任文娱委员有,再从剩余的4人中选出两人分别担任学习委员和体育委员有，共有种选法 10．某校为参加某比赛，计划组建三支集训队．现共有备赛教师名、学生名．每支集训队由名教师和名学生组成．根据需要，教师甲和学生乙要分配在一个队，学生丙和学生丁不在同一个队，则这三支队伍分组方法共 种． 【答案】 【详解】若学生丙或丁，与甲乙同队，此时的分组方法有种； 若学生丙或丁，不与甲乙同队，先选出1名学生，与甲乙同队，有种方法；然后剩余2名教师，4名学生分为2组，此时的分组方法有种方法，其中丙丁在同一组的情况，只需选出1名教师即可，有种，所以，丙丁不在同一小组的有.根据分步乘法计数原理可知，此时的分组方法有.综上，根据分类加法计数原理可知，这三支队伍分组方法共种.故答案为：24. 11．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ． 【答案】16 【详解】根据题意，可分三步进行分析： （1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况； （2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位； （3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，所以不同的排课方法的种数是种，故答案为：16． 12.（多选）甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（    ） A．甲乙不相邻的不同排法有种 B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有种 C．甲乙不排在两端的不同排法有种 D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种 【答案】BC 【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确； B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确； C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确； D：甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种，所以本选项不正确. 故选：BC 13．（多选）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（    ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有72种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有18种 【答案】ACD 【详解】对于A， ，故A正确；对于B，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，故有 种插法， ，故B错误；对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ，故C正确；对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种，故D正确；故选：ACD. 14.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 . 【答案】84 【详解】种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84． 15．如图所示五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为____． 【答案】84 【详解】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有种涂法；（2）用三种颜色涂色，有种涂法；（3）用两种颜色涂色，有种涂法；所以共有涂色方法.故答案为：84 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05排列与组合 一、阅读教材，归纳知识： 1．排列数：从个 中取出个不同的元素，所有 的个数叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示． 2．排列数公式及全排列： （1） ，其中，并且;（2） ． （3）从个不同元素中取出个不同的元素（即全部取出）排成一列，叫作个元素的一个全排列，此时 （叫作的阶乘）．规定： ． 3．排列数公式： （1）乘积形式： ．（这里且） （2）阶乘形式：．（，且） （3）性质： ，规定 ， ． 4．组合：一般地，从个不同元素中取出个不同的元素， 构成一组，叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个组合． 5．组合数：从个不同元素中取出个不同的元素，所有 的个数叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号 表示． 6．组合数公式： 或 （其中，并且）. 7．组合数的基本运算性质： （1） （）；（2） （）． 自检自纠： 1．不同元素，不同排列， 2．， ， ，1 3．…，！，1，1 4．不论次序地，， 5．不同组合， 6． ， 7．， 二、概念辨析，判断正误 1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题.( ) （2）由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数.( ) （3）区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关.( ) （4）从三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．( ) （5）“”“”与“”是三种不同的组合．( ) （6）组合数.( ) （7）两个组合相同，则其对应的元素一定相同．( ) （8）.( ) （9）.( ) （10）若，则.( ) 三、考点剖析，学以致用 考点1：排列数与组合数的计算 例1.（1）（   ） A．6 B．12 C．24 D．42 （2）（多选）（    ） A． B． C． D． （3）等于（    ） A． B． C． D． （4）若，则n=（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 （5）满足关系式的正整数组成的集合为（    ） A． B． C． D． （6）阶乘是基斯顿·卡曼于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即 ．根据上述材料，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 跟综训练： 1．（    ） A．74 B．98 C．124 D．148 2．（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 3．已知，则 . 4．若，则 ． 5．已知，则m等于（　　） A．0 B．2或3 C．1或3 D．3 6．（多选）下列各式中，等于的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 8．不等式，其中的解集为 ； 考点2：排列问题 例2.（1）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 （2）5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有（    ） A．20种 B．60种 C．120种 D．100种 （3）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 （4）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．36 B．72 C．81 D．144 （5）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 （6）自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818，若用欧拉数的前6位数字2，7，1，8，2，8设置一个6位数的密码，则不同的密码有（    ）个 A．180 B．240 C．360 D．720 跟综训练： 1．A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，共有___________种不同站法. 2．从甲､乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是___________. 3．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有___________种（用数字作答） 4．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有( ) A．66种 B．60种 C．36种 D．24种 5．若2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 6．安排5位同学站成一排照相，若甲同学与乙同学相邻，且甲同学与丙同学不相邻，则不同的摆法数（ ） A．36 B．30 C．24 D．20 7．男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男女生相间且甲和乙相邻，共（ ）种不同排法. 考点3：组合问题 例3. （1）（多选）某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（    ） A．至多有1件不合格品的抽法种数为 B．都是合格品的抽法种数为 C．至少有1件不合格品的抽法种数为 D．至少有1件不合格品的抽法种数为 （2）2023年成都大运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中依次选出3名担任语言服务，2名担任人员引导，1名担任应急救助.每名志愿者只能担任一项，则甲乙不参与同一项志愿服务的选法有（    ）种. A．28 B．36 C．40 D．44 （3）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（    ） A．54种 B．45种 C．36种 D．18种 （4）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______结果用最简分数表示． （5）如图所示，某城市，间有4条东西街道和6条南北街道.若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线行走，则从到有___________种不同的走法.（用数字作答） 跟综训练： 1．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法. 2．从10名学生中选出6名学生去参加一个展览会，共有________种不同选法. 3．新源县某高中有三个重点班，分别为A班40人，B班36人，C班有25人.现从三个班各选一人参加一项活动，则不同的选法有______种．（以数字作答） 4．从4男2女六名航天员中选出三名作为神舟十四号乘组，则恰好有一名女航天员被选中的选法有______种．（用数字作答） 5．某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有_________种 6．年春，荆楚大疫，染者数万计.举国防，皆闭户.各地医院紧急派遣医护人员支援湖北.现长沙市某医院需要从医院某科室的名男医生、名女医生中分别抽调名男医生、名女医生前往武汉，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有__________种.(用数字作答) 7．党的十八大提出，倡导富强､民主､文明､和谐，倡导自由､平等､公正､法治，倡导爱国､敬业､诚信､友善.这12个词语分别从国家､社会､公民个人三个层面概括了社会主义核心价值观.现从这12个词语中任选3个，且这3个词语不都选自同一层面，则不同的选法种数为___________. 8．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的序号是______. ①如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法 ②如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 ③如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法 ④如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法 考点4：排列与组合的综合应用 例4.（1）某班班会准备从含甲、乙的人中任意选取人发言，但若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 （2）由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有 个． （3）将“数学不可不学数”中的7个汉字重新排列后，不同的排列方法还有（    ）种． A．629 B．630 C．839 D．840 （4）将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给三人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 （5）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 （6）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 （7）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案. 跟综训练： 1．某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 2．将5名志愿者分配到3个不同的社区协助开展活动，每个社区至少分配1名志愿者，并且每位志愿者都参与该活动，则不同的分配方法数为（ ） A．150 B．180 C．240 D．300 3．某人用字母v，r，y各1个和2个字母e拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单词的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下· 广西钦州市·期中）从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三位数，这样的三位数的个数为（    ） A．40 B．48 C．55 D．70 5．如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 6．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答） 四、课后练习，巩固提升 1．若，则x的值为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 2．已知，那么 A．20 B．30 C．42 D．72 3．从10名学生中任选2名参加某项志愿者活动，不同的选法种数是（    ） A．12 B．20 C．45 D．90 4．若8名同学排成2排，每排4人，共有多少种排法（    ） A． B． C． D． 5．用可以组成无重复数字的两位数的个数为（    ） A．25 B．20 C．16 D．15 6．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 7．某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 9．从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种.(用数字作答） 10．某校为参加某比赛，计划组建三支集训队．现共有备赛教师名、学生名．每支集训队由名教师和名学生组成．根据需要，教师甲和学生乙要分配在一个队，学生丙和学生丁不在同一个队，则这三支队伍分组方法共 种． 11．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ． 12.（多选）甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（    ） A．甲乙不相邻的不同排法有种 B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有种 C．甲乙不排在两端的不同排法有种 D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种 13．（多选）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（    ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有72种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有18种 14.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 . 15．如图所示五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为____． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$