1.5.1平面上两点间的距离 限时训练 -2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

平面上两点间的距离 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 【基础巩固】 1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则等于(　　) A. B. C．3 D．2 2．点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为(　　) A．41 B. C. D．39 3．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A．2 B．3 C. D. 4．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为(　　) A. B. C. D. 5．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 6．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 7．(5分)过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________. 8．(5分)若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________． 9．(10分)已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 10．(12分)用坐标法证明：若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角． 【综合运用】 11．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是(　　) A．0 B．2 C．4 D. 12．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内求一点，使它到三角形各个顶点的距离之和最小．现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，点P到△ABC三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且|b|＝2，|c|＝3，则|a－b|＋|a＋b|＋|a－c|的最小值是(　　) A．3－ B．3＋2 C．2－2 D．2＋2 13．(5分)已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________． 14．(5分)在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________. 【创新拓展】 15．在平面直角坐标系内有四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为(　　) A．10 B.＋ C．14 D.＋ 16．(12分)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 平面上两点间的距离 1．D　[AC＝4，CB＝2，故＝2.] 2．B　[设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)，则OM＝＝.] 3．C　[由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得AD＝＝.] 4．C　[直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B， 由两点间的距离公式，得AB＝.] 5．C　[∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)， ∴AB＝ ＝ ＝ ＝， ∴当a＝时，AB取得最小值．] 6．BCD　[＝ ＝＝， 可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确．] 7. 解析　由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以AB＝＝. 8. 解析　由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝ ＝， ∴最小值为＝. 9．解　由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝， 则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝，解得a＝±2. 10．证明　如图，在△ABC中，D为边BC的中点，DA＝DB＝DC， 以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设B(a,0)，C(b，c)， 则D， 因为DB＝DA， 所以＝，即ab＝0， 因为a≠0，所以b＝0， 所以C(0，c)，所以AC⊥AB，A＝， 所以若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角． 11．B　[S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.] 12．B　[设a＝(x，y)，b＝(2,0)，c＝(0,3)， 则|a－b|＋|a＋b|＋|a－c|＝＋＋， 即为点P(x，y)到点A(2,0)，B(－2,0)和C(0,3)三个点的距离之和， 易知△ABC为等腰三角形，且三个内角均小于120°，如图， 由费马点的性质可得，当点P在y轴上且∠APB＝120°时，P到三个顶点的距离之和最小， 则∠APO＝60°， 因为OA＝OB＝2，则OP＝，所以点P坐标为时，距离之和最小， 最小距离之和为＋＋＝3＋2. 故|a－b|＋|a＋b|＋|a－c|的最小值为3＋2.] 13. 解析　由两点间距离公式得AB＝， BC＝， AC＝. ∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D为BC的中点， 由中点坐标公式易得D， ∴AD＝＝. 14．10 解析　以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,2b)，P(a，b)， 所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2， PC2＝a2＋b2， 于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2， 即＝10. 15．D　[依题意可知，四点A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)构成一个四边形ABCD， 因为PA＋PC≥AC， 当且仅当P在对角线AC上时取得等号， 因为PB＋PD≥BD， 当且仅当P在对角线BD上时取得等号， 所以PA＋PC＋PB＋PD≥AC＋BD ＝＋ ＝＋， 当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号． 故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋.] 16．证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a,0)， 依题意得A(－a,0)． AB2＋BC2－AC2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 学科网（北京）股份有限公司 $$