1.3.2两条直线垂直 限时训练- 2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

两条直线垂直 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分 【基础巩固】 1．直线l1的倾斜角α1＝30°，若l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．可能重合 D．无法确定 3．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．1 B．3 C．0或1 D．1或3 4．已知l1：(a＋sin 30°)x＋y＋1＝0，l2：x＋(tan 120°)y＋2＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 5．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为(　　) A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 6．(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论正确的是(　　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．PR⊥QS 7．(5分)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为______． 8．(5分)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a＝______；若l1∥l2，则a＝______. 9．(10分)当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 10．(12分)已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求点D的坐标；(6分) (2)试判定▱ABCD是否为菱形？(6分) 【综合运用】 11．(5分)已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则的取值范围为________． 12．(5分)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为______________． 13．(5分)已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________． 14．(5分)已知直线l1：(a－2)x－3y＋5＝0和l2：3x－(b＋1)y－7＝0互相垂直，且a，b>0，则＋的最小值为____________． 【创新拓展】 15．(5分)直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 16．(12分)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状． 两条直线垂直 1．C　[如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°， 所以直线l2的斜率为tan 120°＝－.] 2．B　[由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立． 故方程有两不相等的实数根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.] 3．D　[因为l1⊥l2， 所以k1·k2＝－1， 即×＝－1， 解得a＝1或a＝3.] 4．C　[由题意l1⊥l2，则当且仅当(a＋sin 30°)×1＋1×tan 120°＝0，即a＋－3＝0， 解得a＝.] 5．D　[设点D(x，y)， 则kCD＝＝，kAD＝. kAB＝＝3，kCB＝＝－2， 又CD⊥AB，CB∥AD， ∴∴ 解得即点D(0,1)．] 6．ABD　[由斜率公式知， kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行，故ABD正确．] 7．－1 解析　由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 8．0或－3　－1或2 解析　当l1⊥l2时，a×1＋(a＋2)a＝0， 解得a＝0或a＝－3； 当l1∥l2时， 易知a≠0，＝≠， 解得a＝－1或a＝2. 9．解　由l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1. ∴当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2. 10．解　(1)设点D的坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得 所以点D的坐标为(－1,6)． (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 11. 解析　因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以＝＝，则0<<，故的取值范围为. 12．1或0 解析　直线l1的斜率k1＝＝a. 当a≠0时，l2的斜率k2＝＝. 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1， 即a·＝－1，解得a＝1. 当a＝0时，直线l1为x轴，直线l2为y轴， 显然l1⊥l2. 综上，实数a的值为1或0. 13．(－19，－62) 解析　设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH， 且kBH＝－，kCH＝－， 所以解得所以A(－19，－62)． 14. 3＋2 解析　由题得3(a－2)＋3(b＋1)＝0， 所以a＋b＝1. 所以＋＝(a＋b) ＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当a＝2－，b＝－1时等号成立． 所以＋的最小值为3＋2. 15．4＋ 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率 k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 16．解　由斜率公式得kOP＝＝t， kQR＝＝＝t， kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－. 所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$