第十三章　轴对称　专项训练　——与等腰三角形有关的问题　课件　2024—2025学年人教版数学八年级上册

第十三章　轴对称 专项训练三　与等腰三角形有关的问题 重难突破 强化专练 类型1　利用等腰三角形(或等边三角形)的性质求边或角 1．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为(　　) A．12　　 B．15　　 C．12或15　　 D．18 2．已知等边△ABC的中线BD、CE相交于点O，∠BOC等于(　　) A．60°　　 B．150°　　 C．30°　　 D．120° B 　 D 　 4．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E.若AE＝1，则△ABC的边长为(　　) A．2　　 B．4　　 C．6　　 D．8 B 　 8．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求证：∠C＝2∠D. 证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D. 类型2　等腰三角形(或等边三角形)的判定 9．下列关于等边三角形的描述错误的是(　　) A．三边相等的三角形是等边三角形 B．三个角相等的三角形是等边三角形 C．有一个角是60°的三角形是等边三角形 D．有两个角是60°的三角形是等边三角形 10．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(　　) A．等腰三角形　　 B．等边三角形 C．不等边三角形　　 D．不能确定形状 C 　 B 　 11．【湖北武汉中考】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(　　) A．4　　 B．5　　 C．6　　 D．7 D 　 12．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是_________.(填序号) ②　 13．如图，在Rt△ABC中，在斜边AB、直角边AC上分别取一点D、E，使DE＝DA，延长DE交BC的延长线于点F，△DFB是等腰三角形吗？请说明你的理由． 解：△DFB是等腰三角形．理由如下： ∵DE＝DA，∴∠A＝∠AED. ∵∠AED＝∠CEF，∴∠A＝∠CEF. ∵∠ACB＝∠ECF＝90°， ∴∠A＋∠B＝∠CEF＋∠F， ∴∠B＝∠F，∴DB＝DF，∴△DFB是等腰三角形． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F. (1)判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由； (2)若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由． 类型3　等腰三角形在实际生活中的应用 15．同学们都玩过跷跷板，如图是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA＝OB，当跷跷板的一头A着地时，∠OAC＝25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′＝___________. 50°　　 16．如图，上午8时，一艘轮船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行，10时到达B处，轮船在A处测得灯塔C在北偏西36°，航行到B处时，又测得灯塔C在北偏西72°，则从B到灯塔C的距离是____________. 40海里　　 类型4　与等腰(或边)三角形有关的探究性问题 17．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn＋1的边长为____________. 2n－1　 解析：如图，∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°. ∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°－120°－30°＝30°. 又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°－60°－30°＝90°. ∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1. ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝∠13＝60°. ∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8， A5B5＝16B1A2＝16， 以此类推，△AnBnAn＋1的边长为2n－1. 18．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2020个三角形中以An为顶点的底角度数是_________________. 解：(1)BE垂直平分AD.理由：∵AM⊥BC，∴∠ABC＋∠5＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°，∴∠5＝∠C.∵AD平分∠MAC，∴∠3＝∠4.∵∠BAD＝∠5＋∠3，∠ADB＝∠C＋∠4，∠5＝∠C，∴∠BAD＝∠ADB，∴△BAD是等腰三角形．又∵∠1＝∠2，∴BE垂直平分AD. (2)△ABD、△GAE是等边三角形．理由：∵∠5＝∠C＝30°，AM⊥BC，∴∠ABD＝60°.∵∠BAC＝90°，∴∠CAM＝60°.∵AD平分∠CAM，∴∠4＝eq \f(1,2)∠CAM＝30°，∴∠ADB＝∠4＋∠C＝60°，∴∠BAD＝60°，∴∠ABD＝∠BDA＝∠BAD，∴△ABD是等边三角形．∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE.又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°，∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，∴△AEG是等边三角形． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2019×75°　 解析：∵在△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝eq \f(180°－∠B,2)＝75°.∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝eq \f(1,2)∠BA1C＝eq \f(1,2)×75°.同理可得∠EA3A2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×75°，∠FA4A3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×75°，∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1×75°，∴第2020个三角形中以A2020为顶点的底角度数是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2019×75°. $$