8.3列联表与独立性检验 课时训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

列联表与独立性检验 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共30分 【基础巩固】 1.对于分类变量X与Y的随机变量χ2，下列说法正确的是(　　) A.χ2越大，“X与Y有关联”的可信程度越小 B.χ2越小，“X与Y有关联”的可信程度越小 C.χ2越接近于0，“X与Y无关联”的可信程度越小 D.χ2越大，“X与Y无关联”的可信程度越大 2.某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 年龄 体检 合计 每年体检 未每年体检 老年人 a 7 c 年轻人 6 b d 合计 e f 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是(　　) A.a=18 B.b=19 C.c+d=50 D.e-f=2 3.为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高堆积条形图.根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是(　　) A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C.药物A，B对该疾病均有显著的预防效果 D.药物A，B对该疾病均没有预防效果 4.某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2列联表和χ2独立性检验研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得χ2=6.748，经查阅临界值表知P(χ2≥6.635)=0.01，则下列判断正确的是(　　) A.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生 B.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.01 C.依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别无关” D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“数学成绩优秀与性别有关” 5.(多选)有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如表所示： X Y 合计 Y1 Y2 X1 a 20-a 20 X2 15-a 30+a 45 合计 15 50 65 其中a，15-a均为大于5的整数，若依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则a的值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 6.(多选)某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，男生中喜欢攀岩的占80%，女生中不喜欢攀岩的占70%，则(　　) 参考公式：χ2=. A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多 B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多 C.若参与调查的男、女生人数均为100，则依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为喜欢攀岩和性别有关联 D.从样本估计总体的角度看，参与调查的男、女生人数越多，得出“喜欢攀岩与性别有关联”这一结论的可信度越高 7.(5分)如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400人(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为　　　　. 8.(5分)在第24届北京冬季奥林匹克运动会中，为了解运动员的饮食习惯，对30名运动员的饮食习惯进行了一次调查，依据统计所得数据可得到如下的2×2列联表： 性别 饮食习惯 合计 中餐 西餐 女性 d 8 c 男性 16 2 18 合计 a b 30 根据以上列联表中的数据，依据小概率值α=　　　　的独立性检验，认为运动员饮食习惯与性别有关.   参考公式：χ2=， 其中n=a+b+c+d. 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 9.(11分)某校在两个班进行教学方式的对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如表所示(单位：人)： 班级 成绩 合计 80及80分以上 80分以下 试验班 35 15 50 对照班 20 m 50 合计 55 45 n (1)求m，n的值；(5分) (2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为教学方式与成绩有关系？(6分) 参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d. 附表： α 0.010 0.005 0.001 xα 6.635 7.879 10.828 10.(12分)某校对有心理障碍的学生进行测试得到如下列联表： 性别 心理障碍 合计 焦虑 说谎 懒惰 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 合计 25 20 65 110 试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？ 【综合运用】 11.(多选)某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和SO2浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和SO2浓度(单位：μg/m3)，得到如下所示的2×2列联表： PM2.5 SO2 合计 [0，150] (150，475] [0，75] 64 16 80 (75，115] 10 10 20 合计 74 26 100 经计算χ2=≈7.484 4，则可以推断出(　　) 附：χ2=，n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 A.该市一天空气中PM2.5浓度不超过75 μg/m3，且SO2浓度不超过150 μg/m3的概率估计值是0.64 B.若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，χ2的值不会发生变化 C.根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关 D.在犯错的概率不超过0.01的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关 12.(多选)为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，某调查机构根据所得到的数据，绘制了如下的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)： 阅读量 幸福感 合计 幸福感强 幸福感弱 阅读量多 m 18 72 阅读量少 36 n 78 合计 90 60 150 计算得χ2≈12.981，参照下表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列选项中正确的有(　　) A.根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关” B.m=54 C.根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关” D.n=52 13.(多选)在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在飞机上晕机的情况如表所示： 性别 晕机情况 合计 晕机 不晕机 男 a 15 a+b 女 6 d c+d 合计 a+c 28 46 参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d. 附表： α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 则下列说法中正确的是(　　) A.> B.χ2<2.706 C.依据小概率值α=0.1的独立性检验，可以认为在恶劣气候飞行中，晕机与性别有关 D.没有理由认为在恶劣气候飞行中，晕机与性别有关 14.(5分)某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为所患疾病的类型与性别有关”的结论，则被调查的男性患者至少有　　　　人.  参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d. 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【拓展探究】 15.(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图，填写下面的2×2列联表；(6分) 养殖法 箱产量 合计 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 合计 (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.(6分) 附：P(χ2≥6.635)=0.01， χ2=，n=a+b+c+d. 答案精析 1.B　［对于分类变量X与Y的随机变量χ2，χ2越大，“X与Y有关联”的可信程度越大；χ2越小，“X与Y有关联”的可信程度越小.］ 2.D　［由题意得，a+7=c=25，6+b=d=25，a+6=e， 7+b=f，e+f=50， 所以a=18，b=19，c+d=50，e=24，f=26， 则e-f=-2.］ 3.B　［根据两个表中的等高堆积条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病差异明显比药物B实验大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果.］ 4.D　［∵χ2=6.748≥6.635=x0.01， ∴依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别有关”， 即在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“数学成绩优秀与性别有关”.］ 5.CD　［由题意可知 χ2= =≥3.841=x0.05， 根据a>5， 且15-a>5，a∈Z，得当a=8或a=9时满足题意.］ 6.ACD　［由题意设参加调查的男、女生人数均为m，则得到如下2×2列联表： 性别 攀岩 合计 喜欢 不喜欢 男生 0.8m 0.2m m 女生 0.3m 0.7m m 合计 1.1m 0.9m 2m 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，故A正确，B错误； 由列联表中的数据，计算得到 χ2==， 当m=100时， χ2==≈50.505>10.828=x0.001， 所以当参与调查的男、女生人数均为100时，依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为喜欢攀岩和性别有关联，故C正确；根据公式，m越大，χ2也越大，所以得出“喜欢攀岩与性别有关联”这一结论的可信度越高，D正确.］ 7.15 解析　根据等高堆积条形图可知，喜欢徒步的男生人数为0.6×500=300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400=160， 所以喜欢徒步的总人数为300+160=460，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取23人， 则抽取的男生人数为×23=15. 8.0.005 解析　由列联表可得a=20，b=10，c=12，d=4， 可得χ2==10>7.879=x0.005， 所以依据小概率值α=0.005的独立性检验，认为运动员饮食习惯与性别有关. 9.解　(1)由表得，m=50-20=30，n=55+45=100， 即m=30，n=100. (2)零假设为H0：教学方式与成绩无关. 由表得χ2= ≈9.091>7.879=x0.005， 依据小概率值α=0.005的独立性检验， 我们推断H0不成立，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为教学方式与成绩有关系. 10.解　对于题中三种心理障碍焦虑、说谎、懒惰分别构造三个随机变量，，. 由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表： 性别 焦虑 合计 焦虑 不焦虑 女生 5 25 30 男生 20 60 80 合计 25 85 110 零假设为H0：焦虑与性别无关. 可得= ≈0.863<2.706=x0.1， 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为焦虑与性别无关. 同理得= ≈6.366>3.841=x0.05， 依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为说谎与性别有关. 同理得= ≈1.410<2.706=x0.1. 依据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为懒惰与性别无关. 综上，三种心理障碍中说谎与性别关系最大. 11.ACD　［对于A，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75 μg/m3，且SO2浓度不超过150 μg/m3的概率估计值是P==0.64，选项A正确； 对于B，2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，计算得到(χ2)'= =10χ2， 所以χ2的值变为原来的10倍，选项B错误； 对于C，D，因为χ2≈7.484 4>6.635，根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关，该推断犯错的概率不超过0.01，选项C，D正确.］ 12.BC　［零假设为H0：阅读量多少与幸福感强弱无关， ∵ χ2≈12.981>6.635=x0.01， 且χ2≈12.981>7.879=x0.005， ∴根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”， 根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，∴A错，C对； ∵m+36=90，18+n=60， ∴m=54，n=42，∴B对，D错.］ 13.ABD　［由列联表数据，得d=28-15=13， c+d=6+13=19，a+b=46-19=27， a=27-15=12，a+c=12+6=18. 填表如下： 性别 晕机情况 合计 晕机 不晕机 男 12 15 27 女 6 13 19 合计 18 28 46 所以=，==， >，所以A正确； 计算χ2=≈0.775<2.706=x0.1， 所以B正确； 则没有理由认为在恶劣气候飞行中，晕机与性别有关，所以C错误，D正确.］ 14.12 解析　设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得2×2列联表如下. 性别 疾病类型 合计 A型疾病 B型疾病 男 x 女 2x 合计 3x 零假设为H0：患者所患疾病类型与性别无关.根据列联表中的数据， 经计算得到χ2==， 要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为所患疾病类型与性别有关， 则≥7.879，解得x≥11.818 5， 因为∈N*，∈N*，所以x的最小整数值为12， 因此，男性患者至少有12人. 15.解　(1)由频率分布直方图，知旧养殖法箱产量低于50 kg的箱数为5×(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×100=0.62×100=62， 不低于50 kg的箱数为100-62=38； 新养殖法箱产量低于50 kg的箱数为(0.004+0.020+0.044)×5×100=34，不低于50 kg的箱数为100-34=66. 由此可得列联表如下. 养殖法 箱产量 合计 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 合计 96 104 200 (2)零假设为H0：箱产量与养殖方法无关. 结合(1)中列联表得χ2= ≈15.705>6.635=x0.01， 所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为箱产量与养殖方法有关. 学科网（北京）股份有限公司 $$