8.2一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 课时训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 【基础巩固】 1.对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　) 2.近年来，我国无人机产业发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，其中民用无人机市场也异常火爆，销售量逐年上升.现某无人机专卖店统计了5月份前5天无人机的实际销量，结果如表所示. 日期编号x 1 2 3 4 5 销量y/部 9 a 17 b 27 经分析知，y与x有较强的线性相关关系，且求得经验回归方程为=4.5x+3.7，则a+b的值为(　　) A.28 B.30 C.33 D.35 3.为了研究某班学生的听力成绩x(单位：分)与笔试成绩y(单位：分)的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现x与y之间有线性关系，设其经验回归方程为=x+，已知xi=400， yi=1 580，=-1，若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩约为(　　) A.99 B.101 C.103 D.105 4.已知两个线性相关变量x与y的统计数据如表： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 其经验回归方程是=0.7x+，据此计算，样本(4，3)处的残差为-0.15，则表中m的值为(　　) A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 5.(多选)已知某产品的单价x(单位：元)以及销量y(单位：件)情况统计如表所示，由表中数据求得经验回归方程=-4x+，则下列说法正确的是(　　) 单价x(元) 4 5 6 7 8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 A.销量的平均数为80件 B.根据经验回归方程可以测得，单价每上升1元，销量就平均减少4件 C.=26 D.根据经验回归方程可以预测，当单价为10元时，销量为66件 6.(多选)某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 由公式计算得到y与x的经验回归方程是=-3.2x+，样本相关系数的绝对值|r|≈0.992，则下列说法正确的有(　　) A.变量x，y负相关且线性相关程度较强 B.=40 C.当x=8.5时，y的预测值为12.8 D.相应于点(10.5，6)的残差为0.4 7.(5分)如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的经验回归方程为=0.83x+，则=　　　　. 8.(5分)已知一系列样本点(xi，yi)(i=1，2，3，…，n)的经验回归方程为=2x+，若样本点(r，1)与(1，s)的残差相同，则　　　　　　　　　.(填s与r的关系式)  9.(10分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi=80，yi=20， xiyi=184，=720. (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的经验回归方程=x+；(5分) (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(2分) (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.(3分) 附：经验回归方程=x+中，=，=-. 10.(10分)耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用一元线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为=x+0.88. 海水浓度xi(‰) 3 4 5 6 7 亩产量yi(吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 (1)求，并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量；(4分) (2)①完成上述残差表；(3分) ②统计学中常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，模型拟合效果越好，如假设R2=0.8，就说明响应变量y的差异有80%是由解释变量x引起的.请计算决定系数R2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由海水浓度引起的？(3分) 附：残差公式=yi-， 决定系数R2=1-. 【综合运用】 11.如图5个样本数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是(　　) A.样本相关系数r变大 B.决定系数R2变大 C.残差平方和变大 D.解释变量x与响应变量y的相关程度变强 12.某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表，发现表中有个数据看不清，已知经验回归方程为=6.5x+6，下列说法正确的是(　　) x 2 3 4 5 6 y 19 25 ★ 40 44 A.看不清的数据★的值为33 B.经验回归方程中6.5的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.5吨 C.据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨 D.经验回归直线=6.5x+6恰好经过点(4，★) 13.已知x与y之间的几组数据如表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得经验回归方程为=x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的经验回归方程为='x+'，则以下结论正确的是(　　) A.>'，>' B.>'，<' C.<'，>' D.<'，<' 14.(5分)为了研究高三(1)班女生的身高x(单位：cm)与体重y(单位：kg)的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，设其经验回归方程为=x+.已知xi=1 600， yi=460，=0.85.若该班某女生的身高为170 cm，则估计其体重为　　　　 kg.  【拓展探究】 15.(多选)小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名=6，于是分别用m=6和m=8得到了两个经验回归方程：=x+，=x+，对应的样本相关系数分别为r1，r2，排名y对应的方差分别为，，则下列结论正确的是(　　) x 1 2 3 4 5 y 10 m 6 n 2 A.r1<r2 B.< C.< D.< 16.(12分)航班正点率是指航空旅客运输部门在执行运输计划时，航班实际出发时间与计划出发时间较为一致的航班数量与全部航班数量的比率.人们常用航班正点率来衡量一个航空公司的运行效率和服务质量.现随机抽取10家航空公司，对其近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，得到数据如表所示： 航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 航班正点率xi/% 82 77 77 76 74 73 71 70 91 69 顾客投诉次数yi/次 21 58 79 68 74 93 72 122 18 125 (1)①证明：样本相关系数r=；(4分) ②根据以上数据计算样本相关系数(结果保留2位小数)，并由此推断顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度(若0.8≤|r|≤1，则认为线性相关程度很强；若0.3≤|r|<0.8，则认为线性相关程度一般；若|r|<0.3，则认为线性相关程度很弱)；(4分) (2)用一元线性回归模型对上表中的样本数据进行拟合，得到顾客投诉次数关于航班正点率的经验回归方程为=-5x+.现有一家航空公司拟通过加强内部管理来减少由于公司自身原因引起的航班延误次数，并希望一年内收到的顾客投诉不超过73次，试估计该公司的航班正点率至少应达到多少？(4分) 参考数据：xiyi≈53 620，≈58 150，≈64 810，xi=760，yi=730，×≈71. 参考公式：样本相关系数r=. 答案精析 1.A　［用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.］ 2.C　［依题意=×(1+2+3+4+5)=3， =×(9+a+17+b+27)=， 又经验回归直线=4.5x+3.7过点(，)， 所以=4.5×3+3.7，解得a+b=33.］ 3.C　［由xi=400，得==20； 由yi=1 580，得==79， 故点(20，79)在经验回归直线上， 即79=20-1，得=4，即=4x-1， 当x=26时，代入计算得=103.］ 4.B　［由题意，样本(4，3)处的残差为-0.15， 所以3.15=0.7×4+，所以=0.35， 由经验回归直线=0.7x+0.35过点(，)， 且=×(3+4+5+6)=4.5， 可得=0.7×4.5+0.35=3.5， 由=×(2.5+3+4+m)=3.5，解得m=4.5.］ 5.ABD　［==6.5， ==80，故A正确； 将(6.5，80)代入经验回归方程得=106， 故经验回归方程为=-4x+106， 由于经验回归方程的斜率为-4，故B正确，C错误； 根据经验回归方程可以预测，当单价为10元时，销量为-40+106=66(件)，故D正确.］ 6.ABC　［对A，由表可知y随x增大而减小，可认为变量x，y负相关，且由样本相关系数的绝对值|r|≈0.992可知线性相关程度较强，故A正确； 对B，=×(9+9.5+10+10.5+11)=10，=×(11+10+8+6+5)=8， 故经验回归直线恒过定点(10，8)， 故8=-3.2×10+，即=40，故B正确； 对C，当x=8.5时，=-3.2×8.5+40=12.8，故C正确； 对D，相应于点(10.5，6)的残差=6-(-3.2×10.5+40)=-0.4，故D不正确.］ 7.0.94 解析　因为==2， ==2.6， 所以2.6=0.83×2+，所以=0.94. 8.s=-2r+3 解析　样本点(r，1)的残差为1-(2r+)，样本点(1，s)的残差为s-(2+)， 依题意1-(2r+)=s-(2+)，故s=-2r+3. 9.解　(1) 由题意知 n=10，=xi==8， =yi==2， 又-10=720-10×82=80， xiyi-10 =184-10×8×2=24， 则==0.3， =-=2-0.3×8=-0.4， 故所求经验回归方程为=0.3x-0.4. (2)由于变量y的值随x值的增加而增加(=0.3>0)， 故x与y之间是正相关. (3)将x=7代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为=0.3×7-0.4=1.7(千元). 10.解　(1)经计算=5，=0.48， 由0.48=5+0.88，可得=-0.08， 当x=8时，=-0.08×8+0.88=0.24(吨)， 所以当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量约为0.24吨. (2)①由(1)知=-0.08x+0.88，从而有 海水浓度xi(‰) 3 4 5 6 7 亩产量yi(吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 -0.02 0.02 0.01 0 -0.01 ②R2=1-=1-=≈0.98， 所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的. 11.C　［由散点图知，去掉离群点D后，x与y的线性相关程度变强，且为正相关，所以样本相关系数r的值变大，故A正确；决定系数R2的值变大，残差平方和变小，故B正确，C错误；解释变量x与响应变量y的相关程度变强，故D正确.］ 12.D　［对于A，因为==4， 将=4代入=6.5x+6， 故=6.5×4+6=32， 所以★=32×5-(19+25+40+44)=32，故A错误； 对于B，经验回归方程中6.5的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗平均增加6.5吨，故B错误； 对于C，当x=8时，=6.5×8+6=58(吨)，故C错误； 对于D，因为=4，=32，故=6.5x+6必经过点(4，32)，故D正确.］ 13.C　［　==， ==， ==， =-=-， '==2>，'=-2<.］ 14.54.5 解析　=xi=160，=yi=46， 故46=0.85×160+，解得=-90， 故经验回归方程为=0.85x-90， 则当x=170时，=0.85×170-90=54.5(kg). 15.BD　［当m=6时，==3，==6，解得n=6， 则 (xi-)(yi-)=(1-3)×(10-6)+(2-3)×(6-6)+(3-3)×(6-6)+(4-3)×(6-6)+(5-3)×(2-6)=-16， =(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10， =(10-6)2+(6-6)2+(6-6)2+(6-6)2+(2-6)2=32， 所以===-， 得=-=， r1= =≈-0.89， ==×32=； 同理，当m=8时，=-2，=12， r2=-1，=8， 所以r1>r2，<，>，<.］ 16. (1)①证明　(xi-)(yi-) =(xiyi-xi-yi+ ) =xiyi-xi-yi+ =xiyi-xi-yi+ =xiyi-(n)-(n)+n =xiyi-n ， 在上式中分别用xi，替代yi，，得=-n， 同理，也有=-n， 故样本相关系数r=. ②解　可知=xi=76，=yi=73. ∴xiyi-10 ≈53 620-10×76×73=-1 860，-10≈58 150-10×762=390， -10≈64 810-10×732=11 520， ∴r=≈=≈-≈-0.87， 故顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强. (2)解　=5+=5×76+73=453， 令=-5x+453≤73，得x≥76. 即该公司的航班正点率至少应达到76%. 学科网（北京）股份有限公司 $$