精品解析：四川省宜宾市叙州区观音学校2024-2025学年上学期九年级数学期中试题

叙州区观音学校2024—2025学年秋期 九年级数学期中学情监测试题 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 2. 化简得（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先利用二次根式的性质化简第一项，然后按照二次根式的混合运算法则进行计算，最后合并同类二次根式即可． 详解】解： ， 故选：． 3. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B. ，被开方数的字母因式是整式，且被开方数不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，故选项符合题意； C. ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D. ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：． 4. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 为一切实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 5. 下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项． 【详解】解：A. ，不能与合并，故该选项不符合题意； B. ，能与合并，故该选项符合题意； C. ，不能与合并，故该选项不符合题意； D. ，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 7. 方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 故选：C 8. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可判断，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 10. 设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出和值，将值代入即可求出答案. 本题考查了无理数整数部分的有关计算、代数式求值，二次根式的运算以及平方差公式，解题的关键在于熟练掌握无理数的估算方法和平方差公式. 【详解】解：， . 的整数部分为，小整数部分为 ，. . 故答案为：A . 11. 若实数，满足，，则代数式的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 12. 如图，已知中，，，与相交于，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质，添加辅助线是解题的关键．先过E作交于，再过D作交于，由相似三角形的判定与性质，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可． 【详解】解：∵， ∴，, 过E作交于， ∴， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理，过D作交于， ∴， ∴, 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ①________； ②________； ③________； ④________． 【答案】 ①. ##0.5 ②. ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，然后代入和变形后的式子计算求解． 【详解】解：方程的两个实数根为、， ∴，，， ∴，， ∴， ． 故答案为：①，②，③，④． 14. 某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为____________________________ ． 【答案】200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000. 【解析】 【分析】根据平均每月增长率为x，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共1000万元，可建立方程． 【详解】由题意，二月的营业额为200（1+x），三月的营业额为200（1+x）2， ∵一月、二月、三月的营业额共1000万元 ∴200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000 故答案为200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000. 【点睛】1本题重点考查等比数列模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 15. 已知，且，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据，可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 16. 已知：，则________，________． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】考查了比例的基本性质，比较简单．解题的关键是需细心．由，根据比例的性质，即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 已知，是方程的两个根，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即，由题意可得，即，于是可推出，进而可得，化简即可得出答案． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 【答案】3或4． 【解析】 【分析】分等腰三角形的腰长为3和底边为3两种情形求解即可． 【详解】当等腰三角形的腰长为3时，则另一边长为3， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴x=3是方程的根， ∴， ∴k=3, ∴， ∴x=3或x=1， ∴等腰三角形的三边为3,3,1，存在， 当等腰三角形的底边为3时，则两腰为方程的根， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴， ∴k=4, ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边为2,2，3，存在， 综上所述，k=3或k=4， 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与等腰三角形的边长之间的关系，灵活运用分类思想，根的定义，根的判别式是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）； （2）解方程：； （3）解方程：（用配方法）． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）对第一项进行分母有理化，同时利用二次根式的性质化简第二项，并计算第三项零指数幂，分别得出结果后再进行二次根式的加减运算，合并同类二次根式即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理，得：， 分解因式，得：， 即：， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 整理，得：， 配方，得：， 即：， 两边开平方，得：， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，零指数幂，二次根式的加减运算，合并同类二次根式，因式分解法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则及一元二次方程的解法是解题的关键． 20. 已知：如图，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．首先证明，得到，结合题意可得，进而即可证明答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ． 21. 某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出千克，销售单价每涨元，月销售量就减少5千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克元时，计算月销售量和月销售利润． （2）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应定为多少？ （3）当售价为多少时，销售利润最大？ 【答案】（1）千克，元 （2）元 （3）元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程和函数解析式成为解题的关键． （1）根据题意，可知销售价为55元时，销售单价上涨了5元，那么月销售量将较少50千克，然后再计算出月销售量和月销售利润； （2）设销售单价应定为每千克元，则月销售量为，而每千克的销售利润为元，根据题意列出方程求解，然后再检验是否符合题意即可； （3）设月销售利润为，销售单价定为每千克元，然后根据利润（售价进价）销量，列出关于的二次函数，然后利用二次函数的性质计算出最大值． 【小问1详解】 解：销售单价每涨0.5元，月销售量就减少5千克 当销售价定为每千克55元时，销售单价上涨了5元，那么月销售量将较少50千克， 月销售量为： 月利润为：元 故月销售量为，月销售利润为6750元； 【小问2详解】 解：设销售单价应定为每千克元，则月销售量为，而每千克的销售利润为元 根据题意得， 整理得， 解得：， 当销售单价为每千克60元时，月销售量为（千克），月销售成本为（元），不符合题意； 当销售单价为每千克80元时，月销售量为（千克），月销售成本为（元），符合题意； 答：在月销售成本不能超过10000元时，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为每千克80元． 【小问3详解】 解：设月销售利润为，销售单价定为每千克元，由（2）可得， 当时，取得最大值， 答：当售价定为每千克70元时，销售利润最大． 22. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先将分母有理化，得，进而可得，，然后将原式化简为，再将和的值代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值 ，分母有理化，等式的性质，完全平方公式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 23. 当为什么值时，关于的方程有实根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式．分和两种情况讨论，再利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， 方程为或， 都有实根； 当即时， ， 解得：， 综上，时，方程有实数根． 24. 在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． （1）求证：△ADQ∽△QCP； （2）若PQ＝3，求AP的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D＝∠C＝90°，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例； （2）证明AQ＝2PQ，AQ⊥PQ即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠C＝∠D＝90°； 又∵Q是CD中点， ∴CQ＝DQ＝AD； ∵BP＝3PC， ∴CP＝AD， ∴＝＝， 又∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ADQ∽△QCP； （2）由（1）知，△ADQ∽△QCP，＝＝， ∴AQ＝2PQ， ∵PQ＝3， ∴AQ＝6， ∵△ADQ∽△QCP， ∴∠AQD＝∠QPC，∠DAQ＝∠PQC， ∴∠PQC+∠DQA＝DAQ+AQD＝90°， ∴AQ⊥QP， ∴∠AQP＝90°， ∴PA＝＝3． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及相似三角形的判定定理. 25. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从B向A方向运动，Q到达A点后，P点也停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒． （1）求P点停止运动时，BP的长； （2）P，Q两点在运动过程中，点E是Q点关于直线AC的对称点，是否存在时间t，使四边形PQCE为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）P，Q两点在运动过程中，求使△APQ与△ABC相似的时间t的值． 【答案】（1）；（2）存在，t＝s时，四边形PQCE是菱形；（3）t的值为s或s时△APQ与△ABC相似 【解析】 【分析】（1）求出点Q的从B到A的运动时间，再求出AP的长，利用勾股定理即可解决问题． （2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．根据DQ＝CK，构建方程即可解决问题． （3）分两种情形：如图3﹣1中，当∠APQ＝90°时，如图3﹣2中，当∠AQP＝90°时，分别构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10， 点Q运动到点A时，t＝＝5， ∴AP＝5，PC＝1， 在Rt△PBC中，PB＝＝． （2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D． ∵四边形PQCE是菱形， ∴PC⊥EQ，PK＝KC， ∵∠QKC＝∠QDC＝∠DCK＝90°， ∴四边形QDCK是矩形， ∴DQ＝CK， ∴•2t＝（6﹣t）， 解得t＝． ∴t＝s时，四边形PQCE是菱形． （3）如图3﹣1中，当∠APQ＝90°时， ∵∠APQ＝∠C＝90°， ∴PQ∥BC， ∴＝， ∴＝， ∴t＝． 如图3﹣2中，当∠AQP＝90°时， ∵△AQP∽△ACB， ∴＝， ∴＝， ∴t＝， 综上所述，t的值为s或s时△APQ与△ABC相似． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论，找到对应线段成比例进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叙州区观音学校2024—2025学年秋期 九年级数学期中学情监测试题 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简得（ ） A. B. C. 2 D. 3. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 为一切实数 5. 下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 把根号外因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 8. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 10. 设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 若实数，满足，，则代数式值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 如图，已知中，，，与相交于，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ①________； ②________； ③________； ④________． 14. 某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为____________________________ ． 15. 已知，且，，则的值为________． 16. 已知：，则________，________． 17. 已知，是方程的两个根，那么________． 18. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 三、解答题（共78分） 19 计算： （1）； （2）解方程：； （3）解方程：（用配方法）． 20. 已知：如图，，．求证：． 21. 某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出千克，销售单价每涨元，月销售量就减少5千克，针对此回答： （1）当销售价定每千克元时，计算月销售量和月销售利润． （2）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应定为多少？ （3）当售价为多少时，销售利润最大？ 22. 已知，求的值． 23. 当为什么值时，关于的方程有实根． 24. 在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． （1）求证：△ADQ∽△QCP； （2）若PQ＝3，求AP的长． 25. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从B向A方向运动，Q到达A点后，P点也停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒． （1）求P点停止运动时，BP长； （2）P，Q两点在运动过程中，点E是Q点关于直线AC的对称点，是否存在时间t，使四边形PQCE为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）P，Q两点在运动过程中，求使△APQ与△ABC相似的时间t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $