精品解析：四川省成都市双流区立格实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

立格实验校2024-2025学年高2023级上学期期中考试试题 数 学 命题人：骆波 审题人：高二数学备课组 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共10页；答题卡共2页.满分150分，考试时间150分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确） 1. 已知点，，则直线AB的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过原点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（ ） A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 4. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ） A. B. C. 12 D. 5. 如图所示，在棱长为2的正方体中，则直线到平面的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且．点，分别为棱，的中点，是侧面内一动点，且满足.则当点运动时， 的最小值是 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）. 9. 设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 椭圆长轴长为8 B. 椭圆的离心率为 C. 的周长为12 D. 的面积的最大值为 10. 对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 圆C与圆：的公切线恰有4条 C. 直线l与C可能相切 D. 直线l被C截得的弦长最小值为 11. 1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线C上一点，下列说法正确的是（ ） A. 双纽线C的方程为 B. C. 的最大值为 D. 的周长的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，共15分） 12. 已知向量，.若，则实数______. 13. 已知点在圆上，点，当最小时，__________. 14. 已知，，点M满足，则面积的最大值为__________. 四、解答题 15. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求边AC的垂直平分线l的方程； （2）求的外接圆的方程. 16. 如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. （1）用向量，，表示向量，并求向量的模； （2）证明：. 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 18. 在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知A为圆O：上一点，过点A作y轴的垂线交轴于点B，点P满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线交于C，D两点. （ⅰ）若直线l过点，当的面积最大时，求l的方程； （ⅱ）若线段CD的中点为（）．证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立格实验校2024-2025学年高2023级上学期期中考试试题 数 学 命题人：骆波 审题人：高二数学备课组 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共10页；答题卡共2页.满分150分，考试时间150分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确） 1. 已知点，，则直线AB的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合两点求斜率以及斜率与倾斜角的关系即可求出结果. 【详解】因为，所以直线AB的倾斜角为. 故选：D. 2. 过原点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直的斜率关系确定垂线斜率，从而得直线方程. 【详解】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为， 又直线过原点，故其方程为. 故选：C. 3. 如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（ ） A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，因为且， 所以四边形为平行四边形， 则可得，所以直线AC与所成的角为或其补角. 在正方体中可知，所以可知. 故选：C 4. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以， 即实数的值为12. 故选：C 5. 如图所示，在棱长为2的正方体中，则直线到平面的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，分析可得直线到平面的距离即为，进而求解即可. 【详解】连接交于点， 在正方体中，， 因为平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离即为点到平面的距离， 因为平面，平面， 所以，又，且，平面， 所以平面，则点到平面的距离即为， 而，则， 所以. 故选：B. 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 8. 如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且．点，分别为棱，的中点，是侧面内一动点，且满足.则当点运动时， 的最小值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点轨迹是以为直径的一段圆弧，在上取点，使得，则平面，要使最小，只需最小，求出最小值即可求的最小值. 【详解】由题意，点在平面内，且，故点轨迹是以为直径的一段圆弧，圆心是的中点，设为，半径为. 在上取点，使得，则平面，且. 要使最小，只需最小，且， 而为定值3，故， 于是. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）. 9. 设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 椭圆长轴长为8 B. 椭圆的离心率为 C. 的周长为12 D. 的面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义及离心率，逐项计算判断. 【详解】对于A，由椭圆定义可知，其长轴长为， 短轴长为，故A正确； 对于B，半焦距，所以椭圆离心率为，故B错误； 对于C，由椭圆定义可知，， 所以的周长为12，故C正确； 对于D，其一个底边确定为， 要使其面积最大只需要高最大即可， 根据题意可知当高为半短半轴时， 面积最大为，故D正确. 故选：ACD 10. 对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 圆C与圆：的公切线恰有4条 C. 直线l与C可能相切 D. 直线l被C截得的弦长最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】确定直线过定点，可判断A的真假；确定圆与圆的圆心和半径，根据圆心距可判断圆与圆的位置关系，确定公切线的条数，判断B的真假；根据点与圆的位置关系，判断C的真假；求出直线被圆截得的最小弦长，确定D的真假. 【详解】对于A，直线：， 由，所以直线过定点，故A正确； 对于B，圆：， 所以圆心，半径， 圆：，圆心，半径， 因为，且， 所以圆与圆相交，两圆的公切线有两条，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆内， 所以直线与圆必相交，故C错误； 对于D：当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最小. 因为， 所以最短弦长为，故D正确. 故选：AD. 11. 1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线C上一点，下列说法正确的是（ ） A. 双纽线C的方程为 B. C. 的最大值为 D. 的周长的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据定义求解即可判断A；根据，判断B；利用向量和余弦定理判断C；根据余弦定理，以及余弦函数的性质判断D. 【详解】由题意，，，， 双纽线的方程为， 化简可得，故A正确； 由等面积法得， 则，所以，故B正确； 因为在线段的中点，所以， 所以， 由余弦定理得， 即， 所以， 所以的最大值为，故C正确； 因为， 由AC知，，， 则， 在中，，则， 则，即， 即， 所以的周长的取值范围为，故D错误.  故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，共15分） 12. 已知向量，.若，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量平行的坐标表示计算可得. 【详解】根据题意由可知存在实数使得， 可得， 解得，可得； 故答案为： 13. 已知点在圆上，点，当最小时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果. 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接， 则，，而， 由勾股定理得， 所以当最小时，. 故答案为：. 14. 已知，，点M满足，则面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，由条件可得点M的轨迹方程，再结合三角形面积公式计算最值即可. 【详解】设点，由，得， 平方化简为，所以点M的轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求边AC的垂直平分线l的方程； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用互相垂直的两斜率之积为，再结合点斜式求出直线方程； （2）利用圆的一般方程，结合待定系数法，即可求出圆的一般方程. 【小问1详解】 已知的三个顶点分别为, 所以的中点坐标为，直线的斜率为， 由互相垂直的两斜率之积为，则边的垂线斜率为， 所以边的垂直平分线的方程为： ， 整理得：, 故边的垂直平分线的方程为. 【小问2详解】 设的外接圆的方程为， 由的三个顶点分别为代入得， ，解得：， 所以的外接圆的方程为. 16. 如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. （1）用向量，，表示向量，并求向量的模； （2）证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算以及模长公式计算即可； （2）将也用，，表达出来，再根据向量垂直判定定理即可求解. 【小问1详解】 在平行六面体， 可得, 所以， 因为， 所以 ； 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 根据向量垂直判定定理可知，所以. 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【小问1详解】 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 【小问2详解】 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 18. 在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） ∵底面，底面，底面， ∴，，又∵， ∴以为原点，为轴，为y轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， ∴，，，，， ∴，平面平面，∴平面的一个法向量， ∵，∴， 故平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，然后建立空间直角坐标系，写出点的坐标，然后得到线的方向向量，求出面的法向量，证明，即可得证； （2）由（1）可知线的方向向量，求出面的法向量，利用空间向量求得线面角的正弦值； （3）设，然后得到点坐标，分别求出平面和平面的法向量和，由空间向量求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， ∴. 【小问3详解】 由（1）知，设， 则，则， ∵，∴，∴，即， ∴，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， ∵平面平面，∴平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， ∴. 19. 已知A为圆O：上一点，过点A作y轴的垂线交轴于点B，点P满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线交于C，D两点. （ⅰ）若直线l过点，当的面积最大时，求l的方程； （ⅱ）若线段CD的中点为（）．证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）或； （ⅱ）证明：由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组， 消去x，整理得：， ，得， ，因为线段CD的中点为， 所以，化简得，因为，所以， 因为，所以，即得，解得或， 综上得出. 【解析】 【分析】（1）假设点，然后根据，可知，结合圆的方程可得结果； （2）（ⅰ）先设直线再联立方程组结合韦达定理应用弦长公式得出长再应用点到直线距离得出面积化简后，换元应用基本不等式求解；（ⅱ）先设直线再联立方程组结合韦达定理得出，进而得出，再结合判别式得，换元解不等式即可证明. 【小问1详解】 设，则 由，所以， 又，所以， 故动点P的轨迹的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组， 消去x，整理得：， ，得， ，， 所以弦长 ， 原点到直线l的距离， 所以， 令，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得， 所以直线l的方程为：或； （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键是联立椭圆方程及点到直线距离得出面积后使用换元法结合基本不等式即可得出最大值并得出直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $