精品解析：四川省眉山市仁寿县2024-2025学年上学期九年级数学期中试题

仁寿城区初中学校2024年秋半期质量监测 九年级（上）数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一．选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若有意义，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且， 故选：B． 2. 若，则的值是（ ） A. －1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是把比例式进行合理的变形；由得，再代入化简即可求解． 【详解】， ， ； 故选：C． 3. 已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．由，可知和异号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 和异号， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 4. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴关于一元二次方程没有实数根． 故选：D． 5. 若关于的方程有两个实数根，则应满足（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，由方程为一元二次方程，得,再结合根的判别 式：当时，方程有实数根，即可求解,熟练地掌握当时，方程有实数根，当时，方程无实数根是解题的关键． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， ， 解得：， 且， 故选：． 6. 如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 7. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，，，对分子进行因式分解后，利用整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m，n是的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系等知识，关键在于利用因式分解正确变形，用整体代入方法解决． 8. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由道路的宽为∶ m，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解∶道路的宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得∶． 故选∶C． 9. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明得到，则，再证明，得到，则，进而得到，同理可得． 【详解】解：点D，E为边的三等分点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 10. 若，则函数一定经过第（ ）象限 A. 一二 B. 二三 C. 三四 D. 一四 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质与图象，属于基础题． 由题意可得， ，分，两种情况讨论，即可求解． 【详解】解∶，， 当，， 则直线为，经过第一、二、三象限； 当时，即， 则，直线为，经过第一、二、四象限， 综上所述，该直线必经过第一、二象限， 故选∶A 11. 如图，在中，，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 14 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用的表达式表示出对应边． 根据已知条件可以推出然后把它们的直角边用含的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出的值． 【详解】解：∵在中()，放置边长分别，，的三个正方形， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴(不符合题意， 舍去)或， 故选： B． 12. 如图，平行四边形的对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤，正确的个数是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①先根据角平分线和平行得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断；⑤根据同腰三角形面积的长等于对应底边的长可得：，代入可得结论． 【详解】解：①∵平分， ， 是平行四边形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ∵， ∴， ， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故②正确； 由②知：， ，故③正确； 由②知：是的中位线， ， ， ，故④正确； ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确； 综上分析可知：正确的有①②③④⑤共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 二．填空（本题共6个小题，每小题4分，共24分．请把你认为正确的答案填在横线上） 13. 化简 ________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了二次根式的乘除法运算，主要是掌握二次根式乘除法运算法则，注意化为最简二次根式． 根据二次根式乘除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则________． 【答案】或8 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵关于的二次三项式是一个完全平方式， 即， ∴， 即， 解得：或8． 故答案为：或8． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出___________个小分支 【答案】11 【解析】 【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值． 【详解】设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：x2+x+1=133， 解得：x=11或x=−12(不合题意,应舍去)； ∴x=11； 故每支支干长出11个小分支. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握读懂题意，得到等式. 16. 关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为_________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 关于的方程的解是，， ，． 故答案为：，． 17. 如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，先证明得到，由平行四边形的性质结合已知条件推出，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 为的中点， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，点、分别是正方形的边、上的动点（不与、、重合），且始终保持，、分别交于点、，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的有_________． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些性质与判定．把绕点逆时针旋转得到，先证明，得，，从而得，故证①；证，得，，故可证②；证，故可证③；证明即可判断④． 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，    由旋转的性质得，，，，，， ∴， ∴点、、三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵中，， ∴， 故②错误； ∵，， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故答案为：①④． 三、解答题（本题共8个题，共78分）．简答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 19. 计算题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的混合运算； （1）先计算负整数指数幂，化简绝对值，二次根式，计算零次幂，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法：因式分解法解方程，熟练掌握是解题的关键． (1) 先把方程移项，再利用因式分解法求解即可． (2)先把方程移项，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ∴ ． 21. 化简求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是正确把分式化简；根据分式的运算法则先化简分式，再根据分母有理化求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ． 22. 年月日，龙芯产品发布暨用户大会举行．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： （1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，条生产线最大产能是万个/季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1） （2）条 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设前三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量（前三季度生产量的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设前三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：前三季度生产量的平均增长率为； 【小问2详解】 设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴， 答：应该再增加条生产线． 23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值． 【答案】（1）k≤；（2）k=﹣1． 【解析】 【详解】【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得； （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根， ∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0， 解得k≤； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3， ∵x12+x22=11， ∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1， ∵k≤， ∴k=4（舍去）， ∴k=﹣1． 【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法. 24. 小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的D处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端E重合，这时小亮身高CD的影长DE＝1米，一段时间后，小亮从D点沿BD的方向走了2.6米到达G处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端H重合，这时小亮的影长GH＝1.4米，已知小亮的身高CD＝FG＝1.6米，点G、E、D均在直线BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，请你根据题中提供的相关信息，求出旗杆的高度． 【答案】12m 【解析】 【分析】先证明△ECD∽△EAB，利用相似比得到①，再证明△HFG∽△HAB得到②，然后解由①②组成的方程组求出AB即可． 【详解】解：∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴，即①， ∵FG∥AB， ∴△HFG∽△HAB， ∴，即②， 由①②得，解得BD＝6.5， ∴，解得AB＝12． 答：旗杆的高度为12m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，为了使问题简便，尽量构造直角三角形，然后利用三角形相似，对应边成比例可求出相应线段的长． 25. 已知：如图，中，，过点作，，连接，且 （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ． ． ， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形和矩形的判定与性质综合运用．以及勾股定理的运用． （1）通过，，可以得出，所以对应角相等，得出，求得． （2）通过已知条件可以证明四边形是矩形，得出，由，，可以证明，得出，可以求出，根据勾股定理可以求出，即为． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：，，， 四边形是矩形． ， ，， ． ． ． 即 解得或（舍去）． 中，， ． 26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点 A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速 度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后 第ts时，△EFG的面积为Scm2． (1)当t＝1s时，S的值是多少？ (2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围； (3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）24cm2;（2）（）或（）；（3）或 【解析】 【分析】（1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系． （2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式． （3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解． 【详解】（1）如图1，当秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2 由 = （2）①如图(甲)，当时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动， 此时 即（） ②如图2，当点F追上点G时，，解得． 当时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动． 此时CF=．CG=． FG=CG-CF= 即（） （3）如图(甲)，当点F在矩形的边BC上移动时，． 在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°． ①若．即，解得． 又满足，所以当时，△EBF∽△FCG． ②若．即，解得． 又满足，所以当时，△EBF∽△GCF． 综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿城区初中学校2024年秋半期质量监测 九年级（上）数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一．选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若有意义，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 2. 若，则的值是（ ） A. －1 B. C. D. 1 3. 已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 4. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 5. 若关于的方程有两个实数根，则应满足（　　） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 若，则函数一定经过第（ ）象限 A. 一二 B. 二三 C. 三四 D. 一四 11. 如图，在中，，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 14 B. 7 C. 6 D. 5 12. 如图，平行四边形的对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤，正确的个数是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 二．填空（本题共6个小题，每小题4分，共24分．请把你认为正确的答案填在横线上） 13. 化简 ________． 14. 已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则________． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出___________个小分支 16. 关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为_________ 17. 如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于_______． 18. 如图，点、分别是正方形的边、上的动点（不与、、重合），且始终保持，、分别交于点、，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的有_________． 三、解答题（本题共8个题，共78分）．简答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 19. 计算题： （1） （2） 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 21. 化简求值：，其中，． 22. 年月日，龙芯产品发布暨用户大会举行．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： （1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，条生产线最大产能是万个/季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值． 24. 小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的D处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端E重合，这时小亮身高CD的影长DE＝1米，一段时间后，小亮从D点沿BD的方向走了2.6米到达G处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端H重合，这时小亮的影长GH＝1.4米，已知小亮的身高CD＝FG＝1.6米，点G、E、D均在直线BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，请你根据题中提供的相关信息，求出旗杆的高度． 25. 已知：如图，中，，过点作，，连接，且 （1）求证：． （2）若，，求的长． 26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点 A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速 度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后 第ts时，△EFG的面积为Scm2． (1)当t＝1s时，S的值是多少？ (2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围； (3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $