2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根-（讲解课件）【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

2.5 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数求方程的近似根 第二章 二次函数 九年级下册数学（北师版） 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的 交点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 Δ＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ = 0 没有交点 没有实数根 Δ＜0 复习回顾 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根吗? 由图象可知，方程 x2 + 2x - 10 = 0 _____根，一个根在____和____之间，另一个根在____和____(填两个整数）. 两个 －5 －4 2 3 1 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 （1）先求－5 和－4 之间的根. 利用计算器进行探索： x ... ... y ... ... －4.1 -1.39 －4.2 -0.76 －4.3 -0.11 －4.4 0.56 y 对应的值由负变为正 因此，x =－4.3 是方程的一个近似根. y 值更接近 0 x y （2）另一个根可以类似地求出: 2.1 2.2 2.3 2.4 －1.39 －0.76 －0.11 0.56 因此，x = 2.3是方程的另一个近似根. 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤： ① 画出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象； ② 确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间； ③ 列表，在②中的连个数之间取值，进行估计. 近似根就出现在对应 y 值正负交换的位置. 归纳总结 做一做 利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根. x2 + 2x - 13 = 0 由图象可知方程有两根，一个在－5和－4 之间，另一个在 2 和 3 之间. x y －4.9 1.21 －4.8 0.44 －4.7 －0.31 近似根：－4.7 2.9 2.8 2.7 近似根：2.7 你还能利用二次函数 y = x2 + 2x - 10 的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根吗？ 做一做 y = x2 + 2x - 10 和直线 y = 3 交点和横坐标就是方程 x2 + 2x - 10 = 3 的根 y = 3 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法： ①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根. ②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线 y = ax2 + bx 和直线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根. 归纳总结 练一练 1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 (　　) A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5 C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1 B 解析：由图象可得该抛物线的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点 到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又 ∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1. ∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故 x1≈－2.5，x2≈0.5. 问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________. 3 -1 O x y x1 = −1，x2 = 3 x < −1 或 x > 3 −1 < x < 3 *利用函数的图象求一元二次不等式的解集 2 合作探究 拓广探索： 函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________. 3 −1 O x 2 (4，2) (−2，2) x1 = −2，x2 = 4 x < −2 或 x > 4 −2 < x < 4 y −2 4 问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个公共点，坐标是 ；方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 . 1 (2 ，0) x1 = x2 = 2 2 O x y 问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有______个公共点；不等式 ax2 + bx + c ＜ 0 的解集是什么？ 0 解：(1) 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解. (2) 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实数. O x y x y O 2 O x y -1 2 x y O y = -x2+x+2 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式： (1)① -x2+x+2=0； ② -x2+x+2>0； ③ -x2+x+2<0. (2)① x2-4x+4=0； ② x2-4x+4>0； ③ x2-4x+4<0. (3)① -x2+x-2=0； ② -x2+x-2>0； ③ -x2+x-2<0. y = x2-4x+4 y = - x2+x -2 ①x1 = -1，x2 = 2 ③x＜-1或 x＞2 ① x1 = x2 = 2 ② x ≠ 2 ③ 无解 ① 无解 ② 无解 ③ x 为全体实数 ②-1＜x＜2 x2 x1 O x y a＞0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系 归纳总结 y＜0，x1＜x＜x2； y＞0，x＜x1 或 x＞x2. x0 O x y y＞0，x0 之外的所有实数； y＜0，无解. O x y y＞0，所有实数；y＜0，无解. x2 x1 O x y a＜0 归纳总结 x0 O x y O x y y＞0，x1＜x＜x2； y＜0，x＜x1或 x＞x2. y＜0，x0 之外的所有实数； y＞0，无解. y＜0，全体实数；y＞0，无解. 1. 二次函数 y = x2 - x - 2 的图象如图所示，则函数值 y＞0 时，x 的取值范围是( ) 链接中考 x y O 2 1 3 -1 2 3 1 -1 A．x＜-1 B．x＞2 C．-1＜x＜2 D．x＜-1 或 x＞2 D 二次函数图象 由图象与 x 轴的交点位置，判断方程根的近似值 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集 课堂练习 判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0,a,b,c 为常数)一个解 x 的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值: A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 课堂练习 2. 小颖用计算器探索方程 ax2+bx+c=0 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到 0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 D 3.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x 取什么值时，y > 0 ？ （3）x 取什么值时，y < 0 ？ x y O 2 4 8 解：（1）x1=2，x2=4； （2）x < 2 或 x > 4； （3）2 < x < 4. $$