2.4 第1课时 图形面积的最大值-（讲解课件）【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

2.4 二次函数的应用 第二章 二次函数 第1课时 图形面积的最大值 九年级下册数学（北师版） 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4. 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2； 顶点坐标：（2，-9）； （2）开口方向：向下；对称轴：x = ； 顶点坐标：（ ， ）； 复习回顾 想一想 思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 例1 写出下列抛物线的最值. （1）y = x2 - 4x - 5; 解：(1)∵a=1＞0，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，-9), ∴当x=2时，y 取最小值，最小值为-9; (2) y = -x2 - 3x + 4. (2)∵a= -1＜0，对称轴为 x= ，顶点坐标为( ， ), ∴当x= 时，y 取最大值，最大值为 ; 求二次函数的最大(或最小)值 1 探究新知 例2 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　) A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1 解析：∵二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 有最小值 2， ∴a＞0，y最小值＝ ＝ ＝2， 整理，得 a2－3a－4＝0，解得 a＝－1或4. ∵a＞0，∴a＝4. 故选 C. C 引例 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上. (1) 如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD 边的长度如何表示? 2 几何图形面积的最大面积 解：(1) 设 AD = h， 由图可知 Rt△EDC∽Rt△CBF. ∴ ∴ E F G E F 在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 解：如下图所示，过点 G 作 GM⊥EF，交 DA 于点 N，交 CB 于点 M. ∵ DA//CB，∴GN⊥DA. ∵DA//EF， M N 议一议 (2)设矩形的面积为 y m， 当 x 取何值时，y 的值最大? 最大值是多少? （2）由题意可得 ∴当 x = 20 时， y 有最大值 300. (0＜x＜40) E F 在Rt△EGF中， 由 得 GM = 24（m） ∴当 x = 12 时，y 有最大值 300. (0＜x＜40) G E F M N 例3 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. (1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 矩形面积与一边长的关系. 60 - 2x x x ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 − 2x) m. ∴ S = x(60 − 2x) = −2x2＋60x . ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∴14≤x＜30. 60 − 2x≤32， x＞0 60 − 2x＞0 ③ 写出二次函数解析式，并化为顶点式 60 - 2x x x ∵ S = −2x2＋60x = −2(x − 15)2 + 450， ④ 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值 ∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2. (2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 60 - 2x x x 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x) = −2(x − 15)2 + 450. ∴21≤x＜30. 60 − 2x≤18， x＞0 60 − 2x＞0 想一想：当墙长发生改变时，根据问题(1)，什么会发什么改变，什么不变？ 观察取值范围，你有什么发现？ O x y 30 21 ∵ 15＜21， x = 15 ∴ 当 21≤ x＜30 时， S 随 x 的增大而减小， 故当 x = 21 时，S 取得最大值， 此时 S最大值 = −2×(21 − 15)2 + 450 = 378 (m2). 归纳总结 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式 求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值. 例4 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到 0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到 0.01 m2) x x y 典例精析 解：∵ 7x + 4y + πx = 15， ∵0＜x＜15，且0＜ ＜15， ∴0＜x＜1.48. 设窗户的面积是Sm2，则 ∴当 x = ≈1.07 时，S最大= ≈4.02. 因此，当 x 约为 1.07m 时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为 4.02 m2. 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 （二次函数的图象和性质） 实际问题 数学模型 转化 回归 （实物中的抛物线形问题） 当堂小结 1. 如图 1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是 . 图1 课堂练习 2. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，B = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿 BC以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s， 四边形 APQC 的面积最小. 3 A B C P Q 图1 链接中考 3. (河北期末) 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围； (2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? A B C D 15m 解：设 BC 的边长为 x m， (1) 由题意得， (0＜x≤15). (2) ∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大， 而 0＜x≤15. ∴ 当 x = 15 时，S 有最大值， 即矩形 ABCD 的面积最大. A B C D 15m x $$