2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质-（讲解课件）【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

2.2 二次函数的图象和性质 第二章 二次函数 第3课时 二次函数 y = a(x - h)2 的图象与性质 八年级下册数学（北师版） a,c 的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y轴（直线 x = 0） y轴（直线 x = 0） （0，c） （0，c） 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. x = 0 时，y最小值 = c x = 0 时，y最大值 = c 问题1 说说二次函数 y = ax2+c (a≠0) 的图象的特征. y = ax2 y = ax2 + c 上下平移 想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移后会得到新的抛物线吗？ 复习回顾 例1 画出二次函数 y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 解：列表如下： x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 2x2 2(x - 1)2 8 0 8 18 0 2 18 32 18 8 2 8 2 0 32 50 32 18 二次函数 y = a(x - h)2 的图象和性质 1 你能发现 2(x - 1)2 与 2x2 的值有什么关系？ 探究新知 描点、连线，如图所示： y = 2x2 y = 2(x - 1)2 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 从左到右对称轴分别是都 是 ； (4) 从左到右顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向上 x = 0，x = 1 (1，0) (0，0)， (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______； (6) 函数 y = 2(x - 1)2 的增减性 ： ___________________________ ___________________________. 低 小 y = 0 当 x＜1 时，y 随 x 增大而减小， 当 x＞1 时，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？ y = 2x2 y = 2(x - 1)2 x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· −2 −4.5 −2 0 0 −2 −2 −4.5 −8 −8 解：列表如下： 例2 画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x = -1 (-1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0 ) (1) 顶点都是最____点，函数都 有最____值，都为_______； (2) 函数的增减性： 根据图象回答下列问题: 做一做 高 大 y = 0 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＜0) 的性质是什么？ 当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大 当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小 当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大 -2 2 -2 -4 4 -4 O x y 归纳总结 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，0) (h，0) 当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小. 典例精析 例1 在函数 y＝(x－5)2 中，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而________(填“增大”或“减小”)． 例1变式 在二次函数 y＝－(x－m)2 (m 为常数)中， 当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大，则 m＝ . 3 增大 想一想 抛物线 y = 2(x + 1)2， y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 有什么样的关系？ 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 二次函数y=ax2的图象与 y=a(x-h)2 的图象的关系 2 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 y = 2x2 向右平移 1 个单位 向左平移 1 个单位 向 x 轴正方向平移 向 x 轴负方向平移 从形的角度探究 y = 2x2 向左平移 1 个单位 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 向右平移 1 个单位 O −2 2 -2 -4 -6 4 −4 x y 归纳总结 y = ax2 向右平移 h 个单位 y = a(x - h)2 向左平移 h 个单位 y = a(x + h)2 左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变. 当 h > 0： 链接中考 1. (武汉) 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　) A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度 C. 向左平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 1 个单位长度 C a > 0，开口向上 a < 0，开口向下 a 的符号和 h 的值决定增减性 探索 y =a(x±h)2的图象及性质 开口方向及增减性 对称轴 直线 x = h (h，0) y = ax2 左右平移 h 个单位 顶点坐标 平移规律： 自变量 左加右减， 括号外 保持不变. 当堂小结 2. 二次函数 y = 2(x - )2 图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________. 1. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的表达式是 . y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2 课堂练习 3. 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 ( 3, 0 ) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2, 0 ) ( 1, 0) 4. 若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y = (x-2)2 图象上的三点，则 y1 ，y2 ，y3 的大小关系为_______________. y1 ＞y2 ＞ y3 5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 解：图象如图. 函数 y= 2(x-2)2的图象由函数 y= 2x2 的图象向右平移 2 个单位得到. y O x y = 2x2 2 $$