1.5 三角函数的应用-（讲解课件）【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

1.5 三角函数的应用 第一章 直角三角形的 边角关系 九年级下册数学（北师版） 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 情景导入 引例 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处. 之后，货轮继续向东航行. 货轮继续航行会有触礁的危险吗？ B A C 60° D 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile. 北 东 与方位角有关的实际问题 1 探究新知 解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 设 AD = x ， 则在 Rt△ABD 中， 在 Rt△ACD 中， 解得 所以，这船继续向东航行是安全的. B A C D 25° 55° 北 东 由 BC = BD - CD，得 链接中考 1. [贺州中考]如图，在 A 处的正东方向有一港口B. 某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60° 方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20 n mile/h 的速度行驶 3 h 到达港口 B. 求 A，B 间的距离. （ ，结果精确到 0.1 n mile ） 北 东 A B C 60° 解：如图所示，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则∠ACD = 60°，∠BCD = 45°. 在Rt△BCD 中， D D 在Rt△ACD 中， 即 A，B 间的距离约为 114.7 n mile. 北 东 A B C 60° 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 实际问题 画出平面图形 生活问题数学化 数学问题 （作辅助线，构造直角三角形） 设未知量 建立方程 （构造三角函数模型） （代入数据求解） 求解方程 解答问题 归纳总结 仰角和俯角问题 2 如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60°，那么该塔有多高? （小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ） 想一想 解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m. Rt△ADC 中， . Rt△BDC 中， . ∴ x = ≈43 ( m ). ∴ AB = AC－BC = . 30° 60° 50 m 如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 知识要点 2.[内江中考]如图，有两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB的高为 120 m，从 DA 的顶点 A 测得 CB 顶部 B 的仰角为 30°，测得其底部 C 的俯角为 45°，这两座建筑物 的地面距离 DC 为多少米？（结果保留根号） E 解：如图所示，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E. 则四边形 ADCE 为矩形，∴ AE = DC. 设 BE = x . 在Rt△ABE中，∠BAE = 30°， 链接中考 答：这两座建筑物的地面距离 DC 为 . E 利用坡角解决实际问题 3 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 40° 减至 35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到 0.01 m). A D C B 40° 35° 4 m ？ A D C B 40º 35º 4 m ？ 解：如图∠ACD = 40°，∠ABD = 35°，AC = 4m. Rt△ACD 中， ∴ AD = 4sin40°. A B C 坡角 铅直高度h 水平宽度l α 坡度或坡比 坡角越大，斜坡越陡 坡度越大，斜坡越陡 知识要点 链接中考 3. [十堰中考]如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ，AD = 3 m，坝高 AE = DF = 6 m，坡角∠α = 45°， ∠β = 30°，求 BC 的长. 解：∵AD∥BC，且 AE⊥BC，DF⊥BC， ∴四边形 AEFD 是矩形. ∴AE = DF = 6m，AD = EF = 3m. ∵∠α = 45°，∠β = 30°， ∴BE = AE = 6m， 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解 直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 当堂小结 1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24 米，那么旗杆的高度约是 ( ) A. 12 米 B. 米 C. 24 米 D. 米 B 2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛 的北偏西 40° 方向，则从 C 岛 看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于 °． 90 课堂练习 3. 如图，为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高 度是 1.72 米，则树高 (精确到 0.1 米). A D B E C 20.9 米 4. 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东65° 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01海里）？ 65° 34° P B C A 解：如图 ，在 Rt△APC 中， PC ＝ PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈ 80×0.91 = 72.8 在Rt△BPC 中，∠B＝34° 当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 130.19 海里． 65° 34° P B C A 45° 30° O B A 200 米 5. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和 45°，求飞机的高度 PO. P 解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C. C 则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°． ∴ PC = BC = 200 + AC，tan30° = ∴ AC = 米．∴ PO = BC = 米. 6. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 ( 精确到 0.1， ).   45° 30° 4米 12米 A B C D 在 Rt△BCF 中，同理可得 因此 AB ＝ AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93 ≈ 22.93（米）． 解：作 DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为 E、F． 由题意可知 DE＝CF＝4(米)， 　 CD＝EF＝12(米)． 在 Rt△ADE 中， 45° 30° 4米 12米 A B C E F D 答： 路基下底的宽约为 22.93 米． Lavf56.15.102 $$null