精品解析：重庆市南坪中学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度高一上期数学12月月考卷 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知全集，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集、补集的知识求得正确答案. 【详解】， 阴影部分表示的集合为. 故选：A 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合充分不必要条件的定义，即可求解. 【详解】根据充分不必要条件的定义，可得的一个充分不必要条件，即找集合的一个真子集，结合选项，可得集合是它的一个真子集. 故选：B. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性即可. 【详解】由指数函数的单调性可知，即， 又，即， 所以. 故选：D. 4. 已知扇形的周长为12，半径为4，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】求出扇形的弧长，利用扇形面积公式求出答案. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得：， 所以扇形的面积为. 故选：C 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解. 【详解】因为函数在上都是增函数， 所以在上单调递增， 因为，所以的零点所在的区间为. 故选：C. 6. 若，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立； 所以，即的最大值为， 故选：C. 7. 已知函数，若，则正实数的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】就、分类计算后可得方程的解. 【详解】因为，故， 而当时，有，故， 故，而在为增函数， 且，故， 若，则，故，而， 故在上无解， 故的正实数解为， 故选：C. 8. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出经过200天的“进步值”和“退步值”，再结合对数与指数运算求解作答 【详解】依题意，经过200天的“进步值”为，“退步值”为， 则“进步值”与“退步值”的比， 两边取对数得， 因此，所以“进步值”大约是“退步值”的55倍. 故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ） A. B. 为偶函数 C. 为单调递增函数 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得奇偶性，单调性，值域. 【详解】对于A，因为幂函数，则， 故A正确； 对于B，由A，为偶函数，故B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增， 则不为定义域上的单调递增函数，故C错误； 对于D，注意到，则的值域为，故D正确. 故选：ABD 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则的取值集合为 B. 的定义域为，则的定义域为 C. 不等式解集为，则 D. “”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用集合的包含关系分类讨论即得；对于B，把函数符号内看成整体,将其范围代入计算即得；对于C，利用三个二次之间的关系，结合韦达定理找到数量关系即可推得；对于D，根据一元二次不等式恒成立问题，按参数分类讨论，数形结合即得. 【详解】对于A，易知，对于集合，由，可知包括，或三种情况， 故的取值集合为，故A错误； 对于B，由的定义域为，可知， 要求的定义域，需使，即， 故的定义域为，故B错误； 对于C，依题意，方程有两根为和，且， 则解得，故，故C正确； 对于D，由不等式对一切实数恒成立，可得： ①当时，不等式为显然恒成立； ② 当时，由，可得. 综上可得，的取值范围为，故D错误. 故选：ABD. 11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象可得，即可结合图象，根据选项即可求解. 【详解】作出的图象如下：令，则， 故，，A错误，BC正确， 令，则或 ，结合图象可知，D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 求值：__________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用有理数指数幂运算法则，对数的运算法则即可求解. 【详解】解： ； 故答案为：10. 13. 函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，结合指数函数和二次函数的单调性知识，求得函数的单调递增区间. 【详解】函数在上递减，函数的对称轴是，且在上递增，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数的单调递增区间为. 故填：. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查指数函数和二次函数的单调性，属于基础题. 14. 已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解. 【详解】因为的定义域为， ， 所以为奇函数.因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 所以在上单调递增. 因为为R上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以不等式即为，则. 因为，所以，即. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式. 四、解答题（15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分） 15. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）； （3）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集与并集的运算求解即可； （2）由集合的补集运算与交集运算求解即可； （3）由交集为空集，列出不等式求解参数的范围即可. 【小问1详解】 集合，， 所以，. 【小问2详解】 或，所以. 【小问3详解】 因为集合，， ，则，故， 所以实数a的取值范围. 16. 已知角满足. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简，再由即可得到结果. （2）由及，即可得到结果. 【小问1详解】 原式 ， ， 原式. 【小问2详解】 ， 且， ， . 17. 为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】（1）选择模型③，理由如下： 对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度较慢， 对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选择模型③， （2）72万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，选择模型③，所求函数过点，， 则，解得，， 故所求函数为， ，即， ， ， 至少应完成销售利润72万元． 18. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）设函数，若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用可得，经检验可知符合题意； （2）根据（1）中解析式判断出函数的单调性，结合奇函数性质解不等式可得结果； （3）依据题意可得只需满足，结合指数型复合函数单调性求得可得结果. 【小问1详解】 因为定义域是上的奇函数， 所以，即 解得. 经验证时，是奇函数. 【小问2详解】 设，则， 因为在上递增，且在上递减， 所以是上减函数， 又因为在上是奇函数， 则可转化为， 且在是减函数，则， 整理得，解得或， 可得或， 所以不等式的解集为或. 【小问3详解】 由题意可得 因为，即，则，可得， 所以的值域是， 若，使成立，只需， 设，则 可知在[1，2]上单调递增， 可知， 即时，取到最大值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题求解实数的取值范围时关键在于将问题转化为求解的问题，再根据复合函数单调性计算解不等式即可. 19. 设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②. （2）若（）是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”. 【答案】（1）①是（满足性质1）；②不是 （2） （3） 证明：对于任意区间，记， 由已知得在I上单调递减，故， 因为，即S的长度大于I的长度，故不满足性质①， 所以若I为的“区间”，必满足性质②，这只需， 即只需或， 由显然不恒成立，所以存在常数c使得. 如，取，区间满足性质②； 如，取，区间满足性质②； 综上，函数一定存在“区间”； 记，则图象连续不断，下证明有零点： 因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记； 若，则是的零点， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 综上，有零点，即， 因为的所有“区间”I都满足性质②，故.（否则，与性质②不符） 即不属于的任意一个“区间”，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数和，进行判定，即可求解； （2）若I为的“区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即，由，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若I为的“区间”，必满足性质②，转化为或，得出一定存在“区间”，记，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在，使得，即可求解. 【小问1详解】 解：①中，函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“区间”； ②中，函数，当时，可得，此时不满足，所以区间不是函数的一个“区间”； 所以①是（满足性质1）.②不是. 【小问2详解】 解：记，，可得，故若I为的“区间”， 则不满足性质②，必满足性质①，即； 由， 当时，在上单调递增，且， 即，所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意； 综上可知，，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一上期数学12月月考卷 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知全集，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的周长为12，半径为4，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则正实数的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6 8. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ） A. B. 为偶函数 C. 为单调递增函数 D. 的值域为 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则的取值集合为 B. 的定义域为，则的定义域为 C. 不等式解集为，则 D. “”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件 11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 求值：__________. 13. 函数的单调递增区间为_________． 14. 已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______. 四、解答题（15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分） 15. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）； （3）若，求实数a的取值范围． 16. 已知角满足. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 18. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）设函数，若，使得，求实数的取值范围. 19. 设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②. （2）若（）是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $