第二部分 专题四 综合与实践-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学重难题型册（陕西专用）

!!!! ! 专题四#综合与实践 !'+'& 陕西 '% 题考法" !陕西数学 !" ! '()-89 !" 年 - 考" !$!'+', 陕西 '% 题 #+ 分""##如图 #!在 ! *"#中!*"$*#! # "*#$#'+/!"#$'&$若 ) * 的半径为 &!点'在 ) *上!点+在"#上!连接'+!求线段'+的最小值& "'#如图 ' 所示!五边形"#%&(是某市工业新区的外环路!新区管委会在点#处!点(处 是该市的一个交通枢纽$已知% # "$ # "#%$ # "(&$0+/!"#$"($#+ +++ <!#%$ &($% +++ <$根据新区的自然环境及实际需求!现要在矩形")&(区域内!含边界"修一 个半径为 ,+ <的圆型环道 ) *&过圆心*!作*+ " "#!垂足为+!与 ) *交于点,$连接 #,!点'在 ) *上!连接('$其中!线段#,!('及+,是要修的三条道路!要在所修道路 #,!('之和最短的情况下!使所修道路+,最短!试求此时环道 ) *的圆心*到"#的距 离*+的长$ 图 # !!!! 图 ' 解!$!%如解图 !"连接4,"43"过点4作43$ " #""垂足为3$" 则4,),3 + 43"(,3 + 43-4,( * ) 4的半径为 &"(,3 + 43-& + 43$-&(*4#'4"" # #4"'!"+)" (#3$'"3$' ! " #"'!"" # #'$+)"(43$'#3$#/<2$+)'&槡$" (,3 + 43$-& '&槡$ -&"(线段,3的最小值为 &槡$ -&& $"%如解图 ""分别在"%"#&上作""$'##$'5'$+$>%"连接#$"$""$4"4,"4&""$&( *43 " #""""$ " #""42'""$"(四边形""$42是平行四边形"("2'"$4( *"$4)4,),& + "$4)4& + "$&"("2),& + "$&-5" (当点4在"$&上时""2),&取得最小值( 作 ) 4$"使圆心4$在"$&上"半径5'$+ >"作4$3$ " #""垂足为3$"并与#$"$交于点." (4$. ' #$&"( ! "$4$. (! "$&#$"( 4$. &#$ ' "$. 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"#%分 成面积相等的两部分!并说明理由$ 问题解决 ",#如图 ,!四边形"#%&是某市区新近改造过程中的一块不规则空地!为了美化环境!市 规划办决定在这块空地里种植两种花卉!打算过点 %修一条笔直的通道!以便市民出行 观赏花卉!要求通道两侧种植花卉的面积相等!经测量"#$'+ <!"&$#++ <! # "$%+/! # "#%$#-+/! # #%&$#'+/$若将通道记为%)!请你画出通道%)!并求出通道%)的长$ 图 # !! 图 ' !! 图 , 解!$!% 槡"!#'解法提示(如解图 !"取"%的中点 !"连接 #!"线段 #!即为所求(*#"'#%" "!'!%"(#! " "%(在 ./ ! #"!中( # #!"'6+)"#"'%""!'""(#!' #" " -"!槡 " '槡"!( $"%如解图 ""取"%的中点'"连接#'"!'"过点#作#& ' !'交"%于点&"连接!&"则线段 !&平分 ! #"%的面积( 理由!*"'''%"(1 ! #"' '1 ! #%' ( *!' ' #&"(1 ! #&' '1 ! #&! " (1四边形#"&!'1 ! #"& )1 ! #!& '1 ! #"& )1 ! #&' '1 ! #"' ' ! " 1 ! #"% " (线段!&平分 ! #"%的面积( $$%如解图 $"延长#"交!%的延长线于点A"过点%作%& " #!于点&( * # #',+)" # #"%'!%+)" # "%!'!"+)" ( # !'$,+)-,+)-!%+)-!"+)'$+)" # A"%'!5+)-!%+)'$+)" ( # A'!5+)-,+)-$+)'6+)( *#!'!++ >"#"'"+ >" *%& " #!"( # %&!'6+)"(%&' ! " %!'"+槡$$>%"(!&'槡$%&',+$>%" (1四边形#"%!'1 ! #!A -1 ! "%A ' ! " 3%+ 3%+槡$ - ! " 3$+ 3!+槡$ '! !++槡$$> " %( *直线%'平分四边形#"%!的面积"(1 ! %!' '%%+槡$$> " %" (%%+槡$ ' ! 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" 3"+ '!+"#.'#&#012,+)'"+ 3 槡$ " '!+槡$" (,.',&-&.'$+ -!+ '"+( 在./ ! #,.中"由勾股定理得,#' ,." )#.槡 " ' "+ " )$!+槡$%槡 " '!+槡4" (#%'",#'" 3!+槡4 '"+槡4" (当 # #,"最大时"点%在!3上距离点!,+ 米处"斜杆#%的长度为 "+槡4米( *$ 由(2)可知AB=1-(-3)=4,∴PQ=4, .0Mr=AM·tam30°=45. 设P(t.2-21-3),则Q(t+4.2-2t-3)或(t-4. PM≥0M'-4=45-4, 2-21-3), ①当0(t+4,2-21-3)时，则2-21-3=(t+4)2+ ∴线段PM的最小值为45-4： 11 2(t+4)-3,解得1=-2. 2-21-3=5..P(-2,5).Q(2,5) ②当Q(t-4,2-21-3)时，则2-21-3=(1-4)2+ 2(t-4)-3.解得t=2, 2-2-3=-3P(2,-3),0(-2,-3). 综上可知，存在满足条件的点P,Q,其坐标为P(-2, BB 5),Q(2,5)或P(2,-3),Q(-2,-3) 解图1 解图2 16.解：(1)y=-x2+2x+8, (2)如解图2，分别在BC,AE上作BB=AM'=T= 令x=0,得y=8,.C(0,8), 30(m),连接A'B',B0,OP,0E,B'E. 令y=0,得-x2+2x+8=0. ,OM⊥AB.BB'⊥AB,ON=BB' 解得x1=-2,x2=4,.B(4,0): ÷四边形BBON是平行四边形，.BN=B"O. (2)存在点P,设P(0,y .B'D+OP+PE≥BO+OE≥B'E 由题意知CC'∥OB,且PC与PO是对应边， ,BN+PE≥B'E-r, 瓷品即 4 ∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值. 作⊙0'.使圆心0在BE上，半径r=30m,作0'M⊥ 解得=6，=5P0,16)或P(0,。 16 AB,垂足为M',并与A'B'交于点H, 17.解：(1)将点(3,12)和(-2，-3)代人y=x2+x+c,得 0I/AE△B0~△BB2票- 12=9+36+0,解得=2 1-3=4-2h+c, lc=-3, ,:⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界）， 故抛物线的表达式为y=x2+2x-3: ∴当⊙O'与FD相切时，BH最短， (2)由(1)可知y=x+2x-3, 此时B'H=10000-6000+30=4030(m). ,抛物线的对称轴为直线x=-1, 此时，在BV,EP之和最短的情况下，O'H也最短， 令y=0,则x=-3或1，令x=0,则y=-3, M'N'=O'H,∴M'N'也最短. .A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),0A=0C=3. W"=0H-E:B'H_0000-30×4030= B'A' 10000 ,∠PDE=∠AOC=90°， 4017.91(m), ,当PD=DE=3时，以P,D,E为顶点的三角形与 .0M=AMN+30=4047.91(m), △AOC全等. ∴.此时环道⊙0的圆心O到AB的距离OM的长为 如解图.设点P(m,n),当点P 4047.91m 在抛物线对称轴的右侧时，m一 2.解：(1)2【解法提示】如解图1.连接P0,C0,C0交 (-1)=3,解得m=2, ⊙0于点Q.CP+PO≥C0,∴.CP≥C0-P0,∴.当点 n=22+2×2-3=5,故点 P与点Q重合时，CP有最小值，即CQ的长.AB=6, P(2,5). ∴OA=3.AC是⊙0的切线，∴.∠CA0=90°AC= 点E的坐标为(-1,2)或 (-1,8): 4.C0=3+4=5.00=0A=3,.CQ=2∴CP的 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称 最小值为2： (2)如解图2，以BC为直径作⊙0，连接A0,交⊙0于 性可得，点P(-4,5),此时点E的坐标为(-1,2)或 点D时，满足∠BDC=90°，且此时AD最短，作DF⊥ (-1.8). BC于点F 综上所述，点P的坐标为(2,5)或(-4,5)：点E的坐 标为(-1,2)或(-1,8) BC=12,∴0B=6.AB=8,.0A=6+8=10. 专题四综合与实践 AB⊥BC.∴.DF∥AB,.△ODF∽△OAB, 1.解：(1)如解图1，连接OP,OM,过点O作OM'⊥AB,垂 DF:AB=OD:0A.DF:8=6:10..DF= 足为M', 则OP+PM≥OM,.PM≥OM-OP. OF-/opDF :⊙0的半径为4，.PM≥0M-4≥0M'-4. ,0A=0B.∠A0B=120°， C=0+0c-=C=Vm+元-24 .AM'=BM'=7AB=12.ZA=30, (3)如解图3，以BE为直径作⊙0，作点C关于AD的 对称点H,连接OH,交AD于点N,交⊙0于点M,此时 陕西数学 53 满足∠BME=90°，且HM最短 :新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面 ,点C与点H关于AD对称NH=NC, 积平分， MN+NC最短。 ∴直线PF必经过CD的中点M.易知ME是△CAD的 EC=20米，BC=60米，.BE=40米.∴，OE=20米. 中位线，∴.ME∥AD .0C=40米 MF∥AD,DM∥AF,∴.四边形AFMD是平行四边形， CD=30米，.CH=60米， .FM=AD =900 m. .0H=√0C+CF=20√13（米）. 过点C作CN⊥PF于点N,如解图3 .·四边形AFMD是平行四边形，∠DAB=60°， 0M=20米，.HM=(20√13-20)米 .∠PMC=∠DMF=∠DAB=60 即MW+NC=20/13-20=52.2(米)， 52.2×260=13572(元)，即修建小路的最少费用为 2D=1 ·GM= AB=600(m）MN=CW·ms600= 13572元 300(m),CN=CM·si60°=300,3(m) :∠PMC=∠DPC=60°，∠PCM=∠DCP △PMG△DnC…焉-兴即%-0 .PC2-720000.在Rt△PCN中，PV=√PC-CW= √720000-270000=3005(m), .PF-3005+300+900=(300,5+1200)m, 解图1 解图2 存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为 H (3005+1200)m. 4.解：(1)如解图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于 点H,过点E作EG⊥CH于点G 四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=8,AB CD,.∠ADH=∠BAD=45, 在Rt△ADH中，AD=6, .AH=AD·im∠ADH=6xsin45°=32 解图3 ~点E是AD的中点一DE=子D=3, 3.解：(1)25π【解法提示】连接04,0B, 如解图1.∠C=30°，.∠A0B=60° 同理得6G=3,2 2 OA=OB,.△OAB是等边三角形 DF=5,..FC=CD -DF=3, 六AB=0B=15ACB的长为30元×15 180 ∴SE=S0a-Sag-Saax=8x3万-7× 25m: 解图1 5x321 (2)存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为 2-2×3×32=632 4 (3005+1200)m.理由如下： D ·∠DAB=60°，∠ABC=120° ∴.∠DAB+∠ABC=18O°，∴AD∥BC. ,AD=BC=900m,,四边形ABCD是平行四边形. B ·要在湿地上修建一个新观测点P,使∠DPC=6O°， 解图1 解图2 ∴点P在以O为圆心，CD为弦，CD所对的圆心角为 (2)存在，如解图2，分别延长AE与CD,交于点K,则 120°的圆上，如解图2. 四边形ABCK是矩形， .AE=EC. .AK BC=1 200 m,AB =CK =800 m, ·,经过点E的直线都平分平行四边形ABCD的面积 设AN=xm,则PC=xm,B0=2xm,BN=(800-x)m D 4M=0C=(1200-2x)m, .MK=AK-AM=1200-(1200-2x)=2xm,PK= CK-CP=(800-x)m, 六.Sg边形0wN=S形k-SAAUN-S△N-Saw-S△PV= 80x1200-7120-2)-7-24(0-） B B 27120-2)-72x(800-0=4x-350y2+ 解图2 解图3 470000. 54众相原创赋能中考 .当x=350时，S边彩wm最小，最小值为470000m2. 6.解：(1)3 此时AM=1200-2x=1200-2×350=500<900 (2)AE=EF,理由如下： CP=x=350<600 如解图1，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G ∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为 则∠G=90 470000m2,这时，点V到点A的距离为350m ∠D=45°，AD∥BC. 5.解：(1)CF,DE,DF .∴.∠FCG=∠D=45°， (2)连接OP,如解图1， ∴.∠CFG=180°-∠FCG ∠G=45°. AB是半圆0的直径，PB=2PA,.∠APB=90°， ∴.△CFG是等腰直角三角 ∠A0P=了×180°=60，∠ABP=30, 解图 形，CG=FG,CF= 同(I)得四边形PECF是正方形，.PF=CF, √CG+FG=2FG 在Rt△APB中，PB=AB·cs∠ABP=8×cos30°=8× CF=√2BE,∴BE=FG=CG 5 .∴.BE+CE=CG+CE,即BC=EG =4,, 又：AB=BC,.AB=EG ∠B=∠G,△ABE≌△EGF(SAS), 在Rt△CFB中，BF= CF CF_CF=3CF. tan ZABP=tan30= ∴.AE=EF 3 (3)如解图2，连接AH,HF PB PF+BF...PB=CF+BF, EG,过点F作FP⊥BC于 即45=CF+3CF,解得CF=6-2: 点P 在矩形ABCD中，AB=120米 AD=240米，点H为边BC 的中点， 解图2 .∠B=∠C=90°，AB=BH=120米， ∴.△ABH为等腰直角三角形， ∠AHB=45°，AH=√1202+120=1202（米）. 解图1 解图2 四边形AEFG是菱形，AE=EF. (3)①，AB为⊙0的直径.，∴.∠ACB=∠ADB=90° ∠B=∠EPF,∠BAE=∠PEF ,CA=CB,∴∠ADC=∠BDC ∴.△ABE≌△EPF(AAS),∴.PF=BE,EP=AB, 同(I)得四边形PEDF是正方形，∴，PE=PF,∠APE+ ∴EP=BH,EP-EH=BH-EH,即PH=BE、 ∠BPF=90°，∠PEA=∠PFB=90°， ∴.PH=PF,∴.△PHF为等腰直角三角形， .将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△APF, .∠PHF=45°，.∠BHF=180°-45°=135 PA'=PA,如解图2， 又：∠AHB=45°，六.∠AHF=∠AHB+∠BHF=I80°， 则A',F,B三点共线，∠APE=∠A'PF, 即A,H.F三点共线. ∴.∠A'PF+∠BPF=90°，即∠A'PB=90° 四边形AEFG是菱形，，AF垂直平分EG, .GH EH. .mmPAP0). GH+EH=4BE,EH=2BE,BE=号BH=40米. 在△4CB中，AC=Bc=号B=号×0=35，am .PH=PF=BE=40米. Su=24C=×(35②2=125(em), ·HF=402米，∴AF=1602米 记AH与EG的交点为点O y=Sm+5aa=分(0-+125。 22+ :AE=√AB+BE=4010(米)， 35x+1225: 01=号4F=02(米)， ②当AP=30m时，A'P=30m, .OE=√AE-AO=402(米)，.菱形AEFG的面 PB=AB-AP=70-30=40(m). 在R△M'PB中，由勾股定理得A'B=√'P+PB= 积=4×20M:0E=12800(平方米)， 30+40=50(m). 即民宿区域的面积为12800平方米 7.解：(1)√2T【解法提示】如解图 arm=2AB·PF=PB,Ap, 1,取BC的中点D,连接AD,线段 AD即为所求.AB=AC,BD=DC 7×50×PF=2×40×30,解得PF=24, ∴·AD⊥BC.在R△ABD中.∠ADB= Sm=PF=24=576(m2),当AP=30m时，室 90°，AB=5,BD=2,.AD=B 内活动区（四边形PEDF)的面积为576m. AB BD 21. 解图1 陕西数学55 (2)如解图2，取BC的中点F,连接AF,DF,过点A作 在△AMP中，∠APM-30°，AM-PM=a,AP边上的 AE∥DF交BC于点E,连接DE,则线段DE平分 △ABC的面积 高为2a,AP=3a 理由：BF=FC,.Sar=S△r DF∥AE,.S么r=S△D, 同理在△CPN中，CP边上的高为(60-a), S四形=S△E+S△E=S△E+SAE=SaF= CP=3(60-a). 5m, 1 ∴.线段DE平分△ABC的面积 (3)如解图3，延长AB交DC的延 ·20-a)=g0-月. 长线于点T,过点C作CE⊥AD于 点E =5w+Sm=5m+5加n-设2+g(o0 :∠A=60°，∠ABC=150°， ∠BCD=120°， 解图2 oP=a-30)460a .∠D=360°-60°-150°-120°=30°. ∠TBC=180°-150°=30°. ,>0当。=30时.阴影部分的面积最小，最小 .∠T=180°-60°-30°=90° AD=100m,AB=20m, 值为4503平方米， ∴能实现种植绿植的区域面积尽可能小，阴影部分面 A7=24D=50(m). 积的最小值为4503平方米。 .DT=5AT=50W3(m) 9. 解：(1)75°【解法提示】：△ABC为等边三角形. BT=AT-AB=30(m), ∴.AB=AC,∠BAC=60°.AD是等边△ABC的中线， ∴.CT=BT·tan∠7BC=30· 解图3 ∠PHC=方∠BMC=30:AP=AC,LAPG= =103(m, 3 3×10-30p）=759: :CD =DT-CT=403(m). (2)如解图1，连接PB. CE1AD∠CED=90CE=↓CD=203(m). AP∥BC,AP=BC,四边形PBCA为平行四边形， .∴.PB=AC=6,∠PBC=180°-∠C=60°， ∴.DE=3CE=6O(m), ∴.BE=PB·cos∠PBC=3,PE=PB·sin∠PBC= 1 S四边形D=S△m-S△T= ×50×505- 1 2 35. CA=CB,∠C=120°，.∠ABC=30°， 30×10√3=11005(m2). ,直线CF平分四边形ABCD的面积， 、OE=BE·tam∠ABC=3. Saw=5503(m2). =u-om=6x 2×3×V3= 505=0F.CBDF=5(m), 153 .EF=DE-DF=5(m). 29 .CF=√CE+EF=√(203)2+5=35(m),即通 道CF的长为35m. 8.解：(1)= (2),CD∥AB,点D和点C到直线AB的距离相等 BC=4,且BC边上的高为3，AB=AB, 5w=8竖=6i 解图1 解图2 (3)符合要求，证明如下： (3)能实现，理由如下： 如解图2，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平 在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD∥BC,AB∥CD, 行线，两条平行线交于点F, .∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=30. ∴.四边形FDCA为平行四边形. ,PM∥AD,PN∥CD. .*CA=GCD,∠DAC=45°，∴.∠ACD=90° ∴，PM∥AD∥BC,PN∥CD∥AB,且∠APM=∠DAC= ·四边形FDCA为正方形，∴.∠DAF=45°，AF=AC 30°，∠NPC=∠DCA=30° PE是CD的垂直平分线，PE是AF的垂直平分 六.SAAMP=S△pw,S△Cgw=SaN,四边形MBNP是平行 线，，PF=PA 四边形 :AP=AC,PF=PA=AF,∴.△PAF为等边三角形， 则△APM和△CPV是等腰三角形 ∴∠PAF=60°，∴.∠BAP=60°-45°=150， 设AM=a米，则PM=BN=a米，CN=(60-a)米 ∴裁得的△ABP型部件符合要求. 56众相原创赋能中考 10.解：(1)①∠BPQ-∠A.理由如下：如解图1，连接P0 题意知，此时∠APB最大 并延长交⊙O于点N,连接BN, DM∥EF,P是AC的中点，∠PEA=∠CDN= 则∠A=∠PNB, 60°.CD=2PE. PW为⊙0的直径，∴∠PBN=90°， 过点P作⊙O的直径PG,连接AG,则∠PBE=∠G, .·∠PNB+∠NPB=90° ∠PAG=90°，.∠APG+∠PBE=90. PQ与⊙0相切于点P,∴.∠NPQ=90°， EF是⊙O的切线，P是切点，.PG⊥EF, .∠NPB+∠BPQ=90°， ∴.∠EPA+∠APG=9O°，∴.∠EPA=∠PBE ,∠BPQ=∠PNB,,∠BPQ=∠A ②由①知∠BPQ=∠A.∠BQP=∠PQA, 又：LAP=LPEB△PEI△BEP,器-能 -△BPQ∽△PAQP-A0 BO PO .PE=AE·BE=20×(20+25)=900. PE=30, .AB=6.QB=2,∴.AQ=AB+BQ=6+2=8, ∴.CD=2PE=60.过点A作AH⊥EF于点H. 局0=4 :∠PEA=60°，.∠EAH=30°， 5BM=74B=7×20=10.4Al=Ak·sin60°=20× 2=103 ∴.PH=PE-EH=30-10=20. 在1△APH中，由勾股定理得PA=√PF+A= D 解图1 解图2 202+(103)2=107. (2)存在一点C,使得∠APB达到最大.如解图2，取 .AC=2PA=2×10万=207. AD的中点E,过点E作DM的平行线EF,经过点A,B .当∠APB最大时，点C在DM上距离点D60米处， 作O0与EF相切于点P,AE=DE=子D1=20.由 斜杆AC的长度为20√7米， 第三部分 2025全国新趋势题型 1.D【解析】设这个三位数与这个两位数分别为100x+4.解：(1)选择①，证明如下： 10y+z和10m+n,如解图1.由题意，得me=20,E=5, ∠B=∠AED y=2,=a,.=4,即m=4n,.当n=2时，m=8, .BC∥DE. AB∥CD z=2.5不是正整数，不符合题意，故舍去：当n=1时， ,.四边形BCDE为平行四边形： m=4,:=5,y=2,x=a,如解图2，则“20”左边的数是 或选择②，证明如下： 2×4=8,故A选项不符合题意；“20”右边的“口”表示 AE BE,AE CD,..BE CD. 4,故B选项不符合题意：根据解图2，运算结果可以表 AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形： 示为1000(4a+1)+100a+25=4100a+1025,故D (2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形， 选项符合题意；当a=2时，计算结果大于6000，故C ∴.DE=BC=10. 选项不符合题意。 AD⊥AB,.∠A=90 5 .AE=√DE-AD=√10-8=6，即线段AE的长 为6 4a120中4 a215p1 5解：动手操作1描点，连线画出函数y=子的图象如 4a-8+225 解图. 320▣m a 25n 4+5 解图1 解图2 2.60:C-A-B-D【解析】根据题意，节目D的演员的 候场时间为：30+10+20=60(mi):若使这23位演员 的候场时间之和最小，则演员人数多的节目应尽可能 靠前排，同等人数下，彩排时长短的节目应尽可能靠 前排，.节目应按C-A-B-D的顺序彩排，此时候场 的时间之和为(10+2+1)×20+(2+1)×30+1×10= 360(min). 3.解：选取①②③这3个代数式进行求和， 22+1-21+(-1)°=4+2+1=7. (答案不唯一) 陕西数学 57