第二部分 专题三 二次函数综合题-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学重难题型册（陕西专用）

!!!! ! 专题三#二次函数综合题 !'+'& 陕西 '- 题考法" !众相原创 赋能中考 !! !!!! !!!! !!! !" ! cd'"ef89 !" 年 , 考# 且近 , 年连续考查" !$!'+'' 陕西 '- 题 " 分"现要修建一条隧 道!其截面为抛物线型!如图所示!线段 *(表示水平的路面!以*为坐标原点!以 *(所在直线为 2轴!以过点 *垂直于 2轴的直线为0轴!建立平面直角坐标系$ 根据设计要求%*($#+ <!该抛物线的顶 点'到*(的距离为 0 <$ "##求满足设计要求的抛物线的函数表 达式& "'#现需在这一隧道内壁上安装照明灯! 如图所示!即在该抛物线上的点"!#处分 别安装照明灯$已知点"!#到*(的距离 均为 % <!求点"!#的坐标$ 解!$!%由题意可知抛物线的顶点为,$%"6%" (设抛物线的函数表达式为 6'7$0 -%% " ) 6"把4$+"+%代入"可得 7 '- 6 "% " (抛物线的函数表达式为6'- 6 "% $0-%% " )6& $"%令6',"得- 6 "% $0 -%% " )6 '," 解得 0 ! 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"&% ,& " (顶点%的坐标为$ "4 & " - ! "&% ,& %" (最低点%离水面的距离为 ! "&% ,& -!+ ' ,+% ,& $>% $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( "" !陕西数学 4$如图!是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图!他发现此时晾衣绳的形状可以近似地看 作一条抛物线$经过测量!他发现立柱"#!%&均与地面垂直!且"#$%&$' <!"#!%&之 间的水平距离#&$" <$绳子最低点与地面的距离为 # <$ !!! 图 # !!! 图 ' "##按图 # 建立的平面直角坐标系!求抛物线的解析式& "'#由于晾晒的衣服比较多!为了防止衣服碰到地面!小明用一根垂直于地面的立柱+, 撑起绳子!如图 '!+,的高度为#$-- <!通过调整+,的位置!使左边抛物线) # 对应的函 数解析式为0 # $:"2.'# ' *1!且最低点离地面 #$& <!求水平距离&,$ 解!$!%由题意"得抛物线的对称轴为直线 0 ' ! " 3"!'&" 顶点的坐标为$&"!%"点#$+""%"点%$5""%( 设抛物线的解析式为6'7$0 -&% " )!$7 % +%" 将点#$+""%代入6'7$0 -&% " )!"得 7$+ -&% " )! '""解得 7 ' ! !, " (6' ! !, $0 -&% " )!&$或6' ! !, 0 " - ! " 0 )"% $"%由题意"知抛物线' ! 的最低点离地面 !(& >" (: '!(&" (抛物线' ! 的解析式为6 ! '7$0 -"% " )!(&( *点#$+""%在抛物线' ! 上" (&7 )!(& '"" (7 '+(!%" 则抛物线' ! 的解析式为6 ! '+(!% $0 -"% " )!(&"$或6 ! ' $ "+ $0 -"% " ) 4 % % (当6 ! '!(%% 时" 即 !(%% '+(!%$0 -"% " )!(&" 整理"得$0 -"% " '!" (0 ! '$"0 " '!$不合题意"舍去%" (42'$" (!2'4!-42'5 -$ '%$>%" 即水平距离!2为 % >( #" !众相原创 赋能中考 5$!'+', 陕西 '- 题 " 分"某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门!并要求所 设计的拱门的跨度与拱高之积为&" <'!还要兼顾美观*大方*和谐*通畅等因素!设计部 门按要求给出了两个设计方案$现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中! 如图所示% 方案一!抛物线型拱门的跨度*,$#' <!拱高'($& <$其中!点,在2轴上!'( " *,! *($(,$ 方案二!抛物线型拱门的跨度 *,-$" <!拱高 '-(-$% <$其中!点 ,-在 2轴上!'-(- " *,-!*(-$(-,-$ 要在拱门中设置高为 , <的矩形框架!其面积越大越好!框架的粗细忽略不计"$方案一 中!矩形框架"#%&的面积记为 . # !点"!&在抛物线上!边#%在*,上&方案二中!矩形 框架"-#-%-&-的面积记为 . ' !点"-!&-在抛物线上!边#-%-在*,-上$现知!小华已正确求 出方案二中!当"-#-$, <时!. ' $#' 槡' < ' !请你根据以上提供的相关信息!解答下列 问题% "##求方案一中抛物线的函数表达式& "'#在方案一中!当"#$, <时!求矩形框架"#%&的面积 . # !并比较 . # !. ' 的大小$ 方案一 !!! 方案二 解!$!%由题意知方案一中抛物线的顶点为,$,"&%( 设抛物线的函数表达式为6'7$0 -,% " )&$7 % +%" 把4$+"+%代入"得 + '7$+ -,% " )&" 解得 7 '- ! 6 " (方案一中抛物线的函数表达式为6'- ! 6 0 " ) & $ 0& $"%在6'- ! 6 0 " ) & $ 0中"令6'$"得 $ '- ! 6 0 " ) & $ 0" 解得 0 '$ 或 0 '6" ("%'6 -$ ',$>%" (1 ! '#"#"%'$ 3, '!5$> " %( *!5 ?!"槡"" (1 ! ?1 " ( $" !陕西数学 6$!'+'& 铁一中模拟"'昔日荔枝进长安!今朝草莓遍三秦$(行走在秦岭脚下的长安区!随 处可见成片的草莓种植大棚$其中一种植户雷莹借助现有地势!将大棚的一端固定在离 地面 ' 米高的墙体*"的端点"处!另一端固定在离地面 # 米高的墙体#%的端点#处! 墙体*"!#%均垂直于水平面*%$测得*"!#%两墙体之间的水平距离为 & 米!且大棚横 截面顶部为抛物线型!建立如图所示的平面直角坐标系$已知大棚上某处离地面的高度 0!米"与其离墙体*"的水平距离2!米"之间的关系满足%0$. # " 2 ' *32*@$ 请根据以上信息!解决下列问题% "##求雷莹家大棚的最高处到地面的距离& "'#现要对入口处进行加固!如图所示% 方式一%雷莹在距离墙体#%左侧 # 米处垂直地面放置一根管材&(!管材一端&固定在 地面*%上!另一端点(刚好能支撑在大棚主体钢架!抛物线"#段"上!用角铁固定另一 根管材()!使 # &()$0+/!且管材()的另一端)固定在墙体*"上& 方式二%在距离墙体*"!#%等距!即*%中点8"处以相同的方式放置管材89!9B$已知 两种方式都能起到加固的作用!请通过计算说明!哪种方式所使用的管材更少$ 解!$!%由题意知"4#'"""%'!"4%'&"(#$+""%""$&"!%" 把 #" " 点 的 坐 标 代 入 6' - ! 5 0 " ) <0 ) 9" 得 9'"" - ! 5 3!, )&< )9'!{ "解得 < '!& " 9'" { " (6'- ! 5 0 " ) ! & 0 )" '- ! 5 $0 -!% " ) !4 5 ( * - ! 5 9+"(当 0 '! 时"6有最大值"最大值为 !4 5 "(雷莹家大棚的最高处到地面的距离为 !4 5 米& $"%方式一!如解图 !( *!%'! 米"(4!'$ 米"(&''4!'$ 米( 当 0 '$ 时"6'- ! 5 3$ " ) ! & 3$ )" ' !$ 5 " 即&!' !$ 5 米"(&')&!'$ ) !$ 5 ' $4 5 $米%& 方式二!如解图 "" *4-' ! " 4%'" 米"(.='4-'" 米( 当 0 '" 时"6'- ! 5 3$" -!% " ) !4 5 '""(-.'" 米"(-.).='" )" '&$米%( *& 9 $4 5 "(方式二所使用的管材更少( %" !众相原创 赋能中考 !+$!'+'& 高新一中模拟"#情境探究$小明和小强做弹力球游戏$游戏规则如下%小明抛出 弹力球!弹力球落地后弹起再落下!小强在某个位置放置一块接球板!若弹力球在第二 次落地前碰到接球板则小强胜!球与接球板触碰"!否则小明胜$ #数学建模$弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线!如图所示$在一次游戏过程中% 小明站在起点*处抛弹力球!以 *为坐标原点!水平方向直线和竖直方向直线分别为 2轴和0轴建立平面直角坐标系!弹力球从离地面 ' 米的"处抛出!第一次落地前!球在 距离起点*水平距离为 ' 米处!达到飞行最大高度为 ,$% 米!弹力球在#处落地后再次 弹起!第二次飞行的水平距离#%$& 米!且飞行的最大高度为第一次的一半$ #问题解决$ "##求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式& "'#小强在距起点 " 米处放置接球板()!()垂直地面于点(!且()$# 米!请通过计算 判断谁会获胜$ 解!$!%由题意得弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式的顶点坐标为$""$(,%( 设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式为6'7$0 -"% " )$(,$7 % +%( *此抛物线经过点#$+""%" (" '7$+ -"% " )$(," 解得 7 '-+(&" (弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式为6'-+(&$0 -"% " )$(,( $"%当6'+ 时"+ '-+(&$0 -"% " )$(," 解得 0 ! '-!$不合题意"舍去%"0 " '%" (点"的坐标为$%"+%( *"%'&" (点%的坐标为$6"+%( *第二次飞行的最大高度为第一次的一半" (弹力球第二次飞行时抛物线的函数表达式的顶点坐标为$4"!(5%" (设弹力球第二次飞行时抛物线的函数表达式为6'>$0 -4% " )!(5( *此抛物线经过点"$%"+%" (+ '>$% -4% " )!(5" 解得>'-+(&%" (弹力球第二次飞行时抛物线的函数表达式为6'-+(&%$0 -4% " )!(5( 当 0 '5 时"6'-+(&%$5 -4% " )!(5 '!($%( *!($% ?!" (球与接球板不触碰( (小明获胜( &" !陕西数学 !" " HIJKghiGjk89 !" 年 - 考" 考向 #!线段)面积问题 一&线段问题 求线段长 已知""2 # !0 # #!#"2 ' !0 ' #$"##若"# ' 2轴!则"#$=2 # .2 ' =&"'#若"# ' 0轴!则"#$ =0 # .0 ' =&",#若"#与坐标轴不平行!则"#$ "2 # .2 ' # ' *"0 # .0 ' #槡 ' 线段最值 "##利用二次函数性质求最值& "'#利用对称性求线段和最值!即将军饮马问题!相关内容见本册/'" 二&坐标系中的三角形面积求法 当有一边或两边 在坐标轴上时 相关内容见课堂精讲册/,2+技巧点拨, 当三边均不在 坐标轴上时 . ! "#% $. ! "#& *. ! "%& $ # ' 4-"& . ! "#% $.矩形&#)(.. ! "#& .. ! "(% .. ! #)% !!$!陕西 '+'& 版例析与指导/'212"如图!抛物线过点*"+!+#!("#+!+#!矩形"#%&的边 "#在线段*(上!点#在点"的左侧"!点%!&在抛物线上$设#"C!+#!当C$'时!#%$&$ "##求抛物线的函数表达式& "'#当C为何值时!矩形"#%&的周长有最大值$ 最大值是多少$ 解!$!%设抛物线函数表达式为6'70$0 -!+%$7 % +%( *当?'" 时""%'&"(点"的坐标为$""+%( *四边形#"%!是矩形"(点%的坐标为$"" -&%" (将点%坐标代入函数表达式得 "7$" -!+% '-&"解得 7 ' ! & " (抛物线的函数表达式为6' ! & 0 " - % " 0& $"%由抛物线的对称性得#&'4"'?"(#"'!+ -"?( 当 0 '?时"点%的纵坐标为 ! & ? " - % " ?" (矩形#"%!的周长'"$#")"%% '"*$!+ -"?% )$ - ! & ? " ) % " ?%+ '- ! " ? " )?)"+ '- ! " $?-!% " ) &! " ( * - ! " 9+"(当?'! 时"矩形#"%!的周长有最大值"最大值为 &! " ( '" !众相原创 赋能中考 !"$如图!已知抛物线0$.2' *&2*- 与2轴 交于"!#两点!与0轴交于点%$ "##求线段#%的长& "'#'是抛物线对称轴 !上的一个动点! 当'"*'%的值最小时!求点'的坐标$ 解!$!%*抛物线的解析式为6'-0" )&0)%" (令 0 '+"则6'%&令6'+"解得 0 ! 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" ##"#4%'!%& $"%由题意"得#$"$'#"'%( 要使1 ! #$"$%$ '1 ! #"% "只要抛物线 ;$与 6轴 交点为%$$+" -,%或%$$+",%即可( 设所求抛物线;$的表达式为 6'0" )>0 ), 或6'0" )@0 -,( 又*抛物线;$与抛物线;的顶点纵坐标相同" ( "& -> " & ' -"& -! & " -"& -@ " & ' -"& -! & " 解得>'=4"@'=!$@'! 舍去%" (满足条件的抛物线的函数表达式为6'0" ) 40 ),"6'0 " -40 ), 或6'0" -0 -, $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( (" !陕西数学 考向 '!特殊三角形)四边形的存在性 问题 !&$抛物线的顶点为"#! .&#!与2轴交于"! #两点!与0轴负半轴交于%"+! .,#$ "##求抛物线的解析式& "'#'为对称轴右侧抛物线上一点!以 #'为斜边作等腰直角三角形!直角顶点 +落在对称轴上!求'点的坐标$ 解!$!%设抛物线的解析式为 6'7$0 -!% " -&$7 % +%" 将%$+" -$%代入6'7$0 -!% " -&"得-$ ' 7$+ -!% " -&"解得 7 '!" (抛物线的解析式为6'$0 -!% " -& '0" - "0 -$& $"%当6'+ 时"有 0" -"0 -$ '+" 解得 0 ! '-!"0 " '$" (点 #的坐标为$ -!"+%"点 "的坐标为 $$"+%( 如解图"过点,作,' " 3'"垂足为 '"设抛 物线的对称轴与 0轴交于点&( 设点,的坐标为$0"0" -"0 -$%$0 ?!%"则 ,''0 -!""&'$ -! 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(2.4)和(10.4). .拱门对应的抛物线的对称轴为直线x=6, 灯泡C,D关于OA对称 ,拱门对应的抛物线的顶点坐标为(6,7.2)， ∴C(-3,2.5),.CD=6m, ∴.拱门的高度为7.2m. ∴他设计的景观灯支架CD的长度符合要求， 由题意，得拱门对应的抛物线经过(0.0)和(12,0) 5.解：(1)由题意可知点C的坐标为(20,0). ∴.拱门的跨度为12-0=12(m). 设主索抛物线的函数表达式为y=ar2+c(a≠0). 设y与x满足的函数关系式为y=a(x-6)?+ 又.OP=BC-2=10(m). 7.2(a≠0)， ∴点P坐标为(0，-10) 将(2,4)代入，得4=16m+7.2,.a=-0.2 将C(20,0)和P(0,-10)代人y=x2+c,得 六y与x满足的函数关系式为y=-0.2(x-6)2+ r203×a+c=0, [a= 7.2: 40 c=-10. c=-10. (2)<【解法提示】将0(0,0)代人y=-0.18(x- h)2+7.30,则0=-0.18(0-h)2+7.30,解得h= 12 主素抛物线的函数表达式为y=40-10: 士（负值不合题意，合去）y=-018(:- (2)由题意得当=4时=0×4-0=-袋此 孤)1+70令y=0,解得无=02 3 时品索的长度为12-袋=号m。 物线与x轴的交点为(0.0)和(20)新拱门 由抛物线的对称性得当x=一4时，此时吊索的长度也 的跨度为山=236d=122=144=1296,山= } 3 9 1g0d<44<4 当x=10时了动×10-10=一号此时吊索的长度 3.解：(1)0C=1.∴.C(0.1) 为12-=( 把A(2,0.6)和C(0,1)代入y=a2+c, 由抛物线的对称性得当x=一10时，此时吊索的长度 50众相原创赋能中考 地为号 8.解：(1)由题意知方案一中抛物线的顶点为P(6,4) 设抛物线的函数表达式为y=a(x-6)2+4(a≠0). 把0(0,0)代人，得0=a(0-6)2+4, 、四根吊索总长度为了m 69 解得a=- 9 6解：(1)抛物线L,的函数表达式为y=-三 (-1)2+ 方案一中抛物线的函数表达式为y=一)+号： 12 4 4 云，点B的坐标为(4，-10)： 5 (2)在=+学中，令y=3,得3=+学 解得x=3或x=9, 5 (2)由题意，设抛物线L2的函数表达式为y= 4 ∴BC=9-3=6(m),S=AB·BC=3×6=18(m2). h)2+k 18>122,S,>5 ,-10),BD=BE. 3 9.解：(1)由题意知，0A=2,BC=1,0C=4, 又：B(4,-10),E(- .A(0,2),B(4,1), 9.-10 把4，B点的坐标代人y=-名+低+6，得 rc=2, 「b= 1 、抛物线。的对称轴是直线x=2 227 解得 4 4 8×16+46+c=1,气c=2. 5 抛物线L的函数表达式为y=4(任一 y8 4+2=- 8(x-1)2+17 8 将84，-10)代人yx-孕P+6,得 名<0当=1时y有最大值最大值为日， 子x(4-召+，解得6=125 -10= 44 64 雷莹家大棚的最高处到地面的距离为？米： 顶点C的坐标为孕2 (2)方式一：如解图1 DC=1米，.0D=3米，.EF=0D=3米. ∴，最低点G离水面的距离为 15-10-0m. 当x=3时yg×9+行x3+2-号 64 .解：(1)由题意，得抛物线的对称轴为直线x= 即D-米F+0=3+号-（米）： D=4, 顶点的坐标为(4,1)，点A(0,2),点C(8,2) 设抛物线的解析式为y=a(x-4)”+1(a≠0)， 将点A(0,2)代人y=a(x-4)2+1,得a(0-4)2+1= 解图1 解图2 2,解得a=6 方式二：如解图2， y-4P+ :0G=20=2米K=0G=2米 (2)由题意，知抛物线F,的最低点离地面1.4m, 当x=2时y=-g×2-12+号=26m=2米. k=14, .GH+HK=2+2=4(米). 抛物线F,的解析式为y1=a(x-2)2+1.4. :点A(0,2)在抛物线F上， :4<智方式二所使用的管材更少 4a+1.4=2, 10.解：(1)由题意得弹力球第一次着地前抛物线的函数 ∴a=0.15. 表达式的顶点坐标为(2,3.6). 则抛物线F,的解析式为为=0.15(x-2)2+1.4, 设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式为y= 当y1=1.55时， a(x-2)2+3.6(a≠0). 即1.55=0.15(x-2)2+1.4, :此抛物线经过点A(0,2),∴2=a(0-2)2+36, 整理，得(x-2)2=1, 解得a=-0.4. 1=3,2=1(不合题意，舍去)， ·弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式为y= .0N=3, -0.4(x-2)2+3.6. ,DN=0D-0N=8-3=5(m), (2)当y=0时，0=-0.4(x-2)°+3.6， 即水平距离DW为5m. 解得x,=-1(不合题意，会去)，=5， 陕西数学 51 ∴点B的坐标为(5,0)， ∴.C(0.-6).,00=6. :BC=4..点C的坐标为(9.0) :第二次飞行的最大高度为第一次的一半， 六△4c的面积为分4B,0C=15: 弹力球第二次飞行时抛物线的顶点坐标为(7,18)， (2)由题意，得A'B'=AB=5. “.设弹力球第二次飞行时抛物线的函数表达式为 要使S△c=S么c,只要抛物线与y轴交点为 y=m(x-7)2+1.8. C'(0,-6)或C'(0,6)即可. :此抛物线经过点B(5,0),∴0=m(5-7)2+1.8, 设所求抛物线的表达式为y=x+mx+6或 解得m=-0.45 y=x+x-6. ·弹力球第二次飞行时抛物线的函数表达式为y= 又，·抛物线'与抛物线L的顶点纵坐标相同， -0.45(x-7)2+1.8. 24-m.-24-1-24-m.-24-1 当x=8时，y=-0.45(8-7)2+1.8=L.35. 4 4 4 4 ,1.35>1,∴.球与接球板不触碰， 解得m=±7，n=±1(n=1舍去)， 小明获胜。 ∴满足条件的抛物线的函数表达式为y=x2+7x+6, 11.解：(1)设抛物线函数表达式为y=(x-10)(a≠0). y=x2-7x+6或y=x2-x-6. 当1=2时，BC=4.∴.点B的坐标为(2,0) 14.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4(a≠0)， :四边形ABCD是矩形，：.点C的坐标为(2，-4) 将C(0,-3)代入y=a(x-1)-4,得-3=a(0- ·将点C坐标代人函数表达式得2a(2-10)=-4, 1)2-4,解得a=1, ∴抛物线的解析式为y=(x-1)-4=x2-2x-3: 解得a=4 (2)当y=0时，有x2-2x-3=0, 六范物线的函数表达式为y=-子： 解得x1=-1,2=3, ∴点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0) (2)由抛物线的对称性得AE=0B=1,∴AB=10-21. 如解图，过点P作PF⊥MF,垂足 当x=1时，点C的纵坐标为-乏。 为F,设抛物线的对称轴与x轴交 于点E. ·矩形ABCD的周长=2(AB+BC) 设点P的坐标为(1,2-2- =2[0-20+(-+1 3)(>1),则PF=-1,BE=3 1=2. :·∠BME+∠PMF=90°，∠BME+∠MBE=90°. =--102+ .∠MBE=∠PMF 2 ∠BEM=∠MFP, ?-宁<0当1=1时，矩形A0CD的周长有最大 在△MBE和△PMF中 ∠MBE=∠PMF, BM =MP, 值，最大值为号 .△MBE≌△PMF, .ME =PF=t-1,MF=BE =2, 12.解：(1)抛物线的解析式为y=-x2+4r+5, .EF =ME+MF =1+1. 令x=0,则y=5:令y=0,解得x=-1,2=5, EF=12-21-31..12-21-31=t+1, A(-1,0),C(0,5),B(5,0). 即2-31-4=0或2-1-2=0， BC=V5+5=52. 解得1=-1（舍去），名2=2，=4. (2)如解图，当P为BC与直线I的交点时，连接PA .点P的坐标为(2，-3)或(4,5) 点A与点B关于直线1对称， 15.解：(1)C,C2关于y轴对称。 .PA+PC=PB+PC=BC,即BC ∴C,与C,的交点一定在y轴上，且C,与C,的形状、 为PA+PC的最小值， 大小均相同。 由(1)可知，A(-1,0),C(0,5), ∴a=1,n=-3∴C的对称轴为直线x=1, B(5,0), C,的对称轴为直线x=-1,“m=2, 易得直线BC的解析式为y=-x+5. ∴.C,的函数表达式为y=x2-2x-3,C2的函数表达 抛物线的对称轴为直线x=2.将x=2代人y=-x+ 式为y=x2+2x-3: 5,得y=-2+5=3, (2)在C:的函数表达式y=x2+2x-3中，令y=0可 ∴.当PA+P℃的值最小时，点P的坐标为(2,3). 得x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1,∴A(-3,0), 13.解：(1)当y=0时，x2+x-6-0, B(1,0): 解得1=-3，x2=2, (3)存在.理由如下： A(-3.0),B(2.0)..AB=5. :AB只能为平行四边形的一边， 当x=0时，y=x2+x-6=-6, .PQ∥AB且PQ=AB. 52众相原创赋能中考 由(2)可知AB=1-(-3)=4,∴PQ-4, .0M=AM·tam30°=45. 设P(t.2-21-3),则Q(t+4.2-2t-3)或(t-4. PM≥0M-4=45-4, 2-21-3). ①当Q(t+4,2-21-3)时.则2-21-3=(t+4)2+ ∴线段PM的最小值为45-4： 2(t+4)-3,解得1=-2， 2-21-3=5.P(-2,5),Q(2,5): ②当Q(t-4,2-21-3)时，则2-21-3=(t-4)2+ 2(t-4)-3.解得1=2， ÷2-2t-3=-3P(2,-3),Q(-2,-3). 综上可知，存在满足条件的点P,Q,其坐标为P(-2, BB 5),Q(2,5)或P(2,-3),Q(-2.-3). 解图1 解图2 16.解：(1)y=-x2+2x+8, (2)如解图2，分别在BC,AE上作BB=AM'=T= 令x=0,得y=8,.C(0,8). 30(m),连接A'B,B0,OP,OE,B'E. 令y=0,得-x2+2x+8=0, OM⊥AB,BB'⊥AB,ON=BB', 解得x1=-2,x2=4,.B(4,0): ÷四边形BB'ON是平行四边形，.BN=B"O. (2)存在点P,设P(0,y .B'O+OP+PE≥BO+OE≥B'E 由题意知CC'∥OB,且P℃与PO是对应边， ,BN+PE≥B'E-r, 瓷品即 2 4 ∴.当点O在BE上时，BN+PE取得最小值. 作⊙0'，使圆心0在BE上，半径r=30m.作0'M⊥ 解得=6=5P0,16)或P(0,。 16 AB,垂足为M',并与A'B'交于点H, 17.解：(1)将点(3,12)和(-2，-3)代人y=x2+x+c,得 0I/E△B0I~△Bg2票- 129+36+0,解得=2 1-3=4-2h+c, lc=-3, ,⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界）， 故抛物线的表达式为y=x2+2x-3: ∴当⊙O与FD相切时，B'H最短， (2)由(1)可知y=x+2x-3, 此时B'H=10000-6000+30=4030(m). 抛物线的对称轴为直线x=-1, 此时，在BN,EP之和最短的情况下，O'H也最短， 令y=0,则x=-3或1，令x=0,则y=-3, M'N'=OH,∴M'N'也最短 .A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),0A=0C=3. W"=0H-E1:B'H_0000-30×4030- B'A' 10000 ,∠PDE=∠AOC=90°， 4017.91(m), ,当PD=DE=3时，以P,D,E为顶点的三角形与 ,.0=AM'N'+30=4047.91(m), △AOC全等. ∴.此时环道⊙0的圆心O到AB的距离OM的长为 如解图，设点P(m.n),当点P 4047.91m 在抛物线对称轴的右侧时，m一 2.解：(1)2【解法提示】如解图1.连接P0,C0,C0交 (-1)=3,解得m=2, ⊙0于点Q.CP+PO≥CO,∴CP≥C0-P0,.当点 n=22+2×2-3=5,故点 P与点Q重合时，CP有最小值，即CQ的长，AB=6, P(2,5). ∴.OA=3.:AC是⊙0的切线，∴.∠C40=90°AC= ·点E的坐标为(-1,2)或 (-1,8): 4,.C0=√3+4=5.00=0M=3.CQ=2,.CP的 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称 最小值为2： (2)如解图2，以BC为直径作⊙0，连接A0,交⊙0于 性可得，点P(-4,5),此时点E的坐标为(-1,2)或 点D时，满足∠BDC=90°，且此时AD最短，作DF⊥ (-1.8). BC于点F 综上所述，点P的坐标为(2,5)或(-4,5)：点E的坐 标为(-1,2)或(-1,8) BC=12,∴0B=6.AB=8,.0A=6+8=10. 专题四综合与实践 AB⊥BC,.DF∥AB,.△ODF∽△OAB, 1.解：(1)如解图1，连接OP,OM,过点O作OM'⊥AB,垂 DF:AB OD:0A.DF:8=6:10..DF= 足为M', 则OP+PM≥OM,.PM≥OM-OP. OF-/opDF :⊙0的半径为4，.PM≥0M-4≥0M'-4. ,0A=0B.∠A0B=120°， G=0+0c-=号c=Vm+元-24 A'=Br=24B=12,∠A=30, (3)如解图3，以BE为直径作⊙0，作点C关于AD的 对称点H,连接OH,交AD于点N,交⊙O于点M,此时 陕西数学 53