第一部分 二、几何图形中的面积问题-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学重难题型册（陕西专用）

!!!! ! 二!几何图形中的面积问题 !陕西数学 !! !!!! !!!! !!! !" ! ;<=>89 !" 年 , 考" 角度 #!过三角形顶点作直线将三角形面 积等分 #技巧点拨$三角形的三条中线分别将三角形 的面积平分$ !$如图!在 ! "#%中! # #"%是钝角$请用尺 规作图法!求作线段"'!使"'平分 ! "#% 的面积!点'在边#%上$!保留作图痕迹# 不写作法" 解!如解图"线段#,即为所求( 角度 '!过三角形边上一点作直线将三角 形的面积平分 问题背景 作法 作法一 作法二 过 ! "#%的#% 边上一定点 & 作一条直线将 ! "#%的面积 平分 过#%的中点( 作 "&的平行 线!交 "%于点 )!则直线 &) 即为所求 !在 证明的过程中 需连接"(" 过点 #作 "& 的平行线!交 %"的延长线于 点 (!取 %(的 中点)!则直线 &)即为所求 !在证明的过程 中需连接&(" "$如图!在 () ! "#%中! # %$0+/!"%$"! #%$%!点&为"%上一点且"&$'!过点 &作直线&(交 ! "#%于点(!使得 ! "#% 被&(分成面积相等的两部分!则 &(的 长为! "槡!$!$ 角度 ,!过不规则四边形顶点作直线平分 图形面积 问题背景 作法 在 #%上找一点 +!使得"+平分四 边形"#%&的面积 连接"%!过点&作"%的 平行线!交 #%的延长线 于点 (!取 #(的中点+! 则直线"+即为所求!在证 明的过程中需连接"(" $$如图!刘老伯有一块筝形*"%#的养鸡场! 在平面直角坐标系中!*"+!+#!""&!+#!# "+!&#!%"%!%#$若在边"%上存在一点'! 过#!'两点修一面笔直的墙!墙的宽度不 计"!这面墙将养鸡场分成面积相等的两 部分!则直线#'的表达式为 !$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % !众相原创 赋能中考 角度 &!利用图形的中心对称性等分图形 面积 #技巧点拨$"##过中心对称图形的对称中心的 直线将这个图形分成面积相等的两部分& "'#由两个中心对称图形组合成的图形!连接两 个对称中心的直线可以平分组合图形的面积$ &$!'+'+ 陕西 #& 题 , 分"如图!在菱形"#%& 中!"#$%! # #$%+/!点 (在边 "&上!且 "($'$若直线 !经过点 (!将该菱形的面 积平分!并与菱形的另一边交于点)!则线 段()的长为! "槡4!$ %$在一块平行四边形空地中有一个矩形乒 乓球场!现在物业公司要对除乒乓球场之 外的不规则空地进行绿化!要求用一条直 线为分界线把这块不规则空地分成面积 相等的两块!一块用来种花!一块用来做 草坪!如果你是设计师!你应该怎样设计! 才能满足要求$ 解!所求的面积等分线/如解图( !" " #$?@A,BCDEFG => !" 年 , 考" #技巧点拨$在遇到不能直接求出面积的不规 则图形时!可以结合已知条件!利用割补的方 法将不规则图形的面积巧妙地转化为几个规 则图形的面积的和或差进行计算$ ,$如图!在一块直角三角形绿地"#%上开辟 一块四边形花圃 %&)(!"%$%#$#+ 米! 四边形花圃 %&)(的最长边 %&$" 米! 且 %( " "#!&) " %#!则 ! #&)的面积 是! ## !平方米!四边形花圃 %&)(的 面积是! ## !平方米$ 第 % 题图 ! 第 2 题图 4$如图!在 ! "#%中! # "%#$0+/!"%$" 厘 米!#%$% 厘米$分别以 "%!#%为边作正 方形 "(&%!#%)8!则 ! #()的面积是 ! ,, !平方厘米!六边形 "(&)8#的面积 是! !&5 !平方厘米$ !" $ #$HIJKGLMNO= >)-89 !" 年 ' 考" 用二次函数求图形面积最值的步骤 第一步 适当设自变量!如设正方形的边长!矩 形的一边长!三角形的一边长等 第二步 根据题意!用自变量表示其他相关线 段的长度 第三步 把图形的面积用含自变量的代数式表 示!从而得到所求图形面积关于自变 量的二次函数关系式 第四步 由上述关系式!结合问题的实际意义! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 求出图形面积的最值 & !陕西数学 #技巧点拨$"##对于规则的几何图形!如三角 形$平行四边形等"!可依据几何图形的面积公 式直接建立函数关系式& "'#对于不规则的几何图形!则要用割补法!将 不规则的几何图形转化成规则的几何图形!通 过几何图形的面积和!或面积差"建立函数关 系式$要注意确定自变量的取值范围!保证自 变量和函数满足实际意义$ 5$!人教九上 /-'1% 改编"一块三角形材料 如图所示! # "$,+/! # %$0+/!"#$'+! 用这块材料剪出一个矩形 %&()!其中点 &!(!)分别在#%!"#!"%上$设"($2$ "##求")的长!用含2的代数式表示"& "'#要使剪出的矩形 %&()的面积最大! 点(应选在何处$ 解!$!%*四边形%!&'为矩形" ( # &'#'6+)( 在./ ! &'#中" # #'$+)"#&'0" (#''#&#780$+)' 槡$ " 0& $"%易知&'' ! " #&' ! " 0( 在./ ! #"%中" # #'$+)"#"'"+" ("%' ! " #"'!+" 根据勾股定理得#%' "+" -!+槡 " '!+槡$" (%''#%-#''!+槡$ - 槡$ " 0" (1矩形%!&''&'#%'' ! " 0#$!+槡$ - 槡$ " 0% ' - 槡$ & $0 -!+% " )"%槡$( * - 槡$ & 9+" (当 0 '!+ 时"矩形%!&'的面积最大" 即当&为 #"的中点时"矩形 %!&'的面积 最大( 6$如图!在 ! "#%中!#%$#+!. ! "#% $-+!矩 形 &()8的顶点 &!(分别在边 "#!"% 上!顶点)!8在边#%上!若设 &8$2!求 当2取何值时!矩形&()8面积最大$ 解!如解图"过点#作#2 " "%于点2"交!& 于点3( *四边形!&'-为矩形"(!& ' "%" ( ! #!& (! #"%"(!&:"%'#3:#2( * ! #"%的面积为 ! " "%##2'%+""%'!+" (#2'!+( *!-'0"(32'0"#3'!+ -0" (!&:!+ '$!+ -0%:!+"(!&'!+ -0" (矩形 !&'-的面积为 !&#!-'$!+ - 0%#0 '-$0 -%% " )"%( * -! 9+" (当 0 '% 时"矩形!&'-的面积最大( #变式$如图!在一块五边形余料 "#%&(中! "#$"($%!#%$-! # "$ # #$0+/! # %$ #,-/! # (30+/$若在这块余料上截取一块 矩形材料"+),!)在%&上"!其中一条边 在"(上!设"+$2!矩形 "+),的面积为 0!则0关于 2的函数表达式为!!!!! 当"+$! %(% !时!矩形 "+),的面积最 大!最大面积为! $+("% !$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ' 11.解：如解图，作点F关于BC的对称点F”,作点E关于 二、几何图形中的面积问题 CD的对称点E',连接E'F"交BC于点G,交CD于 1. 解：如解图，线段AP即为所求 点H, 则FG=F'G,EH=EH ∴.四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+HE=EF+ FG+GH+HE'=EF+EF',此时四边形EFGH的周 长有最小值，最小值为EF+E"F"的值， AB=3.AF=2. BF=1, BF=1, 2.23【解析】如解图，取AC的中点F,连接BF,BD, .AF'=4. 作FE∥BD交BC于点E,连接DE交BF于点O. AD=6,AE=4, AF=FC..SAMm=SAmc BD//EF,SAm ,ED=2,DE=2,AE=8. Sar,一.SaFn=SaE,.SAam=Sg师An,DE平分 在R△AEF"中，EF'=√AF2+AE2=45, △ABC的面积AC=8,AD=2∴.AF=CF=4∴DF= 在Rt△AEF中，EF=AE+AF=25. 2BF/0需-器专装E=4E= “四边形EFCH周长的最小值为45+25=65. CD+CE=√6+4=2/I3. 12.解：如解图，线段DF即为天桥修建的位置 、学 过点C作CH⊥AE交AE的延长线于点H. 第2题解图 第3题解图 5 在R△ECH中，∠H=90°，CH=500米， 3.y=- g￥+4【解析】如解图，连接4B,过点0作 EH=200+300=500(米)， OF∥AB,交CA的延长线于点F,连接BF,交OA于点G CE=√Ef+Cf=5002(米). OF//AB,.S&mr =SAAOF SAoR Sncr SAArG+ :最短路线的长为AD+DF+CF=AE+EC=(700+ Sao.SABe=Sac.S西时a=Sar取CF的中 5002)米. 点P,作直线BP,直线BP即为所求.A(4,0),B(0, 13.解：如解图，在AD上截取线段AF=PQ=2,作F点关 4),C(6,6),∴.线段AB所在直线的表达式为y=-x+ 于BC的对称点G,连接EG与BC交于点Q,连接 4,线段AC所在直线的表达式为y=3x-12,∴直线OF FQ,过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H, 的表达式为y=一x,联立 [e每得 ..FQ =GQ. 1 D) AF=PQ=2,AF∥PQ, {=33PB.-3).点P是CP的中点P(号 Ly=-3. .四边形APQF是平行四 39 边形， 多.设直线即的表达式为y=m+4子=子m+4, ..AP=FQ=GQ, P/0 5 5 ,m=- ..AP+QE=GQ+QE GE, 心直线P的表达式为y=-号+4 此时AP+QE取得最小值，最 4.27【解析】如解图，过点A和 小值为GE的长 H 点E分别作AG⊥BC,EH⊥BC E是CD的中点， 于点G和点H,,四边形AGHE 为矩形，EH=AG,GH=AE= .CE-CD=3. B CFIC 2.在菱形ABCD中，AB=6,∠B= 易知GH=DF=AD-AF=10-2=8,CH=AB=6, 60°∴.BG=3,AG=33=EH..HC=BC-BG-GH= .EH=EC+CH=3+6=9, 6-3-2=1.:EF平分菱形面积，∴.EF经过菱形对角 .EG=√Ef+GF=145 线交点，∴FC=AE=2,∴FI=FC-HC=2-1=L,在 ,AP+QE的最小值为√145. R△EFH中，根据勾股定理，得EF=√ET+FT= 27+I=27. 42 众相原创赋能中考 5.解：所求的而积等分线1如解图 即当E为AB的中点时，矩形CDEF的面积最大 9.解：如解图，过点A作AN⊥BC于点N.交DE于点M 6.2:23【解析】AC=BC=10米，∠ACB=90°，.∠A= ∠B=45°，.AE=AC·c0s45°=5√2（米）.CD= 8米，DF⊥BC,∴.BD=DF=2米，∴.△BDF的面积是 四边形DEFG为矩形，.DE∥BC, 号×2x2=2(平方米).CE1B,∠A=45BC= ∴.△ADEn△ABC,.DEBC=AM:AN A化=52米，△4CE的面积是号×52×52= :△ABC的面积为BC·AN=50,BC=10. 25(平方米)四边形花画CDFE的面积是子×10× .AN=10 DG=x,..MN=x,AM =10-x, 10-25-2=23(平方米). 六DE10=(10-x):10,.DE=10-x, 7.66:148【解析】易知△DCF≌△ACB(SAS),.DF= ∴.矩形DEFG的面积为DE·DG=(10-x)·x= AB,∠CDF=∠CAB.四边形AEDC为正方形，∴DE= -(x-5)2+25. AE.∠EDC=∠EAC,.∠EDF=∠EAB.在△EDF和 .-1<0,,当x=5时，矩形DEFG的而积最大 DE =AE. △EAB中， {∠EDF=∠EAB..△EDF≌△EAB. 【变式】y=-x2+11x5.530.25 DF=AB. 三、辅助圆问题 .EF=EB.AC=8厘米，BC=6厘米，正方形1.100【解析】~AB=AC=AD,B,C,D三点都在以点 AEDC的对角线长为√8+8=82（厘米），正方形 A为圆心，AB长为半径的圆上.∠CBD=20°，∠BDC= BCFG的对角线长为√6+6=62（厘米）.△BEF 30°，.∠CAD=2∠CBD=40°，∠BAC=2∠BDC=60°， .∠BAD=∠BAC+∠CAD=10O° 中BE边上的高为82+2=12（厘米），BF=253【解析1如解图，连接N,W AARG和△ 6,2厘米△BBF的面积为号×6,2×11,2=6（平 都是等边三角形，N.M分别为BC,DE的中点，AB=6. AD=4,.AN⊥BC,AM⊥DE,BN=3,DM=2.在 方厘米).六边形AEDFGR的面积为+6+子×6× R△ABN中，由勾股定理，得AVN=√AB-BN=3 8+子×6×8=148（平方厘米）。 在Rt△ADM中，由勾股定理，得AM=√AD-DM= 25,,点M在以点A为圆心，AM为半径的圆上运 8.解：(1)：四边形CDEF为矩形， 动.延长NM与⊙A交于点”，则当点M运动到点M .∴.∠EFA=90 在Rt△EFA中，∠A=30°，AE=x, 的位置时，MN取得最大值.M'N=AN+AM=53, ÷AF=AE·cms30°= .MN长的最大值为53. 2t: （2②)易知F=宁6=宁 在R1△ABC中，∠A=30°，AB=20, 六c=号A0=10. 根据勾股定理得AC=√20-10=105. CF=AC-AF=10 2, C 六SeEr=EF,CF= 2·(103- 3.23-4【解析】小：四边形ABCD是矩形..∠ABC= (x- 2 4 90°，∴，∠ABP+∠PBC=90°..∠PBC=∠PAB, 10)2+255 .∠ABP+∠PAB=90°.，.∠APB=90°，∴.点P在以 AB为直径的半圆上运动.如解图，设圆心为O,连接 .当x=I0时，矩形CDEF的面积最大， 0C交O0于点P,此时PC最短，：0P=0B=了AB= 陕西数学43