第一部分 一、与线段有关的最值问题-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学重难题型册（陕西专用）

第二节视图与投影 15.解：(1)1.651.8 1.D2.A3.A4.C5.C6.B7.D8.C (2)=0×1x2+1.2x2+1.3×3+16×3+ 9.B 1.7×4+1.8×5+1.9×1)=1.54(kg) 第三节图形的对称（含折叠）、平移、旋转 答：这20条鱼质量的平均数为1.54kg: 1.B2.C3.B4.B5.A6.D7.A(或C) (3)15×1.54×3000×95%-2000=63835(元)， &75930103Ⅱ.冬 答：估计小明近期销售完鱼塘里的这种鱼可以获得利 润为63835元 12.(1)画图略.点B,的坐标为(3,2)： 16.解：(1)60D (2)画图略.点C,运动到点C所经过的路径长为m 13.(1)画图略： (2)1高×(16+70+340+510+280)=821（分） (2)画图略.A(-2,0),B(-3,-2),C(-1,-1): 答：这150名学生的平均测试成绩为82.1分： (3)AA2=√2+4=25. (3)3000×60+30=1800(人). 14.A 150 15.A【解析】四边形ABCD是矩形，AD=BC=8, 答：估计该校学生能成为“安全明星”"的共有1800人 DC=AB=6,∠C=90°.把△ADE沿AE折叠，点D 第二节概率 恰好落在BC边上的点F处，“AF=AD=8,EF= DE,.BF=AF-AB=8-6=2万，CF= 1A2A3C4.B50536号7g BC-BF=8-2万.在R△EFC中，CE=DC-DE= 8号9B1031 6-EF,由勾股定理，得EF2=CE+CF2,EF= (6-EF)产+(8-2万)2，解得F=32-8 ,∴.CE=6- 21)号 3 (2)小明选择两次转出的一定有黑色获胜可能性 8万-14 更大 32-8万_87-14 CE 3 3 3 cos∠CEF= EF 32-874 B.() 第八单元统计与概率 (2)抽取到的两张卡片内容一致的概率为子 第一节统计 4(04 1.D2.A3.D4.C5.A6.B7.D 8.折线统计图9.410.①②④11.C12.D (2)小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 61 13.C14.5 重难题型册 第一部分 模型、方法 一、与线段有关的最值问题 3.5【解析】如解图，作N点关于BD的对称点N',连接 1.12 CN',过点C作CE⊥AB于点E.:BD是∠ABC的平分 2兰【解折在△ABC中，AC=8,BC=6,AB=10, 线，÷N必在AB上，∴MN+MC=MN'+MC≥CN'≥ CE,.当C,M,N三点共线，且CN=CE时，MN+MC的 如解图，连接PC.PE⊥AC,PF⊥BC,∠PEC= ∠PFC=90°.又∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩 值最小：S6度=10，B=4∴B,CE=10E= 形，∴EF=PC,∴当PC最短时，EF也最短，即当CP⊥ 5,.MN+MC的最小值为5. AB时，EF最短，此时分AC·BC=子4B·PCPC= 4.解：如解图，作点D关于BA的对称点D',连接DD', BD',过点D'作BC的垂线交BA于点E,交BC于点F 学线段BF长的最小值为学 D 第2题解图 第3题解图 山对称的性质得D'E=DE, 40 众相原创赋能中考 .DE+EF=D'E+EF=D'F,此时DE+EF的值最小， 4I,即PA+PB的最小值为√4红. 最小值为线段D'F的长 ∠ABC=35°，∠CBD=10°，点D与点D关于BA对 称，BD=6, ∴.∠D'BA=∠DBA=∠ABC-∠CBD=25°，BD'= BD=6, ∠CBD'=35°+25°=60. 在R△DBF中，Dp=BD·in60°=6×号-3，E, ·DE+EF的最小值为33 第8题解图 第9題解图 5.(3,0)【解析】根据题意知，当A,P,B三点共线时， 9.100°【解析】如解图，分别作P关于BC,AC的对称点 PA+PB的值最小，则点P为直线AB与x轴的交点 E,D,DP交AC于点H,PE交BC于点G,连接DE,交 AC于点M,交BC于点N,此时△PMN的周长最小 将A(-3,4)代入y=m,得m=-3×4=-12,则y= ∠PHM=∠PCN=90°，∠C=40°，∴.∠DPE=360°- ∠PHM-∠PGN-∠C=360°-90°-90°-40°= -2.将B(6,n)代人y=-2,得n=-2,则B(6, 140°，.∠D+∠E=180°-∠DPE=180°-140°=40 PM=DM,NP=NE,.∠MPD=∠D,∠NPE=∠E, -2).将A(-3,4),B(6,-2)分别代入y=+b,得 .∠MPD+∠PE=∠D+∠E=40°，.∠MPN= 「-3站+6=4解得 2 =-3':y= ∠DPE-(∠MPD+∠NPE)=140°-40°=100°. 6k+6=-2,6=2, 3x+2令y=0, 10.解：如解图，分别作点D关于BC,AC的对称点D', D,DD'交BC于点E,DD交AC于点F,连接DD,交 得x=3,则P(3,0). AC于点Q,交BC于点P 6.25【解析】如解图，连接AF,AE.:△ABC是等边三 DQ=D"Q,DP D'P, 角形，BD平分∠ABC,∴，BD所在直线是等边三角形的 二.△DPQ的周长为PQ+DQ+DP=PQ+D"Q+ D'P=D'D". 一条对称轴，BC=AB=4,.AF=CF,CF+EF=AF+ 根据两点之间线段最短知，D'D的长即为△DPQ周 EF≥AE,CF+EF的最小值为AE的长.：点E是边 长的最小值 BC的中点心E1BC,BE=之BC=子×4=2在 .·∠A=∠B=60°∠BED=∠AFD=90° .∠a=∠B=90°-60°=30°， R△ABE中，由勾股定理得AE=AB-BE= ,.∠DDr=180°-30°-30°=120 √-2=25.CF+EF的最小值为25 D为AB的中点，AB=2,.AD=1, m-40m0-1号-号4n-分 易得△MDF≌△QDE,QF=AP=子 ∴AQ=1,同理BP=1, Q,P分别为AC,BC的中点 B 第6题解图 第7题解图 由对称可知D0=20F=2×号-反， 7.5【解析】如解图，连接BN,BM.四边形ABCD是正 同理可得DD'=5,.DD=DD' 方形，，对角线AC所在直线是其一条对称轴，BN= ∠D=∠D°=180°，120°=30 DN,.DN+M=BN+MN≥BM,.DN+MN的最小 2 值为BM的长.在Rt△BCM中，BC=4,CM=CD- Dr=2DD·o030=2×5×5=3. DM=4-1=3,.BM=√BC+Cn=4+3=5, .△DPQ周长的最小值为3. 即DN+MN的最小值为5. 8.√④【解析】设在△ABP中，AB边上的高是h.:Sam= 3AD=2. D .动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线I 上，如解图，作点A关于直线I的对称点E,连接BE,则 B E BE的长就是PA+PB的最小值.在RL△ABE中，AB= 5,AE=2+2=4,.BE=AB+AE=√5+4= 陕西数学41 11.解：如解图，作点F关于BC的对称点F,作点E关于 二、几何图形中的面积问题 CD的对称点E,连接EF交BC于点G,交CD于 1.解：如解图，线段AP即为所求 点H, A 则FG=F"G,EH=EH, .四边形EFCH的周长=EF+FG+CH+HE=EF+ F'G+GH+HE=EF+E'F,此时四边形EFGH的周 长有最小值，最小值为EF+E'F"的值 AB=3,AF=2, D BF=1, BF'=1, B 2.23【解析】如解图，取AC的中点F,连接BF,BD, .AF'=4 G 作FE∥BD交BC于点E,连接DE交BF于点O. AD=6,AE=4, .AF=FC,'.S SAWFC BD /EF,SRDE ,ED=2,DE=2,AE=8 SaMw,.Sao=Sam装，.S△=SEAn,.DE平分 在RL△AE'F中，E'F=AF2+AE=45, △ABC的面积AC=8,AD=2.AF=CF=4,∴.DF= 在RL△AEF中，EF=AE+AF=2,5, 2r/0需-器合-装E=4E- ∴四边形EFCH周长的最小值为45+25=65. CD+CE=6+4=2/3. 12.解：如解图，线段DF即为天桥修建的位置 小学 、D C 过点C作CH⊥AE交AE的延长线于点H. 第2题解图 第3题解图 在Rt△ECH中，∠H=90°，CH=500米， 3.y=- )x+4【解析】如解图，连接4B,过点0作 EH=200+300=500(米)， OF∥AB,交CA的延长线于点F,连接BF,交OA于点G CE=EH+CH=5002(米)， OF∥AB,.Samr=SaF,六.Sa0c+Sam=Sawc+ .最短路线的长为AD+DF+CF=AE+EC=(70O+ SaocrSAo=S△A,.S边形Ham=S△.取CF的中 5002)米. 点P,作直线BP,直线BP即为所求.A(4,0),B(0, 13.解：如解图，在AD上截取线段AF=PQ=2,作F点关 4),C(6,6).线段AB所在直线的表达式为y=-x+ 于BC的对称点G,连接EG与BC交于点Q,连接 4,线段AC所在直线的表达式为y=3x-12,∴直线0F FQ,过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H, 的表达式为y联立[.解府 ..FQ=CQ. D 「x=3, AF=PQ=2,AF∥PQ 3.F3,-3.点P是CF的中点P(号 .四边形APQF是平行四 之，设直线B即的表达式为y=m+4号-受m+4, 39 边形， ÷AP=FQ=GQ, P00 5 m=一 ..AP+QE=CQ+QE=CE, 号心直线B即的表达式为y= 9+4 此时AP+QE取得最小值，最 4.2万【解析】如解图，过点A和 小值为GE的长 点E分别作AG⊥BC,EH⊥BC E是CD的中点， 于点G和点H,.四边形AGHE .CE=CD=3. 为矩形，EH=AG,CH=AE= 2.在菱形ABCD中，AB=6,∠B= 易知GH=DF=AD-AF=10-2=8,CH=AB=6, 60°，∴.BG=3,AG=33=EH,.HC=BC-BG-GH= ,EH=EC+CH=3+6=9, 6-3-2=1.EF平分菱形面积，∴.EF经过菱形对角 .EC=EH +CH =145. 线交点，FC=AE=2,.FH=FC-HC=2-1=1.在 ,AP+QE的最小值为/145. R△EFH中，根据勾股定理，得EF=√EH+FF= /27+1=2万. 42 众相原创赋能中考书 !!!! 第一部分!模型!方法 一!与线段有关的最值问题 !陕西数学 !! !!!! !!!! !!! !" ! #$%&'()*+,)- !" 年 # 考" 角度 #!一定一动型 问题 已知直线!外一定点"!直线!上一动点 #!求"#长的最小值 图示 解题 思路 利用垂线段最短解决问题!即过点"作 直线!的垂线段"#!此时"#最短 !$如图!在 ! "#%中!#%$%!&是边#%上的 一个动点!连接 "&!若 "&长的最小值为 &!则 ! "#%的面积为! !"# $ 第 # 题图 !! 第 ' 题图 "$如图!点'是() ! "#%的斜边"#上一动点! '( " "%于点 (!') " #%于点 )!#%$%! "%$"!则线段()长的最小值为! ## $ 角度 '!一定两动型 问题 已知点 '是 # "*#内一定点!点 +!, 分别是 *"!*#上的动点!求 ',*+, 的最小值 图示 解题 思路 要使 ',*+,的值最小!设法将 ',! +,转化在同一条直线上!利用垂线段 最短解决问题!即作点 '关于 *#的对 称点'-!过点 '-作 *"的垂线!分别交 *"!*#于点 +!,!则 ',*+,的最小 值即为线段'-+的长 $$如图!在锐角三角形"#%中!#&是 # "#% 的平分线!+!,分别是线段 #&!#%上的 动点!. ! "#% $#+!"#$&!则 +,*+%的最 小值为! %# $ &$如图!在 ! "#%中! # "#%$,-/!&是边 "%上一点!(!)分别是射线 #"!#%上异 于点 #的动点!连接 #&! &(! ()$若 # %#&$#+/!#&$%!求 &(*()的最 小值$ 解!如解图"作点 !关于 "#的对称点 !$"连 接!!$""!$"过点 !$作 "%的垂线交 "#于 点&"交"%于点'( 由对称的性质得!$&'!&" (!&)&''!$&)&''!$'"此时 !&)&' 的值最小"最小值为线段!$'的长( * # #"%'$%)" # %"!'!+)"点!$与点!关 于"#对称""!'," ( # !$"#' # !"#' # #"%- # %"!'"%)" "!$'"!'," ( # %"!$'$%))"%)',+)( 在./ ! !$"'中"!$''"!$#012,+)', 3 槡$ " '$槡$" (!&)&'的最小值为 $槡$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( ! !众相原创 赋能中考 !" " #$%./01'()*+,) -23456789: !"年 &考" 角度 #!一线两点型 异 侧 线 段 和 最 小 问题 两定点"!#位于直线!异侧!在直线! 上找一点'!使得'"*'#的值最小 图示 解题 思路 根据两点之间!线段最短!知 '"*'# 的最小值即为线段 "#的长$连接 "# 交直线!于点'!点'即为所求 同 侧 线 段 和 最 小 问题 两定点"!#位于直线!同侧!在直线! 上找一点'!使得'"*'#的值最小 图示 解题 思路 将两定点同侧转化为异侧!即作点 # 关于直线 !的对称点 #-!连接 "#-交 直线!于点'!点'即为所求 %$如图!一次函数0$12*3"1 % +#的图象与 反比例函数0$ 4 2 "4 % +#的图象交于"!# 两点!点"的坐标为" .,!&#!点#的坐标 为"%!5#!'是2轴上的一个动点!则当'"* '#的值最小时!点'的坐标为! $$"+%# $ ,$如图!在等边三角形"#%中!"#$&!#&平 分 # "#%!点(是边#%的中点!点)是线 段#&上的动点!则 %)*()的最小值 为! "槡$#$ 4$如图!正方形 "#%&的边长为 &!+在 %& 上!且&+$#!,是 "%上的一个动点!则 &,*+,的最小值为! %%# $ 5$如图!在矩形 "#%&中!"#$-!"&$,!动 点'满足 . ! '"# $ # , .矩形"#%&!则点 '到 "! #两点的距离之和 '"*'#的最小值 为!槡&!#$ 角度 '!一点两线型 问题 点'是 # "*#内部一定点!在 *"上找 一点+!在*#上找一点,!使得 ! '+, 的周长最小 图示 解题 思路 要使 ! '+,的周长最小!即'+*+,* ',的值最小!根据两点之间线段最短! 将三条线段转化在同一条直线上!即分 别作点'关于*"!*#的对称点'-!'6! 连接'-'6分别交 *"!*#于点 +!,!则 点+!,即为所求 6$如图!在锐角三角形"#%中! # %$&+/!点 '是边"#上的一个定点!点 +!,分别是 "%和 #%边上的动点!当 ! '+,的周长 最小时! # +',的度数是! !++)# $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ " !陕西数学 !+$如图! ! "#%是边长为 ' 的等边三角形!& 是"#边的中点!'是 #%边上的动点!7 是"%边上的动点!当'!7的位置在何处 时!才能使 ! &'7的周长最小$ 并求出 这个最小值$ 解!如解图"分别作点 !关于 "%"#%的对称 点!$"!*"!!$交"%于点&"!!*交 #%于点 '"连接!$!*"交#%于点+"交"%于点,( *!+'!*+"!,'!$," ( ! !,+的周长为 ,+)!+)!,',+) !*+)!$,'!$!*( 根据两点之间线段最短知"!$!*的长即为 ! !,+周长的最小值( * # #' # "',+)" # "&!' # #'!'6+)" ( #! ' #" '6+)-,+)'$+)" ( # !$!!*'!5+)-$+)-$+)'!"+)( *!为#"的中点"#"'""(#!'!" (!''#!#780$+)'! 3 槡$ " ' 槡$ " "#'' ! 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(#'$'&( *#!',"#&'&"(&!'""(!&$'"" (#&$'5( 在 ./ ! #&$'$中"&$'$' #'$" )#&$槡 " ' &槡%" 在./ ! #&'中"&'' #&" )#'槡 " '"槡%" (四边形&'-.周长的最小值为 &槡% )"槡% ' ,槡% $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( # !众相原创 赋能中考 角度 &!造桥选址问题 问题 已知直线 : ' 直线 3!点 "在直线 : 的 上方!点#在直线3的下方!在直线 :!3 上分别找点+!,!使得+, " :!且"+* +,*,#的值最小 图示 解题 思路 +,的长是定值!要使"+*+,*,#的 值最小!即"+*,#的值最小$作""- " :!""-$+,!连接"-#交直线3于点,! 过点,作+, " :于点+!则点+!,即 为所求 !"$!北师八下 /0+1#" 改编"如图!有一所小 学与中学分别位于一条封闭式街道的两 旁!现准备合作修建一座过街天桥!方便 两所学校的交流$已知小学离较近街道的 一边距离为 '++ 米!中学离较近街道的一 边距离为 ,++ 米!小学与中学的水平距离 为 -++ 米!街道宽度为 2++ 米!街道两边 平行"$请问%天桥建在何处才能使由小学 到中学的路程最短!天桥必须与街道垂 直"$ 请在图中画出天桥修建的位置!并 计算出最短路线的距离$ 解!如解图"线段!'即为天桥修建的位置( 过点%作%. " #&交#&的延长线于点.( 在./ ! &%.中" # .'6+)"%.'%++ 米" &.'"++ )$++ '%++$米%" (%&' &. " )%.槡 " '%++槡"$米%" (最短路线的长为#!)!')%''#&)&%' $4++ )%++槡"%米( !$$如图!在矩形"#%&中!"#$%!"&$#+!( 为%&的中点!连接 "(!若 '!7为 #%边 上的两个动点!且'7$'!连接"'!7(!求 "'*7(的最小值$ 解!如解图"在 #!上截取线段 #'',+'"" 作'点关于"%的对称点-"连接&-与 "% 交于点 +"连接 '+"过点 -作 "%的平行线 交!%的延长线于点." ('+'-+( *#'',+'""#' ' ,+" (四边形#,+'是平行四边形" (#,''+'-+" (#,)+&'-+)+&'-&" 此时 #,)+&取得最小值"最小值为 -& 的长( *&是%!的中点"(%&' ! " %!'$( 易知-.'!''#!-#''!+ -" '5"%.' #"',"(&.'&%)%.'$ ), '6" (&-' &. " )-.槡 " '槡!&%" (#,)+&的最小值为槡!&% $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( $