6.4探索三角形相似的条件同步练习 2023-2024学年苏科版数学九年级下册

6.4探索三角形相似的条件 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段在横格纸上，与作业本的横格交于点B．若，则的长是（    ） A．9 B．12 C．14 D．15 2．如图，点D、点F在的边上，点E在边上，，且，要使得，还需添加一个条件，这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 4．如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（　　）    A． B． C． D． 5．如图1，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，动点P从D点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的路径匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A． B．3 C．10 D． 6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BC∥x轴，AB交y轴于点E，且E是AB的中点．反比例函数（k＞0，x＞0）的图像经过点A，交BC于点D．若CD＝1，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，直线，，，则的长为（    ）    A．4 B． C．3 D． 8．如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，，直线与这三条平行线分别交于点A，B，C，D，E，F，，，则的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 10．如图，在ABC中，DEAC，BD＝6cm，DA＝3cm，BE＝4cm，则EC的长为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 11．如图，已知，分别在直线，上，且，若，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 12．如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．在中，，点P为中点，经过点P的直线截，使截得的三角形与相似，这样的直线共有 条． 14．如图，直线，直线分别交、、于点、、；直线分别交、、于点、．若，则线段的长为 ． 15．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为 ． 16．如图，直线与双曲线交于A，B两点，交x轴于点C，若．则的面积为 ． 17．如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 三、解答题 18．如图，直线经过点，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结． (1)求出b的值及直线的函数表达式． (2)在线段上取点，连结并延长交于点，连结交于点， ①若，求证：． ②当等于中的某一个角时，求的长． (3)点P关于直线的对称点P′恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为______． 19．如图，，，． 用直尺和圆规作的平分线，交于，并在上取一点，使，再连接，交于；（要求保留作图痕迹，不必写出作法） 依据现有条件，直接写出图中所有相似的三角形，并求出．（图中不再增加字母和线段，不要求证明）． 20．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 21．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    22．如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米． (1)求窗户的高度（的长）； (2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长． 23．已知，在等边中，点是直线上任意一点，点在直线上，连接、，使得． (1)如图1，当点在的延长线上，求证：； (2)如图2，当点在上时，请画出图形，并直接写出结论 ______．（填“”、“”或“”） (3)在（2）的条件下，取的中点，连接，过点作的垂线，垂足为，若，求的长． 24．如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4． (1)求AC的长； (2)若，求证：△ADE∽△ABC． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B D C B A C B 题号 11 12 答案 B C 1．D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先根据题意推出，再由平行线分线段成比例定理得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作横线的垂线， 由题意得，， ∴， ∴，即， 故选D． 2．A 【分析】根据平行线分线段成比例可得，则可以推出当，即时，． 【详解】解：，， ， 当时，， 此时，故A选项符合题意； B，C，D选项均不能得出． 故选A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”． 3．B 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．设小长方形的长为，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断． 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍， 设小长方形的宽为a，则长为， ∴图①中的三角形三边长分别为、； 图②中的三角形三边长分别为，； 图③中的三角形三边长分别为，； 图④中的三角形三边长分别为、， ∴①和②图中三角形不相似； ∵ ∴②和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和④图中三角形相似． 故选：B 4．B 【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：， 当时，，故A不合题意； 当时，，故C不合题意； 当时，，故D不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 5．D 【分析】本题考查动点问题的函数图象、平行线分线段成比例和三角形的面积计算，数形结合是解题的关键，根据函数图象求出，再根据函数图象得到和的面积，即可求出和，最后根据，利用平行线分线段成比例建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由图2可知，当时， S最大，且，此时P点到达B点， ∴， 当时， ，此时P点到达C点， ∴， ∴， ∵， ∴ 由图2可知，当时P点到达E点时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．C 【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，设BC与y轴交于点M，则轴，利用平行线分线段成比例及等腰三角形的性质可得 ，再由勾股定理得 ， ，设 ， ，将A、C坐标代入，根据 即可得到关于k的方程，求解即可． 【详解】 过点A作AF⊥BC，垂足为F，设BC与y轴交于点M，则轴 E是AB的中点 即 AB＝AC＝5，BC＝8 由勾股定理得 CD＝1 设 ， 将A、C坐标代入，得 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的性质，平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．B 【分析】 本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵， ∴， 故选：B． 8．A 【分析】根据平行线内错角相等即可证明两个三角形相似． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，数量掌握几种判定定理是解题关键． 9．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据求的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 10．B 【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理得到BD：DA=BE：EC，然后利用比例的性质即可求出EC的长． 【详解】解：∵DE∥AC， ∴BD：DA=BE：EC，即6：3=4：EC， 解得：EC=2（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，注意掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 11．B 【分析】由平行线分线段成比例可求出，从而即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例．掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解题关键． 12．C 【分析】A．根据中位线性质得出，根据平行线分线段成比例定理，即可判断A正确； B．根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可判断B正确； C．根据，，即可判断C错误； D．根据，，即可判断D正确． 【详解】解：A．∵是的中位线， ∴，，， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴点E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵M为的中点， ∴， ∵， ∴，故C错误，符合题意； D．∵，， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 13．3 【分析】根据相似三角形的判定方法，画出图形判断即可． 【详解】解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB． 过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB． 过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA． 故满足条件的直线有3条， 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 14．/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题关键是掌握两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例，本题根据以上知识找出成比例的线段列出等式求解即可． 【详解】解：∵直线， ∴, ∴, ∴，经检验，符合题意； 所以． 故答案为． 15．12 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，求出，，得出，证明，得出，求出，积点F的坐标为，把代入得：，得出，求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，如图所示： 联立， 解得：，， ∴，， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 把代入得：， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是作于，于．设．利用平行线分线段成比例定理，求出点的坐标，再证明，利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于，于．设． 于，于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 17． 是 ， 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出． 【详解】（1）如图，    ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 18．(1)5； (2)①证明见解析；②BP的长为5或 (3)60 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①连接，利用平行线的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质定理解答即可； ②利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：当时，利用对顶角的性质，圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；当时，利用圆周角定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例和勾股定理解答即可； （3）连接，利用轴对称的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 直线的解析式为， 令，则， ． ． ， ， ， ． 设直线的函数表达式为， ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：①连接，如图， ∵， ， ， ． 为的直径， ． 在和中， ， ， ． ， ； ②当时， ，， ， ， ． ． ， ， ， 即． ，，， ， ， ； 当时， ， ， ∴， ， ∴， ． ， ． 综上，当等于中的某一个角时，的长为5或； （3）解：连接，如图， 点关于直线的对称点恰好落在上， ． ，， ． 为的直径， ． 在和中， ， ， ， ． ， 四边形的面积为60． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，连接直径所对的圆周角和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 19．（1）详见解析；（2）；；． 【分析】（1）首先作∠C的平分线CE：以点C为圆心，以任意长为半径画弧；再以此弧与∠C两边的交点为圆心，以大于这两个交点连线的一半为半径画弧，过此两弧的交点作射线CE即可；以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，弧与CD的交点即为点F；（2）根据平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可得△EAK∽△CFK；由平行线的内错角相等、角平分线材的定义可得△ACE是等腰三角形，可得∠AFC=∠ACF=72°，易得∠ACK=∠AEC=∠CAF=36°，即可得△CKF∽△ACF∽△EAK，△CAK∽△CEA  根据△CKF∽△ACF即可求出AK的长. 【详解】（1）作法正确得，点作法正确，点标注正确； （2）； 理由：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，（不可能是负数）， ∴． 【点睛】此题考查了尺规作图及相似三角形的判定定理：平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的三角形相似； 熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 20．桶内所装液体的体积为立方米． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用圆柱的体积公式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ，解得：， ∴桶内所装液体的体积（立方米）． 答：桶内所装液体的体积为立方米． 21．4米 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 22．(1)窗户的高度为米； (2)米． 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用． （1）由题意得，利用平行线分线段成比例定理即可求解； （2）由题意得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵阳光是平行线，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴，解得(米)， 答：窗户的高度为米； （2）解：由题意得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴(米)， 答：米． 23．(1)证明见解析 (2)作图见解析； (3) 【分析】（1）过作，如图所示，根据平行线性质得到，从而得到（），再由为等边三角形，即可证得； （2）作，可证，可得，再证即可解题； （3）先构造出得出，进而得出，再用判断出即可得出，用含角的直角三角形的性质，求出，进而求出，最后用即可得出结论． 【详解】（1）证明：过作，如图所示： ， 在等边中，， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， ， ，即为等边三角形， ， ； （2）解：如图所示： 证明：作于，如图所示： ， 由平行线分线段成比例可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）过点作交的延长线于，如图所示： ，， ， 点是中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ； ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，本题难度较大，解本题的关键是构造出全等三角形． 24．(1)AC=； (2)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可； （2）根据已知线段的长度求出，根据相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC． 【详解】（1）解：∵EF∥CD， ∴， ∵AF=3，AD=5，AE=4， ∴， 解得：AC=； （2）证明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$