6.3相似图形同步练习 2023-2024学年苏科版数学九年级下册

6.3相似图形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列说法正确的有（    ）． ①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的是（    ） A．菱形都相似 B．正六边形都相似 C．矩形都相似 D．一个内角为80°的等腰三角形都相似 3．如图，从图甲到图乙的变换是（    ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换 4．如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE∥BC．若AE:AC=3:4,AD=9,则AB等于（      ） A．10 B．11 C．12 D．16 5．在如图所示的图形中，形状相同的是（    ）           A．图①与图② B．图②与图③ C．图②与图④ D．图①与图④ 6．下列四组图形中一定相似的是（    ） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．等边三角形与等边三角形 D．矩形与矩形 7．如图，一张矩形纸片ABCD的长，宽将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：    A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2 8．下列各组图形一定相似的是（   ） A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等边三角形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的矩形都相似 9．在下列各组图形中，一定相似的是（   ） A． B． C． D． 10．顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，如图，五边形的条边相等，个内角相等，则图中共有黄金三角形的个数是（ ） A．25 B．10 C．15 D．20 11．下列说法中，正确的是（ ） A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的菱形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的等腰直角三角形都相似 12．下列三个矩形相似的是(  ) A．①②和③ B．①和② C．①和③ D．②和③ 二、填空题 13．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）平分，交PM于点E，交PQ于点F． (1) ． (2)若，则 ． 14．如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点H处，折痕为；使边落在边上，点B落在点G处（点H在点G的左侧），折痕为.若矩形与原矩形相似，且，则原矩形的面积为 . 15．沿一张矩形纸较长两边的中点将纸折叠，所得的两个矩形仍然与原来的矩形相似，则原矩形纸的长、宽之比是 16．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ ． 17．如图，菱形的面积为，对角线，交于点，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到菱形；点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，得到菱形；…，依此类推，则菱形的面积为 ． 三、解答题 18．如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 19．网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上． (1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①； (2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②； (3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ． 20． 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____． 结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整． (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 21．如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 22．如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 23．如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证： +=． 24．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F. 求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．    参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C D C B B D D 题号 11 12 答案 D C 1．C 【分析】根据相似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案. 【详解】①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误； ②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确； ③当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确； ④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确； ②③④说法正确，故选C. 【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键. 2．B 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析即可. 【详解】解：A、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误； B、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是，相等，所以都相似，故本选项正确； C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误； D、一个内角为的等腰三角形可能是顶角也可能是底角是，无法判断，此选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查的是相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同． 3．D 【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换的定义判断即可． 【详解】解：从图甲到图乙的图形的形状相同，大小不相同，图甲与图乙是相似形，所以从图甲到图乙的变换是相似变换． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．C 【详解】试题解析：∵DE∥BC， ∴，即， 解得：AB=12． 故选C    ` 5．D 【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A.图①与图②对应边不一定成比例，所以一定不相似； B. 图②与图③对应角不相等，所以一定不相似； C. 图②与图④对应边不一定成比例，所以一定不相似； D.图①与图④对应边对应边成比例，比例为1：1.5，对应角相等，故选Ｄ 【点睛】本题考查相似图形的定义，解题的关键是掌握相似图形的定义. 6．C 【分析】本题考查了图形的相似，根据相似的定义是图形形状相同，对应边成比例，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、正方形与矩形的形状不相同，故该选项是不符合题意； B、正方形与菱形的形状不相同，故该选项是不符合题意； C、等边三角形与等边三角形的形状相同，对应边成比例，故该选项是符合题意； D、矩形与矩形的形状相同，对应边不一定成比例，故该选项是不符合题意； 故选：C 7．B 【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF， ∴AF＝AB＝a， ∵矩形AFED与矩形ABCD相似， ∴，即， ∴a∶b＝. 所以答案选B. 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 8．B 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误； B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确； C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误； D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 9．D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意； B．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意； C．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意； D．形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似图形的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形，掌握相似图形的定义是解题的关键． 10．D 【分析】根据正五边形的性质和黄金三角形的定义进行分析． 【详解】根据题意，得 图中的黄金三角形有△BMN、△CNF、△DFG、△EHG、△AMH、△ABN、△CBM、△CDG、△EDF、△AGE、△ACD、△BDE、△CEA、△DBA、△EBC，△NCD，△HDE，△AME，△ABH，△BCF，共20个. 故选:D 【点睛】考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形． 11．D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A、所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故错误，不符合题意； B、所有的菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故错误，不符合题意； C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故错误，不符合题意； D、所有的等腰直角三角形，边的比一定相等，而对应角也对应相等，故正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】考查相似多边形的判定，掌握相似多边形的判定定理是解题的关键. 12．C 【详解】相似多边形的特征是对应边的比相等、对应角相等．此题已经具备了对应角相等，只需判断对应边的比是否相等即可． 由题图知，①，②，③， 所以①和③的对应边的比相等．故选C． 13． 1 【分析】(1)过E作于G，可得，根据圆周角的性质可得，又平分，根据角平分线的性质可得；由， ，，且，根据“等角的余角相等”可得 ，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得，即有；由，，可得，从而可得在中有，将、、代入可得，，既而可求得的值． 【详解】(1)如图所示，过E作于G，则， ∵MN为半圆的直径， ∴， 又∵平分，, ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴, 又， ∴， 又∵， ∴， ∴, 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴在中，, 又∵, ∴， ∴将，，代入得，, ∴， 即． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，即， 设，则， 解得：，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了圆周角的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例的性质等知识．(1)中解题的关键是利用角平分线的性质和等腰三角形的性质求得，，再通过平行线分线段成比例的性质得到，进行等量代换和化简后即可得解． 14． 【分析】本题考查矩形的折叠问题、相似多边形的性质等知识点，掌握相似形的性质成为解题的关键． 先根据折叠的性质与矩形性质得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，可求得x，进而求得,最后求矩形的面积即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵矩形中， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴原矩形的面积为． 故答案为：． 15． 【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似图形对应边成比例列出比例式，然后求解． 【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴x：y＝y：，即， ∴x：y＝：1， 故答案为：：1． 【点睛】本题主要考查了相似多边形对应边成比例的性质，表示出对折后的矩形的长和宽是解题关键． 16．2 【分析】利用相似多边形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4， ∴， ∵AB＝2， ∴A′B′＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型． 17． 【分析】根据面积的比等于相似比的平方进行计算，菱形AlBlClDl的面积等于菱形ABCD的面积的 ，即为；菱形A2B2C2D2的面积等于菱形AlBlClDl的面积的，即，依此类推，则菱形A2009B2009C2009D2009的面积为． 【详解】解：∵点Al，Bl，Cl，Dl分别是OA，OB，OC，OD的中点， ∴＝， ∴菱形AlBlClDl∽菱形ABCD， ∵菱形ABCD的面积为l， ∴菱形AlBlClDl的面积等于， ∴菱形A2B2C2D2的面积等于菱形AlBlClDl的面积的，即， 依此类推，菱形A2009B2009C2009D2009的面积为． 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的相似和性质，注意：相似形的面积的比等于相似比的平方． 18．27，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19．(1)图见解析 (2)图见解析 (3)9：4 【分析】（1）原三角形的底和高都是3和3，根据图形放大与缩小的方法，把三角形的底和高按2:1扩大后，得到的是底为6，高为6的三角形，由此可画出这个三角形； （2）原长方形的长和宽分别是8和4，根据图形变大与缩小的变化方法，把长方形的长和宽按1:2缩小后，得到的是长为4宽为2的长方形，由此可画出这个长方形； （3）根据三角形的面积=×底×高和长方形面积=长×宽，分别计算出所画图形的面积，然后计算它们的比． 【详解】（1）解：如图1，①即为所求． （2）解：如图2，②即为所求． （3）解：①的面积： ②的面积： 面积比：18:8=9:4 ∴图形①的面积与图形②的面积最简整数比为9:4． 故答案为：9:4． 【点睛】本题考查图形的放大与缩小（按一定比例把图形放大或缩小，形状不变，边和大小会发生变化，各边的变化都符合指定的比，面积会扩大或者缩小比的平方倍），化简整数比（把比的前项和后项同时除以他们的最大公因数），初步体会图形的相似．解题的关键是理解按2：1放大就是把原图的各边长放大2倍，按1：2缩小就是把原图的各边长乘以及化简比结果是一个比，有比号． 20．(1)①a2；②；③不存在；④等边三角形（答案不唯一，如圆） (2)思路一：见解析；思路二：见解析；⑤不存在 (3)当时，存在 【分析】 本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，矩形，正方形的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，相似多边形的性质，选择合适的方法解题是关键； （1）①直接利用面积公式计算即可；②由所有的正方形是相似图形，结合相似图形的性质可得答案；③根据②的探究下结论即可；④仿照正方形的探究方法，探究等边三角形即可； （2）思路一：把方程组消元得到一元二次方程，利用根的判别式的情况可得答案；思路二：分别画出两个函数的简易图象，根据交点的情况判定即可； （3）根据前面的探究方法建立方程组，根据判别式大于或等于0可得成立的条件． 【详解】（1）解：①新正方形的边长为，此时新正方形的面积是； ②正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的； ③总结可得：不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． ④除正方形外，上面的结论对等边三角形也成立； ∵等边三角形都是相似图形，新的等边三角形的面积为原来等边三角形的面积的， ∴新的等边三角形与原来等边三角形的相似比为， 而新的等边三角形的周长为原来等边三角形的周长的， ∴此时新的等边三角形原来等边三角形的相似比为， ∴不存在一个新等边三角形，其周长和面积都为给定等边三角形周长和面积的． （2）思路一： 设新矩形长和宽为，，根据题意，得 ∴， 整理得：， ∴， ∴原方程组无解，则不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 思路二：如图，函数与的图象如下： ∵两个函数图象没有交点， ∴无解， ∴不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 结论：不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； （3）∵矩形的长和宽分别为m和n， ∴矩形的周长为，面积为， ∴新的矩形的周长为，面积为， 设新矩形长和宽为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 存在新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为和的矩形周长和面积的； 21． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键在于理解相似矩形对应边成比例这一性质，并能准确找出小路内外边缘围成的矩形的长和宽的表达式． 通过分析两个矩形相似的性质，找出对应边的比例关系，并用含有的代数式表示内边缘所围成的矩形的长，进而列方程求解的值即可． 【详解】解：人行小路内边缘所围成的矩形的长为， 宽为． 根据相似多边形定义，当各边成比例时，这两个矩形相似，即： ， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：当时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 22． 【分析】根据题意，得，，继而得到，，列比例式，解答即可． 本题考查了中心投影，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 答：路灯高为． 23．见解析 【详解】试题分析: 由平行线分线段成比例定理得出，，证出=1，即可得出结论． 试题解析: 证明：∵AC∥BD，EF∥BD， ∴，， ∴==1， ∴+=． 24．证明见解析. 【分析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似； 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB， ∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG. ∴AE＝EG＝FG＝AF， ∴四边形AFGE为正方形． ∴＝＝＝， 且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似． 学科网（北京）股份有限公司 $$