第06讲 分式方程及应用（课件）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第二章 方程与不等式 第06讲分式方程及应用 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 2大考点精讲+专训 3大中考命题点+11大题型探究 目录 01 考情透视·目标导航 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 04 题型精研·考向洞悉 01 考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 分式方程及其解法 分式方程的实际应用 ★★★ 能解可化为一元一次方程的分式方程. 【考情分析1】本专题包含解分式方程及已知分式方程的解求未知字母的值两种类型的题目，解分式方程的出题形式多样，难度较低；由分式方程的解求未知字母的值一般在非解答题中出现，难度一般。分式方程之所以特殊是因为其分母中含有未知数,故在解题过程中一定要注意检验. ★★★ 【考情分析1】应用分式方程解决实际问题是中考中的常考题型，多以解答题形式出现，难度一般.解决该类问题的关键是确定题目中的等量关系，从而利用等量关系列分式方程，解题过程中要注意检验所求解是否满足分式方程及是否满足该题目的实际意义. 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 分式方程的实际应用 考点二 分式方程及其解法 考点一 分式方程及其解法 分式方程及其解法 考点一 1.分式方程 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征 等式 01 方程里含有分母 02 分母中含有未知数 03 分式方程及其解法 考点一 2.分式方程的解法 解分式方程的基本思路 分式方程 整式方程. 转 化 解分式方程的一般步骤 找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式 1） 2） 去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 易错点 方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 解这个整式方程，求出整式方程的解； 3） 检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 4） 7 分式方程及其解法 考点一 2.分式方程的解法 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 分式方程及其解法 考点一 针对练习 1．（2024·四川泸州·中考真题） 分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 D A 【解析】 原方程化为 去分母：两边乘（x-2）得 经检验是该方程的解， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， 【解析】 方程两边同时乘以得，， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 9 分式方程及其解法 考点一 针对练习 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 3．（2024·陕西·中考真题）解方程：． 去分母变分式方程为整式方程 因式分解（x+1）（x-1） 确定最简公分母（x+1）（x-1） 最后对方程的解要进行检验 10 分式方程的实际应用 考点二 用分式方程解决实际问题的步骤 理解并找出实际问题中的等量关系 1 【审】 用代数式表示实际问题中的基础数据; 2 【设】 找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程 3 【列】 求解方程; 4 【解】 考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 5 【检验】 实际问题的答案. 6 【答】 11 分式方程的实际应用 考点二 针对练习 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（    ） A． B． C． D． D 顺水速静水速水速 逆水速静水速水速 等量关系 方法指导 顺流航行所用时间=逆流航行所用时间 解：设江水的流速为，根据题意可得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 分式方程的实际应用 考点二 针对练习 2．（2024·山西·中考真题）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（    ） A． B． C． D． A 方法指导 购买扇子的数量=2×购买茶具数量 等量关系 数量=费用÷单价 分式方程的实际应用 考点二 针对练习 3．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 解：由题意，得 ， 解得：， 经检验 是原方程的解． ∵，， ∴ 长（m） 宽（m） 装裱前 1.2 0.8 装裱后 【解析】 = 等量关系 ∴ 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是． 04 题型精研·考向洞悉 解分式方程 题型01 解分式方程 命题点一 以注重过程性学习的形式考查解分式方程 题型02 与解分式方程有关的新定义问题 题型03 15 命题点一 解分式方程 ►题型01 解分式方程 【例1】 （2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． 方法指导 解题的关键： ٭掌握求代数式的值，解分式方程 ٭准确计算 x结果代数式 2 n 7 b a 1 当时，，即， 当时，，即， 解得， 当时，， 即=-2 ； 【解析】 16 1．（2024·福建·中考真题） 解方程：． 解：， 方程两边都乘，得 ． 去括号得：， 解得． 经检验，是原方程的根． 命题点一 解分式方程 ►题型01 解分式方程 2．（2023·山西·中考真题） 解方程：． 解：原方程可化为． 方程两边同乘，得 ． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是． 去分母化为整式方程，求出方程的根并检验 先化简，再求值：，其中 解：原式 命题点一 解分式方程 ►题型02以注重过程性学习的形式考查解分式方程 【例1】 （2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是 ． 根据题意得到方程 方法指导 解题的关键： ٭正确理解题意，根据题意得到方程 ٭准确计算 5 解分式方程 命题点一 解分式方程 ►题型02以注重过程性学习的形式考查解分式方程 【例1】 （2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题： 解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依 据　　　进行变形的； A．等式的基本性质     B．不等式的基本性质     C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　 　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． ①在等式两边同时乘以，等式不变 A 二 去括号时第二项没有乘以2 解分式方程注意要检验 命题点一 解分式方程 ►题型02以注重过程性学习的形式考查解分式方程 1．（2024·陕西渭南·一模）以下是小明同学解方程的过程． 【解析】方程两边同时乘，得 …第一步 …第二步 检验：当时， … 第三步 所以，原分式方程的解为 … 第四步 ①小明的解法从第______步开始出现错误； 出错的原因是 ； ②解分式方程的思想是利用______的数学思想， 把分式方程化为整式方程． A．数形结合　B．特殊到一般　 C．转化　 D．类比 ③写出解方程的正确过程． 一 去分母时数字2没有乘以 C 方法指导 解题的关键： ٭熟知解分式方程的步骤 解：方程两边同时乘，得 ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 命题点一 解分式方程 ►题型02以注重过程性学习的形式考查解分式方程 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题） 小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 命题点一 解分式方程 ►题型03 与解分式方程有关的新定义问题 【例1】 （2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，． 若，则x的值为 ． 方法指导 解题的关键： ٭正确理解题意得到关于x的方程 解：∵， ∴ ， 又∵， ∴， 去分母，化简得：， 经检验是 方程的解 ∵即， ∴， 解得， 命题点一 解分式方程 ►题型03 与解分式方程有关的新定义问题 1．（2020·山东枣庄·中考真题）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北沧州·模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． C D 根据题中的新定义化简得： 04 题型精研·考向洞悉 由分式方程的解求参数 题型01 分式方程含参问题 命题点二 由分式方程有解、无解或有增根求参数 题型02 由分式方程解的取值范围求参数 题型03 24 命题点二 分式方程含参问题 ►题型01 由分式方程的解求参数 1．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（2024·江苏盐城·三模）已知关于x的方程的解是，求关于y的不等式的解集． B 将代入原方程中得到关于的方程 方法指导 解题的关键： ٭正确理解题意求出a的值 解：根据题意可得：把代入， ∴ 解得， ∴， 解得． ∴不等式的解集． 命题点二 分式方程含参问题 ►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数 解题思路 2 分式方程无解，说明： ①原方程去分母后的整式方程无解； ②分式方程有增根. 3 分式方程解为正/负，说明： ①原方程去分母后的整式方程有解； ②所求得的解不是增根； ③特殊解大于0或小于0 ①原方程去分母后的整式方程有解； ②所求得的解不是增根. 1 分式方程有解，说明： ①原分式方程中的字母为0； ②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 4 分式方程有增根，说明： 【例1】 （2021·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　） A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2 命题点二 分式方程含参问题 ►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数 B 方法指导 解题的关键： ٭原方程去分母后的整式方程的解不是增根2 解： 方程两边同时乘以得：， ∴， ∵分式方程有解， ∴， ∴， ∴， ∴， 命题点二 分式方程含参问题 ►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数 【例2】 （2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 方法指导 解题的关键： ٭正确解出含字母k的分式方程٭原方程无解的条件： （1）去分母后整式方程的解是分式方程的增根 （2）关于k的代数式无意义 解： 去分母得：， 解得：， ∵关于的方程无解， ∴当或时，分式方程无解， 解得：或（经检验是原方程的解）， 即或，无解． 命题点二 分式方程含参问题 ►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数 1．（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ． 解：，化简得：， ∵，即， ∴，解得：， ∵有实数根， ∴ ， 解得：， ∴综上且， 2．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 且 解:∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 3.（2023·浙江·模拟预测） 已知关于的方程的方程恰好有一个实数解，求的值及方程的解． 命题点二 分式方程含参问题 ►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数 方法指导 解题的关键： ٭将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论 解：两边同乘,得 ， 若， 若，由题意，知 ， 解得， 当时，， 当时，， 若方程有两不等实根，则其中一个为增根， 当是增根时，，， 当是增根时，，． 命题点二 分式方程含参问题 ►题型03 由分式方程解的取值范围求参数 【例1】 （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 解：， 化简得： ， 去分母得： ， 移项合并得： ， 解得：， 方法指导 解题的关键： ٭由解是正整数确定含m的代数式取值条件 ٭正确求出分式方程的解 ∵方程的解是正整数， 为正整数， 即或， 解得： 或 （舍去，会使得分式无意义） 命题点二 分式方程含参问题 ►题型03 由分式方程解的取值范围求参数 【例2】 （2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组 的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 命题点二 分式方程含参问题 ►题型03 由分式方程解的取值范围求参数 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 且 2．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 且 注意分式方程无解的情况 3.（2023·重庆·中考真题） 若关于x的不等式组 的解集为， 且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 且 且 13 04 题型精研·考向洞悉 列分式方程 题型01 分式方程与实际应用 命题点三 利用分式方程解决实际问题 题型02 分式方程的应用与函数的综合运用 题型03 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 题型04 以数学文化为背景考查分式方程的实际应用 题型05 34 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型01 列分式方程 【例1】 （2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ） A． B． C． D． C 单价（元） 数量（株） 金额（元） A种绿植 B种绿植 x 3x 6750 3000 35 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型01 列分式方程 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（    ） A． B． C． D． C 2．（2023·四川·中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． A 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型02 利用分式方程解决实际问题 【例1】 （2024·黑龙江大庆·一模）从年到年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．年某“G”次等级列车行驶的里程，它的平均速度是年普通“Z”等级列车的倍，所用的时间比年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度． 方法指导 解题的关键： ٭行程问题 路程÷速度=时间 ٭正确求出分式方程的解 解：设年普通Z等级列车的平均速度为， 则年G等级列车平均速度为， 根据题意得，， 即， 解得 ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴ 答：某次G等级列车列车年的平均速度为． 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型02 利用分式方程解决实际问题 1．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； （1）解：设航空模型的单价为x元， 则航海模型的单价为元，由题意得， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； 方法指导 解题的关键： ٭购物问题 费用÷数量=单价٭正确求出分式方程的解 1．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型02 利用分式方程解决实际问题 解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值， y最小值=， ∴， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 2.（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型02 利用分式方程解决实际问题 信息— 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； 解：由题意列方程，得． 方程两边乘，得： ． 解得： ． 检验：当时，． ∴ 原分式方程的解为． 答：x的值为600． 工程问题 工程量÷工作效率=工作时间 40 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 2.（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型02 利用分式方程解决实际问题 信息— 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元． ∴ ． ． 1400>0， 随的增大而增大． 当时，取得最小值， 最小值=56800． 答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元． 41 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用 【例1】 （2023·内蒙古·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同． (1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价； 方法指导 解题的关键： ٭购物问题 费用÷单价=数量٭正确求出分式方程的解 （1）解：设每盒豆沙粽的进价为元， 则每盒肉粽的进价为元。由题意得： 方程两边乘，得 解得： 检验：当时， ∴是原方程的解 ∴（元 ） 答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元． 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用 【例1】 （2023·内蒙古·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同． (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． 厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示： ①分别求出，与之间的函数关系； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？ 正确找出等量关系是解题的关键． (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． 厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示： ①分别求出，与之间的函数关系； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？ 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用 （2）解：①（且为整数） 当且为整数时， 当且为整数时， ②当且为整数， 时 由图象可知： 当x＜75盒，去A厂家购买划算； 当x=75盒，去A厂家或厂家购买一样划算； 当x＞75盒，去厂家购买划算． 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用 1．（2024河源市一模）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度（吨/）之间的函数关系如图． (1)求与之间的函数表达式； 方法指导 解题的关键： ٭从函数图象获取信息，求函数表达式 ٭读懂题意，数形结合 （1）解： ∵x（吨/分钟）代表装载速度， y（分钟）代表装完货物所需时间， ∴货物的质量为. ∴y是x的反比例函数 设y与x之间的函数关系式为， 把代入得，得： ， ∴y与x之间的函数关系式为； (2)这批货的质量是多少？ （2）由（1）得，这批货物的质量为： （吨） （3）设原定速度每分钟卸货m吨，则： ， 解得, 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用 1．（2024河源市一模）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度（吨/）之间的函数关系如图． 方法指导 解题的关键： ٭从函数图象获取信息，求函数表达式 ٭读懂题意，数形结合 经检验： 是原方程的根且符合题意． 答：原定速度每分钟卸货5吨． (3)轮船到达目的地后开始卸货，因任务紧需加快卸货速度，这样比原定卸货速度每分钟提高了， 结果提前了40分钟完成卸货，求原定速度每分钟卸货多少吨？ 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用 2.（2021·河南三门峡·二模）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价．居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于．如图，折线表示实行阶梯水价后每月水费（元）与用水量（）之间的函数关系．其中线段表示第二级阶梯时与之间的函数关系． （1）写出点的实际意义； （2）求线段所在直线的表达式； （3）某户5月份缴水费108元，求相应用水量为多少立方米？ 解：（1）点的横坐标为25，纵坐标为90，结合题意： 的实际意义为： 当用水量为时，所交水费为90元； 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用 2.（2021·河南三门峡·二模）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价．居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于．如图，折线表示实行阶梯水价后每月水费（元）与用水量（）之间的函数关系．其中线段表示第二级阶梯时与之间的函数关系． （1）写出点的实际意义； （2）求线段所在直线的表达式； 设线段所在直线的表达式为 ∴ 解得： ∴线段所在直线的表达式为． 解法一：设第一阶梯用水的单价为元， 则第二阶梯用水单价为元， 设， 解得： ∴ 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用 2.（2021·河南三门峡·二模）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价．居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于．如图，折线表示实行阶梯水价后每月水费（元）与用水量（）之间的函数关系．其中线段表示第二级阶梯时与之间的函数关系． （1）写出点的实际意义； （2）求线段所在直线的表达式； 设线段所在直线的表达式为 ∴ 解得： ∴线段所在直线的表达式为． 解法二： 设水费为45元时用水量为，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解． ∴ 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用 2.（2021·河南三门峡·二模）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价．居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于．如图，折线表示实行阶梯水价后每月水费（元）与用水量（）之间的函数关系．其中线段表示第二级阶梯时与之间的函数关系． （1）写出点的实际意义； （2）求线段所在直线的表达式； （3）某户5月份缴水费108元，求相应用水量为多少立方米？ （3）设该户5月份用水量为，由已知条件得， 由（2）知，第一阶梯水的单价为3元， 则第三阶梯水的单价为6元， 根据题意，得， 解得，． 答：该用户5月份用水量28． 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 【例1】 （2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元． 55 解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 大号“龙辰辰”的单价为55元， 小号“龙辰辰”的单价为40元． 方法指导 解题的关键： ٭读懂题意，抓住等量关系 某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 1260 解：设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知： 在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值， 最大值=， ∴该网店所获最大利润为1260元， 【例1】 （2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元． 55 1.（2024·河南开封·一模）为践行环保理念，守护绿水青山，某餐厅计划从“2024中国国际生物降解材料展览会（生物降解展）”采购甲、乙两种可降解的一次性餐具．已知甲种餐具的单价是乙种餐具单价的，用1000元采购的甲种餐具套数比乙种餐具的套数多3000套． (1)求甲、乙两种餐具的单价． 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 （1）解：设乙种餐具的单价为x元/套，则甲种餐具的单价为元/套．根据题意，得 ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种餐具的单价为0.2元/套，乙种餐具的单价为0.5元/套． 购物问题 1.（2024·河南开封·一模）为践行环保理念，守护绿水青山，某餐厅计划从“2024中国国际生物降解材料展览会（生物降解展）”采购甲、乙两种可降解的一次性餐具．已知甲种餐具的单价是乙种餐具单价的，用1000元采购的甲种餐具套数比乙种餐具的套数多3000套． (2)如果采购甲、乙两种可降解的一次性餐具共20000套，其中甲种m套，乙种的套数不少于甲种的一半，一共需要w元，那么采购甲种多少套时需要的采购款最少？ 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 函数最值问题 ∵m为正整数， ∴当时，w有最小值． 答：当采购甲种13333套时需要的采购款最少． 总费用w=甲种餐具数量×0.2+乙种餐具数量×0.5 总数量2000=甲种餐具数量+乙种餐具数量 （2）由题意得 ， ∵， ∴w随m的增大而减小． ∵， 解得， 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 2．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 函数与方程结合问题 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 2．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； 单价（元） 数量（个） 金额（元） A书架 B书架 （1）解：设B种书架的单价为x元，由题意得： ， 解得：， x 18000 9000 ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 2．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （2）解：购买a个A种书架时， ， 即， 由题意得，a应满足： ， 解得：． 单价（元） 数量（个） 金额（元） A书架 B书架 (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； a 1200 1000 20-a ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小， w最小值=， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． 57 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 2．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． （3）解：由题意得 ， 解得． 单价（元） 数量（个） 金额（元） A书架 B书架 8 1200-m 12 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型05以数学文化为背景考查分式方程的实际应用 方法指导 解题的关键： ٭理解题意中的数量关系 ٭掌握分式的运用 【例1】 （2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等． 若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 等量关系 解：设中间弦的长度为，由题意得: ∴， 解得:， 检验，当时，原式有意义， 答：中间弦的长度为 ． 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型05以数学文化为背景考查分式方程的实际应用 【例2】 （22-23八年级上·河北邢台·期末）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 方法指导 解题的关键： ٭单价=总价÷数量 ٭等量关系 少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱 C 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型05以数学文化为背景考查分式方程的实际应用 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 路程（里） 时间（天） 速度（里/天） 快马 慢马 x-3 1800 x+3 解：设规定时间为x天，根据题意得： ， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． 答：规定时间为9天． 等量关系 2．（2022·吉林·二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有这样一个问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数． 命题点三 分式方程与实际应用 ►题型05以数学文化为背景考查分式方程的实际应用 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验 是原分式方程的解，且符合题意． 答：第一次分钱的人数为2人． 总钱数 人数 人均（元/人） 第一次分 第二次分 x 10 x+6 解：设第一次分钱的人数为x人． 等量关系 谢谢 聆听 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 $$