专题11 导数中切线问题（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题11 导数中切线问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、求在曲线上一点的切线方程 2 题型二、求过某一点的切线方程 2 题型三、有一个切点的公切线 3 题型四、有两个切点的公切线 3 题型五、公切线的条数问题 4 压轴能力测评（14题） 5 一、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 二、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 三、公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 考法1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 考法2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 【题型一 求在曲线上一点的切线方程】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知函数存在对称中心，则在对称中心处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东江门·期末）已知曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．0或8 D．8 二、多选题 4．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若，且在，，处的切线均经过坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函数，则函数的图像在处的切线方程为 ． 【题型二 求过某一点的切线方程】 一、填空题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知直线为曲线过点的切线. 则直线的方程为 . 2．（22-23高二下·江苏苏州·期中）已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为 ． 3．（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知，过点作的切线，若切线斜率为1，则 . 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 5．（23-24高二下·广东·期中）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是 . 【题型三 有一个切点的公切线】 一、填空题 1．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【题型四 有两个切点的公切线】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 5．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型五 公切线的条数问题】 一、单选题 1．（23-24高三上·浙江湖州·期末）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（    ） A． B． C．满足条件的直线有2条 D．满足条件的直线只有1条 4．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线为曲线和的公切线，则下列结论正确的为（    ） A．和关于直线对称 B．若，则 C．当时，和必存在两条公切线 D．当时， 三、填空题 5．（23-24高二上·重庆·期末）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 . 四、解答题 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)求曲线与的公切线的条数； 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 4．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（   ） A． B． C．或 D． 7．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（   ） A．2 B． C．1 D． 8．（24-25高三上·河南·阶段练习）若直线是函数的一条切线，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·河北沧州·期中）过点可以作两条直线与曲线相切，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数和且，若两函数图象相交，则其交点的个数可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 11．（24-25高三上·湖南·期中）曲线在点处的切线方程为 . 12．（2024高三·全国·专题练习）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . 13．（2024高三·全国·专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 14．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 导数中切线问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、求在曲线上一点的切线方程 2 题型二、求过某一点的切线方程 5 题型三、有一个切点的公切线 8 题型四、有两个切点的公切线 9 题型五、公切线的条数问题 12 压轴能力测评（14题） 18 一、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 二、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 三、公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 考法1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 考法2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 【题型一 求在曲线上一点的切线方程】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以，，所求切线的斜率， 因此，所求切线的方程为，整理得． 故选：A． 2．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知函数存在对称中心，则在对称中心处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断出取得极值的点的坐标为和，则点与点的中点即为对称中心，求出对称中心坐标可得在中心点处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 可得在处有极大值，在处有极小值， 所以的取得极值的点的坐标为和， 若函数存在对称中心， 则点和的中点即为对称中心，所以对称中心坐标为， 可得在中心处的切线的斜率为：，， 所以在处的切线方程是， 即. 故选：D. 3．（23-24高二下·广东江门·期末）已知曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．0或8 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出切线方程，再按与分类讨论求解. 【详解】函数，求导得，则， 因此曲线在点处的切线方程为，即， 当时，曲线与直线平行，无公共点， 则，曲线是对称轴为的抛物线， 因此直线与曲线有且仅有一个公共点， 当且仅当只有一个解，即有相等实根， 于是，则. 故选：D. 二、多选题 4．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若，且在，，处的切线均经过坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，利用切线过原点推出，，即可判断A， B两项；对于C ，D两项，借助于正弦函数的图象，设，分别求出，，，利用两角差的正切公式及放缩思想，证明，由正切函数单调性化简即可判断. 【详解】 如图，设函数在，，处的切线的切点分别为点， 则，且， 由求导得，则切线的方程为， 因切线过原点，则有，，即，同理可得，. 对于A，显然成立，故A正确； 对于B，因，则有，成立，故B正确； 对于C，由可得①， 令，代入①可得， ，即， 由图知.则，， 又， ， 于是； 而. 因，则， 故，即， 由正切函数在上为增函数可得，，即， 故，即，故C错误. 根据题意，要证，即证， 由于均值不等式知道，下面证明即可. 即证，即证， 即证 前面知道，则. 则只需要证明即可.即证明，前面C知式子成立.故D正确. 故选：ABD． 三、填空题 5．（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函数，则函数的图像在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，在该点的导数等于该点切线的斜率即可求解. 【详解】由，得，则， 所以函数的图象在处的切线方程为，即． 故答案为：． 【题型二 求过某一点的切线方程】 一、填空题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知直线为曲线过点的切线. 则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】设切点为，由导数的几何意义求得切线方程，代入点坐标求出，再回代得切线方程． 【详解】∵，∴.    设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为， ∴过点的切线方程为， 即，又点在切线上， ∴，整理得， ∴， 解得或； ∴所求的切线方程为或. 故答案为：或. 2．（22-23高二下·江苏苏州·期中）已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为 ． 【答案】3 【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点，可求出，进而求出结果． 【详解】∵点不在曲线上，设切点坐标为． 又∵，所以 ∴在处的切线方程为， ∵切线过点， ∴，解得， ∴切线斜率为. 故答案为：3． 3．（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知，过点作的切线，若切线斜率为1，则 . 【答案】3 【分析】求导，根据导数的几何意义分析可得，，构建，结合单调性可得，进而可求切线方程，即可得的值. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 由题意可知， 显然当时，则， 可得，不合题意，可知， 令，则， 可知在内单调递增，且， 所以关于的方程的根为， 即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为， 所以. 故答案为：3. 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 5．（23-24高二下·广东·期中）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m的取值范围即可. 【详解】函数在上有两个零点， 等价于与有两个不同的交点， 恒过点，设与相切时切点为， 因为，所以切线斜率为， 则切线方程为， 当切线经过点时，解得或（舍），此时切线斜率为， 由函数图像特征可知：函数在上有两个零点， 则实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于将函数有两个零点问题转化为两函数有两个不同交点问题. 【题型三 有一个切点的公切线】 一、填空题 1．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则 ． 【答案】6 【分析】利用导数的几何意义，求得切线方程，再与抛物线方程联立，由判别式等于零求解. 【详解】，则在点处的切线的斜率为， 则切线方程为：， 联立，消去得：， 因为切线也是抛物线的切线， 所以， 解得 故答案为：. 3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【分析】设公共点为，由，可得，进而利用导数可得，求解即可. 【详解】函数的定义域为，可得，由， 设曲线与曲线的公共点为， 由于在公共点处有共同的切线，所以，所以， 由，可得，联立可得， 解得，所以，所以公共点坐标为. 故答案为：. 【题型四 有两个切点的公切线】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】由整理可得，然后由基本不等式可得. 【详解】由，得， 则， 依题意可得，且， 整理得， 所以，所以， 经验证，当分别取2，时，满足题意. 故选：D. 2．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可. 【详解】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为. 故选：A 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】曲线上的切点为，曲线上的切点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为， ，， 解得. 故选：A. 4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 5．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 【题型五 公切线的条数问题】 一、单选题 1．（23-24高三上·浙江湖州·期末）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围. 【详解】由题意可知：， 设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为， 且，，则公切线的斜率，可得， 则公切线方程为， 代入得， 代入可得，整理得， 令，则， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在单调递减，可得， 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于， 可得，解得，故实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围. 2．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围. 【详解】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为， 因为，整理得， 同理， 因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图: 所以当，即时，直线与曲线有三个交点. 故选：A. 二、多选题 3．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（    ） A． B． C．满足条件的直线有2条 D．满足条件的直线只有1条 【答案】AC 【分析】分别求出切点和切点切线方程，再由直线与两条曲线都相切，由两切线的斜率相等，且在y轴上的截距相等求解. 【详解】解：由题可知直线与曲线相切于点，又， 所以直线的斜率，则在点处的切线方程为， 即， 直线与曲线相切于点 ，则在点处的切线方程为， 即． 因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同， 则且， 则，即， 可得，解得，故A正确，B错误； 把代入，得， 在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：的值有两个，故C正确，D错误． 故选：AC 4．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线为曲线和的公切线，则下列结论正确的为（    ） A．和关于直线对称 B．若，则 C．当时，和必存在两条公切线 D．当时， 【答案】ACD 【分析】计算证明和互为反函数，即可判断A；设，，利用，并结合斜率的计算公式，可得的值，从而可判断B；设和的公切线上的切点坐标分别为，根据导数的几何意义整理可得，设，求导确定函数的零点个数，从而可得方程根的个数，即可判断C；根据选项C可得，整理后可得结论，即可判断D. 【详解】选项A，对两边取对数，有，所以， 所以和互为反函数，即和关于直线对称，故A正确； 选项B，当时，公切线l为，设，，则，， 设直线l与曲线和分别切于点，， 所以，，解得，且， 所以， 即，因为，所以，即，故B错误； 选项C，当时，，，则，， 设和的公切线上的切点坐标分别为， 则，可得①， 将切点坐标代入公切线方程可得， 所以②，将①代入整理可得：， 设，则， 又令，所以恒成立，所以在上单调递增， 又，则存在，使得，则， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增， 则，又，， 故存在使得，存在使得， 所以和必存在两条公切线，选项C正确； 选项D，当时，由C选项可得，，所以，整理得，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 5．（23-24高二上·重庆·期末）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，则，， 当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意； 当时，，即， 故， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，故， 综合得实数t的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答时要设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数t的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题. 四、解答题 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)求曲线与的公切线的条数； 【答案】(1)2条 【分析】（1）设切点，求导，分别求解的切线方程，根据公切线可得，即可求解或，从而得解， 【详解】（1）设的切点分别为， 则， 故在切点处的切线方程分别为， 则需满足； ,故， 解得或， 因此曲线与有两条不同的公切线， 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数，由切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题意，函数，可得， 所以，， 所以在处的切线方程为，即. 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代点求解出，然后对函数进行求导，对应求解出，最后求解. 【详解】由已知，， 故， ， 则切线斜率为，故， 所以． 故选：B. 3．（2024高三·全国·专题练习）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 4．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点P的横坐标为（），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】由，， 则，， 设切点P的横坐标为（），则根据题意可得， 得，即， 设，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以方程有唯一解， 所以切点P坐标为，切线斜率， 则切线方程为. 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 【详解】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 6．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先分别求出两条曲线的导数，设出切点坐标，根据公切线的斜率相等以及在切点处的函数值相等列得方程组，即可求得结果. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即，所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 7．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据两曲线交点和导数几何意义可求得切线斜率，由此可构造方程求得a的值. 【详解】当时，曲线与曲线有唯一交点， 当时，因为和在上单调递增， 故函数在上单调， 因为曲线在上单调递增，且两曲线有相同切线， 所以函数在上单调递增，故， ，，与的交点为， ，在处的切线斜率， ，，解得：. 记，则， 所以在上单调递减，故有唯一解， 即曲线与曲线有唯一交点，满足题意. 故选：D. 8．（24-25高三上·河南·阶段练习）若直线是函数的一条切线，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，求得切线方程，进而可得，进而可求的最小值. 【详解】设切点为，因为， 所以函数的切线方程为， 即，所以， 所以（当且仅当时取等号）. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高三上·河北沧州·期中）过点可以作两条直线与曲线相切，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设出切点的坐标，利用导数研究切点和斜率，根据切线有条，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围 【详解】设切点坐标为，，， 故斜率为，切线方程为，代入点（2，）， 得， 即， 构造函数，则， 当时，， 当或时，， 在单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 如图所示 ∴或， ，， 即或 故选：ABD.    【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题. 10．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数和且，若两函数图象相交，则其交点的个数可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，利用导数的知识判断这两个图象的交点个数． 【详解】（一）当时，函数和的图象呈现以下三种情况： 如图2，当函数和的图象只有一个公共点时，此公共点必在直线上，且函数图象在此公共点的切线即为直线，， 所以有，则，，所以， 即公共点为， 结合图象有以下结论： （1）当时，函数和的图象没有公共点（如图1）； （2）当函数和的图象只有一个公共点（如图2）； （3）当函数和的图象有两个公共点（如图3）． （二）当时，函数和的图象呈现以下三种情况（把图象适当放大）： 图5中，函数和的图象只有一个公共点，此公共点在直线上，且在该公共点处，有公切线，此公切线斜率为（与直线垂直）， 所以，解得，即公共点为， 结合图象得以下结论： （4）当时，函数和的图象有三个公共点（如图4）； （5）当时，函数和的图象有一个公共点（如图5）； （6）当时，函数和的图象有一个公共点（如图6）； （5）（6）可合二为一：当时，函数和的图象有一个公共点． 综上，函数与的图象的交点个数可为0，1，2，3， 故选：ABC． 三、填空题 11．（24-25高三上·湖南·期中）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出，求导，根据导数几何意义得到切线斜率，由点斜式求出切线方程. 【详解】因为，则， 所以切点为，且，则， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以切线方程为. 故答案为： 12．（2024高三·全国·专题练习）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】因为， 当时，，设切点为，由，得， 所以切线方程为. 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，，设切点为，由，得， 所以切线方程为. 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即. 故答案为：；. 13．（2024高三·全国·专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义求出切线方程，代入原点坐标，根据关于的方程有两不等根由可解. 【详解】，. 设切点为，则，切线斜率， 切线方程为. 切线过原点，， 整理得. 切线有两条，，解得或， 的取值范围是. 故答案为：. 14．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由切线过点可得.构造新函数，结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合求得实数a的取值范围. 【详解】由题意，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点代入可得. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点可作三条直线与曲线相切. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$