专题10 数列11大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题10 数列11大压轴考法 题型1 等差数列中Sn的最值问题 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（    ） A． B． C． D．无最大值 【答案】B 【分析】对于A：根据可得，结合通项公式分析判断；对于B：根据等差数列性质可得，即可分析判断；对于CD：根据分析数列的符号性，即可判断. 【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即， 可得，则，故A错误； 对于选项B：因为，则，所以，故B正确； 对于选项D：因为，且，可知，当时，； 当时，；可知当且仅当时，取到最大值，故D错误， 对于选项C：因为，所以，故C错误； 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意按等差数列的通项公式及求和公式列出含和的方程组，解出和，再利用求和公式写出，进而求出取最小值时的值即可. 【详解】由题意知：，则， 解得，所以， 所以当或时，取最小值. 故选：D. 3．（22-23高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】将等差数列的前2023和2024项和与0的大小比较，得出具体的项数的正负，即可求出当取得最小值时的值. 【详解】由题意，，∴， ，∴， 则等差数列满足，， 可得公差， ∴数列为递增数列，且当，时，， 当，时，， ∴当取得最小值时，的值为1012． 故选：B． 二、多选题 4．（23-24高三下·江西赣州·阶段练习）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 【答案】AC 【分析】由已知可得公差，进而由与的关系可得，，根据等差数列的性质可得结论. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为是等差数列且，所以公差，故B错误； 因为，所以， 又因为是等差数列且，所以与均为的最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 【答案】ABD 【分析】根据，得到，，，即可判断A、B、D，再根据的特征判断C. 【详解】因为， 所以，，所以，故A正确； 又，则，故D正确； ，故B正确； 因为当时，当时， 所以当时取得最大值，所以数列的最大项为，故C错误. 故选：ABD 题型2 等差数列中an、Sn的性质及其应用 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列， 所以，所以，解得． 故选：C. 2．（24-25高二上·河南·期中）设等差数列和的前n项和分别为和，若，则（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，设，，由此可得、的值，又由，计算可得答案． 【详解】根据题意，等差数列和中，， 设，， 故，， 则． 故选：A． 3．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前和为，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】在原条件中取，再利用等差数列性质即可得到结果. 【详解】在中取得，故，所以. 故选：A. 4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（    ） A．4047 B．4046 C．2024 D．4048 【答案】A 【分析】分与两种情况，结合等差数列的性质和得到方程，求出. 【详解】若，由题意知， 由等差数列的性质知，若，则有，所以， 因为公差，且，所以，所以， 所以． 若，可得， 由等差数列性质知，若，则有，所以， 因为公差，且，所以，所以， 所以． 故选：A 5．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列前n项和公式，结合已知并讨论、研究数列的性质，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，则， 所以， 若，则，故， ， ，A对； 若，则，故，， ，B错； 综上，，C对； ， 当，，此时， 当，，此时， 所以，D对. 故选：B 6．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（    ） A．在中最大的数是 B．在中最大的数是 C．在中最大的数是 D．在中最大的数是 【答案】A 【分析】 根据题意，由条件可得，由是以为首项，为公差的等差数列，即可判断AB，由可得在中最大的数是不确定的，即可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为，则，由存在最大值可知，， 因为，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，且，则是递减数列，所以在中最大的数是，故A正确，B错误； 在中最大的数是不确定的，比如，由，可得，所以，即为最大值，故CD错误； 故选：A 题型3 等比数列中an、Sn的性质及其应用 一、单选题 1．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解. 【详解】由和可得， 故， 故选：B 2．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项的性质求得公比，即可得结论. 【详解】设等比数列的公比为， 则，所以， 故. 故选：C. 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案. 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 4．（2023·江西赣州·一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为. 【详解】由可知公比，所以A错误； 又，且可得，即B错误； 由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增， 即无最大值，所以C错误； 设为数列前项积的最大值，则需满足，可得， 又可得，即的最大值为，所以D正确. 故选：D 5．（22-23高二上·陕西西安·开学考试）在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知写出等比数列的通项公式，利用指数运算法则和等差数列的求和公式得到关于n的表达式，并化简整理，先求得最大时的n的值，再分析正负，即得最大时的n的值. 【详解】由题意知，， ∴ ， 又，则当或时取得最大值， 又当时，当时， 当时，当时， ∴或时取得最大值. 故选：C 6．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（   ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【分析】根据等比数列项的性质得出,再计算化简求解. 【详解】因为等比数列满足，所以， 设, , , 所以， , . 故选：A. 题型4 累加、累乘、构造法求数列通项公式 一、单选题 1．（2024·四川·模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为，则该数列的第18项为（    ） A．188 B．208 C．229 D．251 【答案】A 【分析】记该二阶等差数列为，，计算出，利用累加法结合等差数列求和能求出的值. 【详解】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记， 由题意可知，数列为等差数列，且， 所以等差数列的公差为，所以， 所以，则， 所以， 故选：A 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义翻译出，然后用累加法求出，再用等比数列求和公式求解即可. 【详解】据题意，得，所以， 所以， 所以．又，所以，所以， 所以 故选：D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 4．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项，利用错位相减法求出的前100项和得解. 【详解】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ， ， . 故选：C. 5．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【详解】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 6．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 题型5 an与Sn的关系及递推公式的应用 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知等比数列满足，其前n项和.则（   ） A．数列的公比为p B．数列为递减数列 C． D．当取最小值时， 【答案】D 【分析】利用可得数列的递推公式，进而可得公比为，，进而可判断数列的单调性，再根据基本不等式可得当且仅当时取最小值，进而可得公比与通项公式. 【详解】对于A，，当时，， 两式相减得，，， 则，时，，所以， 因为是等比数列，所以公比为，解得，故A错误，C错误； 对于B，因为，，所以， 所以数列为递增数列，故B错误；     对于D，因为，，所以， 当且仅当即时等号成立，此时公比为， ，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，若，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用，得出，求得,利用的值排除部分选择支ABD，再放缩法和裂项相消法求和即可判断选项. 【详解】当时，由可得， 两式相减可得， 当,满足上式， 所以恒成立， 所以， 所以；时，. 所以,故选择支ABD错误， 当时，． 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用递推关系求出，再利用裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】当时，， 当时， ， ， 两式相减可得：，所以， 又时，，所以不满足， 所以，设，数列的前项和， 所以， 设数列的前5项和为： . 故选：D. 5．（2024·河南开封·三模）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据可得为公比为2的等比数列，即可求解，进而可得，根据的表示即可求解. 【详解】由可得，， 故为公比为2的等比数列，故， 所以，故， 因此 故， 要使，则， 当时，，时，，且在时，随着正整数的增大而增大，故的最小值为6， 故选：B 题型6 数列求和 一、解答题 1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）由（1）可得，结合分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，， 又符合上式，所以. （2）由（1）知， 所以. 2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系计算可得，结合累乘法运算即可求解； （2）由（1）知，利用错位相减法求和即可求解. 【详解】（1）当时，， 得， 所以， 各式相乘得，又，所以； （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减，得， 所以. 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，利用求和公式的定义整理可得数列递推公式，结合累乘法，并检验，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式整理可得新数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1），∴， ∴， 即， ∴，，…，， ∴， 即，∴． 由，令可得， ∴，验证符合上式，∴． （2）由（1）得，，， 显然； 可知当时，， ∴ ， 符合上式， ∴不等式得证． 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 题型7 等差数列中含绝对值问题 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【答案】(1)，当取得最小值时，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可； （2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； （2）由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 2．（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列满足，，设的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用公式求数列的通项公式；根据，的关系解（2）（3）. 【详解】（1）当时，, 当时，. 时，上式亦成立. 所以. （2）又，所以时，，所以. （3）当时，所以. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在数列中，，记，，，若对于任意，，，构成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，代入已知即可求解，即公差，由等差数列的通项公式，即可求解数列的通项公式； （2）由（1）可得，结合的范围及等差数列的求和公式，即可求解数列的前项和． 【详解】（1）根据题意成等差数列，∴； 整理得， ∴数列是首项为，公差为2的等差数列． ∴． （2）由（1）知， 则，记数列的前项和为， 当时，； 当时，， 所以， 综上：. 题型8 数列中的奇偶性问题 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 3．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 二、填空题 4．（23-24高三上·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 【答案】2191 【分析】，对分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 【详解】数列是以公差的等差数列; . ,数列是以公比的等比数列; . . 故答案为：2191. 三、解答题 5．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知数列满足，且. (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前30项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意要得，，所以得，从而可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得数列的前30项的和. 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以， 所以， 又，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； （2）由（1）可知， 所以 . 6．（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推公式，得出，则 是公比为2的等比数列. 再由等比数列知识求解即可． （2）结合（1），求出．分奇偶讨论求和即可 【详解】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 题型9 数列与不等式 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和为，，且． (1)求； (2)若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由可得，两式作差可得，利用累乘法可得结果. （2）①确定数列中的项为数列的偶数项，求数列的通项公式，通过裂项相消法即可求. ②利用条件可得，利用放缩法可得，即可证明结论. 【详解】（1）∵，∴当时，， 两式相减得，，整理得，即， ∴当时，，满足此式， ∴. （2）①由（1）得，，∴，， ∴数列是首项为，公差为的等差数列. 当为奇数时，为偶数，为的整数倍，是数列中的项， 当为偶数时，为奇数，不是数列中的项， ∴数列中的项为数列的偶数项，且， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴， ∴，， ∴. ②由①得，，∴， ∵成等比数列，∴，即， ∴，∴， ∴. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问①的关键是确定数列中的哪些项需要删去，以此得到数列，解决第（2）问②的关键是利用得到，以此证明不等式成立. 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角△(为坐标原点)的边长为， (1)求的值； (2)记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； (3)是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答. （2）根据给定条件，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项作答. （3）由（2）知，利用累乘法可得，根据作商法判断数列的单调性，结合一元二次不等式恒成立解答即可求解. 【详解】（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得， 而点在曲线上，即，解得， 为正三角形，且， 点在曲线上， ，整理得，解得， 所以，. （2）是正三角形，点，， 于是点在曲线上， 则，即，当时，， 两式相减得：， 整理得， 则，而满足上式，因此，， 即数列是首项为，公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）知 所以， 令 则， 所以，所以是递减数列， 所以， 所以使得不等式 一切正整数都成立， 则， 即， 因为正实数，所以. 题型10 数列中的结构不良问题 一、解答题 1．（23-24高三上·广东·阶段练习）在数列中，，，设，，．给定3个条件： ①数列为等差数列； ②数列为公比为正数的等比数列； ③数列的前项和，其中，为常数．在这3个条件中任选一个，并解决下列问题． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件建立方程组，选择①，求解等差数列基本量即可；选择②，求解等比数列基本量即可；选择③，利用已知求出待定系数即得. （2）利用分组求和法求和. 【详解】（1）若选择①，， 则等差数列的公差， 所以，所以 若选择②， 则等比数列的公比满足，又，故， 所以，． 若选择③，因为， 则，， 解得． 故， 当时； 又，符合上式， 所以． （2）由（1）知，所以，． 2．（22-23高二上·江苏南通·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 问题：已知等差数列的前n项和为，满足，且________， (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求满足的最大整数n的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，； (2)6. 【分析】（1）选择条件①②③，分别由数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求. （2）由等差数列的求和公式及裂项相消求和，再解不等式可得所求最大值. 【详解】（1）选①，，则，即， 于是等差数列的公差，由，得，解得， 所以的通项公式. 选②，，令等差数列的公差为，则， 于是，即，由，得，解得， 所以的通项公式. 选③，，则，即有， 两式相减得，显然， 于是，令等差数列的公差为，有，即， 由，得，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）得，， 因此， 由，得，解得， 所以最大整数的值为6. 3．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 已知数列的前项和为，，且满足______， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）若选①，可判断是首项为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；若选②，利用累加法可求出；若选③，可判断是首项为，公比为的等比数列，即可求出通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）解：若选①，因为， 当时，，两式相减得， 当时，，即， 又，所以，故也满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故； 若选②，因为， 当时， ，故， 也满足，故对任意的，； 若选③，因为，当时，， 两式相减可得，即， 当时，，所以，也满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故. （2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 所以，，所以，，即， 所以，， ， 上式下式可得 ，故. 题型11 数列新定义 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超级数列”．已知是首项为正数、公比为的等比数列，若为“超级数列”，则公比的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由推出，再由等比数列求和公式及通项公式得到，从而得到，结合指数函数的单调性，得到，即可得解. 【详解】等比数列首项，又因为数列为“超级数列”， 则有，所以， 又，，由， 即， 依题意，任意的，， 函数在单调递减，值域是， 因此，解得，所以. 故选：D 2．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 二、解答题 3．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）如果数列满足：且，则称为n阶“归化”数列. (1)若某3阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； (2)若某4阶“归化”数列是等比数列，写出该数列的各项； (3)若某11阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式. 【答案】(1)，， (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）成公差为的等差数列，显然，则，再由，求出，即可得解； （2）设成公比为的等比数列，显然，由求出，再求出，即可得解； （3）设公差为，根据等差数列求和公式得到，当，和，求出首项和公差，得到通项公式. 【详解】（1）设成公差为的等差数列，显然， 则由得，，， ，， 由得，解得， 数列，，为所求3阶“归化”数列. （2）设成公比为的等比数列，显然， 则由，得，解得， 由得，解得， 所以数列或为所求4阶“归化”； （3）设等差数列的公差为， 因为，所以，所以，即. 当时，此时， 与归化数列的条件相矛盾. 当时，由， 故，又， 联立解得， 所以； 当时，由，，同理解得， 所以. 综上，当时，； 当时，. 4．（23-24高二下·广东揭阳·期末）给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”. (1)已知数列为“指数型数列”，若，求； (2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由； (3)若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列. 【答案】(1)， (2)是，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据定义代入计算即可； （2）根据“指数型数列"的定义可做判断，证明时利用递推式推出数列是等比数列，求出，再结合定义即可证明； （3）由递推式可得，继而假设数列中存在三项构成等差数列，结合可推出矛盾，即可证明结论. 【详解】（1）因为数列是“指数型数列”，所以对于任意的， 都有.因为， 所以，. （2）数列是“指数型数列”. 证明:由，得，即， 所以数列是等比数列，且， 则， ， 所以数列是“指数型数列”. （3）因为数列是“指数型数列”，故对任意的， 有，则，所以， 适合该式. 假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设， 则由，得， 所以， 当为偶数且时，是偶数，而是奇数，是偶数， 故不能成立； 当为奇数且时，是偶数，而是偶数，是奇数， 故不能成立； 所以，对任意的，不能成立， 即数列中任意三项都不能构成等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是根据定义得，再对分奇偶数讨论，根据数论知识得到方程不成立. 5．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)20 (2)，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题设定义得出，，再计算的值； （2）当，时，猜想，利用数学归纳法证明即可； （3）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【详解】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差题目，了解之后再考虑提炼第二问的解决方法. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 数列11大压轴考法 题型1 等差数列中Sn的最值问题 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（    ） A． B． C． D．无最大值 2．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 3．（22-23高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 二、多选题 4．（23-24高三下·江西赣州·阶段练习）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 题型2 等差数列中an、Sn的性质及其应用 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 2．（24-25高二上·河南·期中）设等差数列和的前n项和分别为和，若，则（　　） A． B． C． D．2 3．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前和为，，则（   ） A． B． C．3 D． 4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（    ） A．4047 B．4046 C．2024 D．4048 5．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 6．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（    ） A．在中最大的数是 B．在中最大的数是 C．在中最大的数是 D．在中最大的数是 题型3 等比数列中an、Sn的性质及其应用 一、单选题 1．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 2．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 4．（2023·江西赣州·一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 5．（22-23高二上·陕西西安·开学考试）在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（   ） A． B．1012 C． D．1013 题型4 累加、累乘、构造法求数列通项公式 一、单选题 1．（2024·四川·模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为，则该数列的第18项为（    ） A．188 B．208 C．229 D．251 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型5 an与Sn的关系及递推公式的应用 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知等比数列满足，其前n项和.则（   ） A．数列的公比为p B．数列为递减数列 C． D．当取最小值时， 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，若，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河南开封·三模）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型6 数列求和 一、解答题 1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 题型7 等差数列中含绝对值问题 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 2．（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列满足，，设的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)求． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在数列中，，记，，，若对于任意，，，构成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型8 数列中的奇偶性问题 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高三上·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 三、解答题 5．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知数列满足，且. (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前30项的和. 6．（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 题型9 数列与不等式 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和为，，且． (1)求； (2)若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角△(为坐标原点)的边长为， (1)求的值； (2)记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； (3)是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型10 数列中的结构不良问题 一、解答题 1．（23-24高三上·广东·阶段练习）在数列中，，，设，，．给定3个条件： ①数列为等差数列； ②数列为公比为正数的等比数列； ③数列的前项和，其中，为常数．在这3个条件中任选一个，并解决下列问题． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（22-23高二上·江苏南通·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 问题：已知等差数列的前n项和为，满足，且________， (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求满足的最大整数n的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 已知数列的前项和为，，且满足______， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 题型11 数列新定义 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超级数列”．已知是首项为正数、公比为的等比数列，若为“超级数列”，则公比的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）如果数列满足：且，则称为n阶“归化”数列. (1)若某3阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； (2)若某4阶“归化”数列是等比数列，写出该数列的各项； (3)若某11阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式. 4．（23-24高二下·广东揭阳·期末）给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”. (1)已知数列为“指数型数列”，若，求； (2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由； (3)若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列. 5．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$