专题06 特殊三角形（考题猜想，易错必刷150题19种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（冀教版）

专题06 特殊三角形（易错必刷150题19种题型专项训练） 一、等腰三角形的定义（共5小题） 1．一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D． 2．如果一个等腰三角形的一个内角为，那么它的一个底角为 度． 3．已知，，是的三边长，且满足，判断此三角形的形状． 4．已知等腰三角形的周长是． (1)若其中一边长为，求另外两边的长； (2)若顶角是，求底角的度数． 5．解答： (1)在等腰中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，求等腰三角形的底边长． (2)已知在等腰中，的外角为，求的顶角度数． 二、应用等边对等角解决问题（共8小题） 6．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点恰好落到边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接…按此规律作下去，若，则（   ） A． B． C． D． 9．已知：如图，在中，是中线，且，试判断是什么形状，并说明理由． 10．如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，，． (1)说明的理由； (2)若，求的度数． 11．证明：等腰三角形两底角的平分线相等． 已知：在中，，和是的角平分线． 求证：______．（请根据题意将题目补充完整，并完成证明．） 12．以下是小林同学在自己的错题集中整理的一道错题． 题目：在中，，求证：． 图形 错误摘录： ， ， ， ， 即， ， ． 错因分析： 正确的证明： (1)请你帮他完成梳理，写出错误原因，并写出正确的证明过程． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 13．如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，其中一点到达终点，另一点随之停止运动．回答下列问题：    (1)经过后，此时__________，__________ （用含t的代数式表示）； (2)当t为多少秒时，是以为底的等腰三角形？ (3)当t为多少秒时，使得与全等？ 三、三线合一的应用（共8小题） 14．如图，等腰中，， ，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 15．如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，是的平分线，则 ． 17．如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 ． 18．如图，在中，，是中线，，是边上一点，，求的度数． 19．如图，在中，点、在边上，，．求证：． 20．在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 21．在中，，，于点，点是射线上一点，连接，过点作于点，且交直线于点． (1)如图，当点在线段上时，求证：． (2)如图，当点在线段上时，其它条件不变，猜想与之间的数量关系并证明． (3)如图，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 四、等腰三角形的证明（共8小题） 22．如图，在中，，，是边上的高，的平分线分别交，于点，，则图中的等腰三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 24．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的值为 ． 25．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 26．如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 27．如图，在中，，高，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 28．如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 29．如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E、D同时从点A出发，其中点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动，已知，设点D、E的运动时间为． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，直接写出t的值． 五、等腰三角数量的确定（共12小题） 30．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 31．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 32．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 33．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 34．已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 35．如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3   36．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 37．题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 38．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 39．如图，已知，点M，N在边上，，点P是边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好只有一个，则x的取值范围是 ． 40．如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是，网格中有一个格点三角形． (1)以直线为对称轴，在图中直接作出的轴对称图形． (2)在直线右侧，在外部，画出以为腰的一个等腰直角三角形． (3)计算的面积，并通过面积求出的长度． 41．（1）如图，已知，分别是上的点，且．与相等吗？为什么？    （2）如图，在中，平分，交于点垂直平分于点．试说明：．    （3）如图，在中，将三等分，点在上． ①求的度数； ②写出图中所有的等腰三角形．    六、等腰三角形的性质与判定（共10小题） 42．已知，如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 43．如图，在中，，将绕点A旋转得到，且点落在上，连接，则的度数为 ． 44．如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则∠FBC= °， °． 45．在等腰直角中，，，过点B作的垂线l．点P为直线上的一个动点（不与点A，B重合），将射线绕点P顺时针旋转交直线l于点D． (1)如图1，点P在线段上，依题意补全图形． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． (2)点P在线段的延长线上，直接写出线段，，之间的数量关系． 46．如图，在中，，；将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 47．在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点． (1)如图①，判断的形状并证明； (2)如图②，， ①补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系并证明． 48．如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、． (1)探究模型：求证：； (2)类比模型；如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积． (3)应用模型：如图3，中，，，将绕点顺时针旋转，得，连接，求的面积． 49．如图，已知和是等腰直角三角形，连接．点M、N分别在上，且过点B，垂直于，若． 求证： (1) (2)点N是的中点； (3)． 50．如图，在中，，（），为射线上一动点（不与点、重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (4)在点的运动过程中，当垂直于的某边时，则______（用含的代数式表示）． 51．【问题情境】 如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为 ．    【变式探究】 如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； 如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 七、等边三角形的性质（共8小题） 52．如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 53．如图，点C在上，作线段的同侧作等边和等边相交于点与交于点与交于点N，连接，下列结论：，其中正确的是（   ） A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 54．如图，点是射线上一个定点，点是射线上的一个动点，，以线段为边在右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（   ） ①；②； ③直线与射线所夹的锐角的度数不变； ④随点的移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 55．如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 56．在等边中，，点O在上，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点D恰好落在边上，则的长是 ． 57．已知：如图，点分别在等边三角形的边上，，与交于点．求证：中必有一个角为． 58．如图1，等边中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并证明你的判断； (3)如图2，将动点D运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是（2）中的结论是否成立？并说明理由． 59．已知：和都是等边三角形，连接，． (1)如图1，线段和的数量关系是：___________________，并就图1的情形证明你的结论； (2)如图2，点，，在同一条直线上，且是的中点． ①直接写出的度数是_____； ②与有怎样的位置关系，并给予证明． 八、等边三角形的判定（共8小题） 60．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 61．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 62．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 63．如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 64．如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 65．如图1，，，，．点P在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动．它们的运动时间为． (1)当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，当时，连接，请判断的形状并说明理由． 66．如图，在和中，，，． 求证： (1)； (2)若点E刚好落在线段上，且，则的形状为________． 67．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 九、30°锐角所对的直角边（共8小题） 68．如图，在中，，平分，于D．如果，，那么    A． B． C． D． 69．如图，已知，平分，点D是上一点，且，点C是上一动点，点P是上一动点，连接，则的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 70．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 71．如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 72．如图，已知：在中，，． (1)作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)求证：点是中点； (3)连接，求的度数． 73．如图，边长为的等边中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； (3)连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？ 74．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)证明是等边三角形； (3)若的长为2，求的边长． 十、直角三角形斜边上的中线（共7小题） 75．如图，在三角形部件中，，为边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 76．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 77．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是 ． 78．如图1，在中，，M为中点将沿翻折，得到（如图2），P为上一点，再将沿翻折，使得D与B重合（如图3），给出下列四个命题：①；②；③；④．其中说法正确的是 ． 79．如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小． 80．如图，已知中，，E是的中点，垂直平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 81．已知：如图，在四边形中，，点E是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当__________°时，是等边三角形． (3)当时，若，取中点F，求的长． 十一、用勾股定理理解三角形（共5小题） 82．已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 83．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（   ） A． B． C． D． 84．如图，是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，于点C，若，则一根小木棒的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 85．如图，在中，，，，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 86．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 十二、勾股数（数）问题（共8小题） 87．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13 88．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②．如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了10次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（   ） A．11 B．55 C．66 D． 89．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为 90．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 91．如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数．小明根据自己探究勾股数的过程，列成下表： a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 (1)小明发现：，，，请你根据小明发现的规律写出下一组勾股数：__________； (2)若用（为整数，且）表示，那么、用含的代数式分别表示为__________和_____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 92．课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为（），斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、 、 ； (2)当（为奇数，且）时，若 ， 时可以构造出勾股数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时， ． 93．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 94．我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一、古人将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 请运用“勾股定理”解决下列问题． (1)如图1，直角三角形的两条直角边分别是9厘米和12厘米，则这个直角三角形的斜边长___________厘米． (2)如图2，分别以直角三角形的边为边长作正方形，则___________，___________．根据勾股定理可知，，所以___________=___________． (3)如图3，圆柱的高为4厘米、底面半径为1厘米．在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3） 下面是小林的思考过程，请你帮他补充完整． ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小林认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 十三、勾股定理与网格图（共6小题） 95．如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 96．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； (3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 97．如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积； (3)在直线上找一点，则的最小值为______． 98．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．按要求完成下列问题，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． (1)在图①中画出一个格点，使是等腰三角形，且面积为3． (2)在图②中画出一个格点，使是以为腰的等腰直角三角形． (3)在图③中画出一个格点，使是等腰直角三角形，且面积为2.5． 99．小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1） 【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点） 【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长． 【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形． ． 100．【背景介绍】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______； （2）在中，，于点D．设，，． ①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：______； ②用含a，b的代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小； 【知识迁移】 （3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 2024年11月27日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 十四、勾股定理逆定理及其应用（共10小题） 101．已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 102．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 103．在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 104．如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 105．如图，△ABC中，，，边上的中线． (1)与互相垂直吗？为什么？ (2)求的长． 106．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 7．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．    (1)求边的长； (2)求这块空地的面积． 108．如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 109．如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 110．在中，．如图1，若时，根据勾股定理有． (1)如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； (2)如图3，当为纯角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； (3)如图4，一块四边形的试验田，已知米，米，米，米，求这块试验田的面积． 十五、勾股定理与折叠问题（共7小题） 111．如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为 ． 112．如图，折叠，使直角边落在斜边上，点落到点处，已知，，则的长为 ． 113．如图，在中，，，，D是边上的一点（不与点B，C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处．当是直角三角形时，的长为 ． 114．如图，在中，，，，为边上一点，连接．将沿折叠得到，交于点．若，则的长为 ． 115．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 116．如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 117．如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 十六、勾股定理的证明（共8小题） 118．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 119．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 120．“赵爽弦图”是三国时期吴国数学家赵爽设计的组合图形，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的正方形 (1)如图1“赵爽弦图”中，四个完全相同的直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，请你借助该图、证明勾股定理； (2)一个零件的形状如图2，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 121．材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 122．【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 123．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 124．著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 125．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则： ①______． ②b与c的关系为______，a与d的关系为______． 十七、勾股定理的实际应用问题（共11小题） 126．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 127．如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．8米 B．10米 C．12米 D．16米 128．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 129．2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 130．在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 131．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度， 他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高米． (1)求风筝的高度． (2)过点作，垂足为，求的长度． 132．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 133．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 134．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 135．如图，公路和公路在点P处交汇，且．点A处有一所中学，，一辆行驶速度为的拖拉机从P沿公路前行． (1)假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响，则拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离是多少？ (2)该学校受影响的时间为多少？ 136．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 十八、用HL证明三角形全等（共8小题） 137．如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 38．如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 39．如图，在中，，且于点，是的延长线上一动点，是上的一动点（不与、重合），若，求证：． 40．如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 41．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 42．如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 43．如图，在中，，点E是延长线上一点，D为下方一点，连接，过点D作交于点F，且． (1)求证：； (2)连接交于点G，若，求的长． 44．如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 十九、反证法（共8小题） 145．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 146．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（　　） A．三角形中最少有一个角是直角或钝角 B．三角形中没有一个角是直角或钝角 C．三角形中三个角全是直角或钝角 D．三角形中有两个或三个角是直角或钝角 147．用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（    ） A． B． C． D． 148．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 149．用反证法证明命题：“如果，是整数，且能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，应假设 ． 150．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 试卷第2页，共113页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！48 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 特殊三角形（易错必刷150题19种题型专项训练） 一、等腰三角形的定义（共5小题） 1．一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，能构成三角形，此时周长为； ②为底，为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． ∴该三角形的周长是． 故选：A． 2．如果一个等腰三角形的一个内角为，那么它的一个底角为 度． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当顶角为时；当底角为时；由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当顶角为时，两个底角相等， ∴它的一个底角为：； 当底角为时，另一个底角也是， ∴顶角为，符合题意； ∴底角的度数为：或， 故答案为：或 ． 3．已知，，是的三边长，且满足，判断此三角形的形状． 【答案】等腰三角形 【分析】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 即， 故为等腰三角形 4．已知等腰三角形的周长是． (1)若其中一边长为，求另外两边的长； (2)若顶角是，求底角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分等腰三角形的腰长为与等腰三角形的底边长为两种情况，分析求解即可； （2）根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）当等腰三角形的腰长为时， 底边长， ∵ ∴以长线段为腰，不能构成周长为的等腰三角形； 当等腰三角形的底边长为时， 腰长， ∵， ∴能构成三角形， ∴等腰三角形的另两边长分别为； （2）根据题意得，底角度数 ． 5．解答： (1)在等腰中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，求等腰三角形的底边长． (2)已知在等腰中，的外角为，求的顶角度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知等腰三角形的周长是，设等腰三角形的腰长、底边长分别为、，由题意可得或，解方程组即可求得等腰三角形的底边长； （2）由邻补角互补可得，然后分两种情况讨论：是顶角时，是底角时，分别求解即可． 【详解】（1）解：一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分， 等腰三角形的周长是：， 设等腰三角形的腰长、底边长分别为、， 由题意可得： 或， 解得：或（不合题意，故舍去）， 等腰三角形的底边长为； （2）解：的外角为， ， 分两种情况讨论： 是顶角时， 此时，的顶角度数是； 是底角时， 此时，的顶角度数是： ； 综上，的顶角度数是或． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，构成三角形的条件，利用邻补角求角度，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 二、应用等边对等角解决问题（共8小题） 6．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点恰好落到边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，求得和的度数是解题的关键． 依据旋转的性质可求得，的度数，依据等边对等角的性质可得到，进而即可解答． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接…按此规律作下去，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律．根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】解：，， ， 同理， ， ， ， ， 故选：B． 9．已知：如图，在中，是中线，且，试判断是什么形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查直角三角形的判定，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题关键主要利用中线定义和等边对等角的性质解答．根据“是的中线，且”求出，再根据等腰三角形的性质得，．再根据三角形内角和定理可得，即可得结论． 【详解】解：是直角三角形． 证明：如图， ，， ． ，． 又． ， 即 是直角三角形． 10．如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，，． (1)说明的理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）根据可证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）由全等三角形的性质得，从而，然后格努等腰三角形的性质求出，进而可求出的度数． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：因为 所以， 所以 因为 所以 所以． 11．证明：等腰三角形两底角的平分线相等． 已知：在中，，和是的角平分线． 求证：______．（请根据题意将题目补充完整，并完成证明．） 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再根据可证，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】已知：在中，，和是的角平分线． 求证：． 证明：∵， ∴， ∵和是的角平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．以下是小林同学在自己的错题集中整理的一道错题． 题目：在中，，求证：． 图形 错误摘录： ， ， ， ， 即， ， ． 错因分析： 正确的证明： (1)请你帮他完成梳理，写出错误原因，并写出正确的证明过程． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)原因见解析，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，垂直平分线的判定． （1）根据三角形全等的判定定理即可解答；先由得，结合和，即可通过证明，即可作答； （2）根据垂直平分线的判定定理证明垂直平分，即可得出结论． 【详解】（1）解：错因分析：不是，的夹角，不是，的夹角， 不能通过证明； 正确的证明： ， ． ，， ． （2）解： 理由如下： ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分 ． 13．如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，其中一点到达终点，另一点随之停止运动．回答下列问题：    (1)经过后，此时__________，__________ （用含t的代数式表示）； (2)当t为多少秒时，是以为底的等腰三角形？ (3)当t为多少秒时，使得与全等？ 【答案】(1)， (2)1 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据路程=速度×时间求解即可； （2）根据构建方程求解即可； （3）根据等边对等角得出，要使得与全等，则有两种情况：①；② ，然后根据全等三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故答案为：，； （2）解：根据题意，得， 解得， 即当t为1秒时，是以为底的等腰三角形； （3）解：∵，点D为的中点， ∴，， 要使得与全等，则有两种情况：①；② ， ①当时，，， ∴，， 解得，符合题意； ②当时，，， ∴，， 解得，，不符合题意，舍去， 综上，当t为2秒时，使得与全等． 三、三线合一的应用（共8小题） 14．如图，等腰中，， ，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】证明，得出，，可判定①②正确；证明点在线段的垂直平分线上，得出垂直平分BC，判定④正确；延长交于点，根据等腰三角形的性质得到，根据余角性质得出，可判定③正确，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故正确； 延长交于点，如图所示， ∵，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 综上可知，正确的结论有个， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，余角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 15．如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，垂线段最短等知识，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，过点作交于点，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得的最小值为的长，即可获得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， ∴点关于对称， 过点作交于点，连接，如图， ∴， 根据是上的动点，是边上的动点，要使取最小值，只需满足三点共线，由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，可得的最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：． 16．如图，在中，，，是的平分线，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三线合一，根据等腰三角形三线合一，即可得出结果． 【详解】解：，的平分线交边于点，， ． 故答案为：5 17．如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，由题意得的周长，根据点C在的垂直平分线上得，即可求解； 【详解】解：∵平分， ∴， ∴的周长， ∴， ∵点C在的垂直平分线上． ∴， ∴， 故答案为： 18．如图，在中，，是中线，，是边上一点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得出，从而可求出的度数． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，点、在边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作于点，由等腰三角形的性质可得，再求出，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：作于点， ， ， ， ，即， ， ． 20．在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，然后利用证明，得，由等腰三角形的性质得，得，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，，则，再由直角三角形的性质得的度数． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21．在中，，，于点，点是射线上一点，连接，过点作于点，且交直线于点． (1)如图，当点在线段上时，求证：． (2)如图，当点在线段上时，其它条件不变，猜想与之间的数量关系并证明． (3)如图，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，再根据证明即可得出结论； （）同理（）证明，即可得出结论； （）同理（）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：． 证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：． 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 即， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 四、等腰三角形的证明（共8小题） 22．如图，在中，，，是边上的高，的平分线分别交，于点，，则图中的等腰三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、根据在中，，利用三角形内角和定理求得，然后可得等腰三角形． 【详解】解：∵是高， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵是平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即是等腰三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形， ∴等腰三角形有，，； 故答案为：3． 23．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（  ） A．4 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 24．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，平行线的性质： ①由角平分线得到，由三角形的内角和定理得到，再对运用内角和定理即可求解； ②根据题意证明，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：①和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：13． 25．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 26．如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形判定，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明是等腰三角形， （2）同理可得，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 27．如图，在中，，高，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的关键是证明． （1）先由已知得到，即可证明，即可求得； （2）由（1）得，，从而，再利用线段的和差即可得解． 【详解】（1）证明：∵高，交于点， ∴，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵，， ∴，，， ， 在和中， ， ， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 28．如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，进一步推得，根据全等三角形的判定，即得答案； （2）证明，即可进一步证明，再根据等腰三角形的判定，即可证得答案． 【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ，， ， ， ； （2）猜想: ． 证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ， ． 29．如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E、D同时从点A出发，其中点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动，已知，设点D、E的运动时间为． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，直接写出t的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或4 (3)2或6 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，熟练掌握是解题的关键． （1）根据垂直定义和角平分线的定义得，根据垂直定义得，得，即得； （2）作于H，于G．由角平分线性质得，根据，，，得，得，解得；当点E运动到延长线上时，，同法可得． （3）根据，，得，当点D在上，点E在上时，，解得，当点D在延长线上，点E运动到延长线上时，，解得． 【详解】（1）解：如图1中，∵， ∴， ∵AB平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰直角三角形； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵AB平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上时， ， 同法可得， ∴当或时，满足． 故t值为或4； （3）解：∵，， ∴， 当点D在上，点E在上时， ， ∴， 当点D在延长线上，点E运动到延长线上时， ， ∴， 综上所述，满足的时间为或， 故t值为2或6． 五、等腰三角数量的确定（共12小题） 30．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定， 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 一共有8个点. 故选：C． 31．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 32．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 33．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 34．已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的存在形问题，根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 作的中垂线，得到为等腰三角形，即，以为边的等腰三角形有4个， 同理：以为边的等腰三角形也有4个； 故总共有8个等腰三角形； 故选B． 35．如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    36．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，分别以、为圆心，以的长为半径作圆与相交，再作的垂直平分线与相交，交点即为所求的点． 【详解】解：如图，满足条件的点有3个． 故选：A． 37．题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可． 【详解】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个， 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； ∴，，满足题意；   当时，存在满足条件的点只有一个； ∴；   当，存在满足条件的点只有个； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，存在满足条件的有三个点； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，不存在满足条件的点， ∴甲、丙答案合在一起才完整， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形． 38．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 39．如图，已知，点M，N在边上，，点P是边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好只有一个，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可． 【详解】解：①如图1，当时，即，以M为圆心，以2为半径的圆交于点P，此时， 则点P，M，N构成的等腰三角形的点P恰好只有一个． ②如图2．当时，即，过点M作于点P， ∴． ∴， 作的垂直平分线交于点P，则． 此时，以点P，M，N构成的等腰三角形的点恰好有2个． 则当时，以P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个． 综上，当或时，以P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个． 故答案为：或 40．如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是，网格中有一个格点三角形． (1)以直线为对称轴，在图中直接作出的轴对称图形． (2)在直线右侧，在外部，画出以为腰的一个等腰直角三角形． (3)计算的面积，并通过面积求出的长度． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析（答案不唯一） (3) 【分析】（）根据轴对称图形的性质作图即可； （）根据网格作出等腰直角三角形即可； （）先利用割补法求出的面积，再根据三角形面积公式求出即可； 本题考查了作轴对称图形，作等腰直角三角形，三角形的面积，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的面积， ∴， ∴． 41．（1）如图，已知，分别是上的点，且．与相等吗？为什么？    （2）如图，在中，平分，交于点垂直平分于点．试说明：．    （3）如图，在中，将三等分，点在上． ①求的度数； ②写出图中所有的等腰三角形．    【答案】（1）与相等，理由见解析  （2）见解析  （3）①  ②, , , , , 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定； （1）根据全等三角形的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到即可得出结论； （3）①根据已知条件和三角形的内角和得到， ， ， 由于将三等分， 于是求得，然后计算解题； ②根据外角的性质和三角形的内角和得到， 于是得到结论． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明： ∵垂直平分， ， ， ， ∵平分 ， ， ， 即； （3）解：①∵，， ∴， ， ， ∵， 将三等分， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 是等腰三角形． 六、等腰三角形的性质与判定（共10小题） 42．已知，如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 先证，可得，，可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得，，可得④正确． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②∵为的角平分线，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵，，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线，，而不垂直于， ∴， 故结论③错误； ④由③知， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：B． 43．如图，在中，，将绕点A旋转得到，且点落在上，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先在中利用三角形的内角和定理求出，再根据旋转的性质得到是等腰三角形，从而求出，最后利用即可得出结果． 【详解】解：， ， 、为对应点，点A为旋转中心， ，即是等腰三角形， 由旋转的性质得，， ， ． 故答案为：． 44．如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则∠FBC= °， °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识；根据等腰直角三角形的性质可得，由折叠可得，由平分，可得，推出，证明，得到，根据等腰三角形的性质即可求解； 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， 由折叠可得：， ， 平分， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：45，； 45．在等腰直角中，，，过点B作的垂线l．点P为直线上的一个动点（不与点A，B重合），将射线绕点P顺时针旋转交直线l于点D． (1)如图1，点P在线段上，依题意补全图形． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． (2)点P在线段的延长线上，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析，②，见解析 (2)，见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）①根据题意补全图形，由直角三角形的性质可得出答案； ②过点P作交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）过点P作交于点M，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：①补全图形如图1， 证明：如图1，设与的交点为点E， 根据题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②． 证明：如图2，过点P作交于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在等腰直角中，， 又， ∴； （2）解： 证明：如图3，过点P作交于点M， 由（1）可知， ∴， ∴，， 同（1）可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 46．如图，在中，，；将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，，，从而得到，再证明，即可得出结论； （2）由（1）知，，，证明是等腰三角形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴的度数为． 47．在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点． (1)如图①，判断的形状并证明； (2)如图②，， ①补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2)①补全图形见解析，②，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键． (1)利用等腰三角形三线合一的性质和三角形外角的性质可推导出，即可得到是等腰三角形． (2) ①根据题意补全图形即可； ②过点E作于点H，利用已知条件和等腰三角形的性质可得到，，．继而可证得，即可推导出，所以． 【详解】（1）解：的形状等腰三角形．证明如下： ∵，是边的中线， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． （2）①补全图形，如图． ②之间的数量关系是． 证明：过点E作于点H． ∵，是边的中线，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， ∴． ∵由（1）知：， ∴． 48．如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、． (1)探究模型：求证：； (2)类比模型；如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积． (3)应用模型：如图3，中，，，将绕点顺时针旋转，得，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)9 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）过作于，构造全等三角形解决问题即可； （3）过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，证明即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 又， （2）在中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，如图，过作于，则， ，， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则， ，， ， 由旋转得，，， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，“三垂”模型等知识，掌握相关知识是解题的关键． 49．如图，已知和是等腰直角三角形，连接．点M、N分别在上，且过点B，垂直于，若． 求证： (1) (2)点N是的中点； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，再由各角之间的等量代换确定，利用全等三角形的判定证明即可； （2）由（1），同理可证，得出，利用（1）中性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）根据全等三角形的性质结合图形找出相应三角形的面积进行等量代换即可． 【详解】（1）证明：∵和是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵垂直于， ∴， 由（1），同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点N是的中点； （3）由（2）得，，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 50．如图，在中，，（），为射线上一动点（不与点、重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (4)在点的运动过程中，当垂直于的某边时，则______（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 (4)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解； （2）由得，利用SAS即可得出结论； （3）由（2）知，根据全等三角形的性质得，，则，易得为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，最后由平行线的判定求解； （4）分两种情形：当时，当时，利用全等三角形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴ ， ∴． ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （3）解： ． 理由如下： 由（2）知， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，当时． ∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图，当时． ∵， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 51．【问题情境】 如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为 ．    【变式探究】 如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； 如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 【答案】； 详见解析； ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，外角的性质，解决本题的关键是添加辅助线构造三角形全等． 利用证明，根据全等三角形对应边相等可得； 利用证明，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； 在上截取，构造，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可求，根据等腰三角形的性质可得，从而可求的度数． 【详解】解：， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； 证明：是的外角， ， 又，， ， 又，， ， 在和中， ， ； 解：如下图所示，在上截取， ， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， ． 七、等边三角形的性质（共8小题） 52．如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 根据题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵边的边长为4，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 53．如图，点C在上，作线段的同侧作等边和等边相交于点与交于点与交于点N，连接，下列结论：，其中正确的是（   ） A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】证明即可证明①正确；证明全等，即可证明②正确，从而证明④正确；根据三角形外角的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：等边和等边， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 为等边三角形， ， ，故④正确； ， ， ， ， ， ，故③正确． 综上所述，①②③④正确． 故选B． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 54．如图，点是射线上一个定点，点是射线上的一个动点，，以线段为边在右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（   ） ①；②； ③直线与射线所夹的锐角的度数不变； ④随点的移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”证明，可判断①正确；由，，得，可判断②正确；延长交轴于点，由三角形外角的性质可判断③正确；由全等三角形的性质可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵， ∴，故②正确； 延长交轴于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与轴的夹角恒为，故③正确； ∵点是轴上一个定点， ∴的长为定值， ∵， ∴， ∴的长为定值， ∴随点的移动，线段的值不变，故④错误， 故选：B． 55．如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质可得出，由可得出为等腰直角三角形，进而可得出及，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数即可得出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 56．在等边中，，点O在上，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点D恰好落在边上，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定． 先利用旋转的性质得，再根据平角的定义得到，接着根据等边三角形的性质得，所以，于是得到，则可利用“”判断，所以． 【详解】解：如图， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在边上， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ， ， ， 在和中 ， ∴， ， 而， ， 故答案为：6． 57．已知：如图，点分别在等边三角形的边上，，与交于点．求证：中必有一个角为． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 证明，则，，进而结论得证． 【详解】证明：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴中必有一个角为． 58．如图1，等边中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并证明你的判断； (3)如图2，将动点D运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是（2）中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，，根据证明即可得证； （2）由全等三角形的性质结合题意可得，即可得证； （3）仿照（1）、（2）的证明方法解答即可． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ，，． 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ． 又， ． ． （3）解：仍有成立． 证明：，为等边三角形， ，，． ，即． 在和中， ， ． ． 又， ． ． 59．已知：和都是等边三角形，连接，． (1)如图1，线段和的数量关系是：___________________，并就图1的情形证明你的结论； (2)如图2，点，，在同一条直线上，且是的中点． ①直接写出的度数是_____； ②与有怎样的位置关系，并给予证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）①由是的中点，可得，再由等边三角形的性质可得，可得，从而得出，最后由全等三角形的性质可得； ②先证得点E在的垂直平分线上，再证得点B在的垂直平分线上，最后由线段垂直平分线的判定可得结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 均为等边三角形， ， 即， 在和中， 故答案为：； （2）解：①是的中点， ， 为等边三角形， ， ， ， 由（1）得， ， 故答案为：； ②，理由如下： 由（1）得 ， ， ， 点E在的垂直平分线上， 为等边三角形， ， 点B在的垂直平分线上， 垂直平分， 即 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 八、等边三角形的判定（共8小题） 60．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可． 【详解】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 61．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 62．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 63．如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由等边三角形的性质可得，再结合可得，易证可得，再根据等边三角形的性质可得，即；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵交于点，是等边三角形， ∴，即 ∴四边形的周长为 ． 64．如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定； （1）证明即可得到； （2）由得到，当点E在的延长线上时，即可证明，得到，，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形判定即可． 【详解】（1）证明：∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：当点E在的延长线上时， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 65．如图1，，，，．点P在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动．它们的运动时间为． (1)当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，当时，连接，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）当时，则，，由此可依据“”判定；则，再根据得，进而得，据此可得线段和线段的位置关系； （2）先证明得到，，再根据，得到，进而得，即可判定为等边三角形． 【详解】（1）解：，，理由如下： 若点的运动速度与点的运动速度相等， 当时，， ， ， ， ， 又，， ， 在和中， ， ； ， ， ， ， ， ； （2）解：为等边三角形，理由如下： 连接， 若点的运动速度与点的运动速度相等， ， ∵， ； ，， ， ， ， ， ∴为等边三角形． 66．如图，在和中，，，． 求证： (1)； (2)若点E刚好落在线段上，且，则的形状为________． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由推导出，而，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，而，所以是等边三角形，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 67．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 九、30°锐角所对的直角边（共8小题） 68．如图，在中，，平分，于D．如果，，那么    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 线根据角平分线的性质，得到，再利用含的直角三角形三边关系计算出，从而得到的长． 【详解】解：， 平分，， ， 在中， ， ， ． 故选B． 69．如图，已知，平分，点D是上一点，且，点C是上一动点，点P是上一动点，连接，则的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质．作垂足为，推出的最小值是的长，在中，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接，由轴对称的性质得， 作垂足为， ∴， ∴的最小值是的长， 在中，，， ∴，即的最小值是10． 故选：B． 70．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和三角形外角的性质，理解并掌握以上知识是解答本题的关键． （1）本题要先得到，再根据全等三角形的性质即可得到． （2）根据（1）中，得到，再根据三角形外角的性质和等边三角形每个内角是，得到，即可求解得到的长． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，． ∴在和中， ， ∴． ∴． （2）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 71．如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵在中，是高，点是边的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． 72．如图，已知：在中，，． (1)作的平分线，交于点，作的垂直平分线，分别交、于点、．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)求证：点是中点； (3)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先求出，则由直角三角形的性质得到，再证明，则，进而得到，则，即E是中点． （3）证明，又，连接，由等腰三角形的性质可知，又，从而求得 【详解】（1）如图所示， 即为所求； （2）∵在中，， ∵垂直平分， 即是的中点 （3）平分， ， 又， 连接， 则， 即 73．如图，边长为的等边中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； (3)连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？ 【答案】(1)证明见解析； (2)的大小是不发生变化，理由见解析； (3)当第秒或第秒时，为直角三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形的性质得出，，然后由即可求证； （）由可得，由外角的性质可求； （）分两种情况当时，当时讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， （2）解：的大小是不发生变化，理由， 由（）知：， ∴， ∴； （3）解：设时间为，则，, 当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 74．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)证明是等边三角形； (3)若的长为2，求的边长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形，理解等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形是解决问题的关键． （1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据即可得出的度数； （2）根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，再根据等腰三角形性质得，则，由此可得出结论； （3）在中，根据得，则，再由(2)的结论得，由此可得出的长． 【详解】（1）解：在中，，， ． 在中，， ． （2）证明：的垂直平分线交于，交于， ，， ， ， 在中，，，是边上的中线， ． ． ∴是等边三角形． （3）在中，，， ． ． 由（2）可知：是等边三角形， ． ． 十、直角三角形斜边上的中线（共7小题） 75．如图，在三角形部件中，，为边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，根据，为边的中点，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，，为边的中点， ∴是的中线， ∴ 故选：C 76．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 77．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】连接，如图所示，证得是线段的垂直平分线，得到，则有，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，从而，结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，从而得到的度数． 【详解】解：连接，如图所示： 于点，且， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，是边上的中线， ， ， 是的一个外角， ， 设，则， 在中，，根据三角形内角和定理可得， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中求角度问题，涉及垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、外角性质及三角形内角和定理等知识，根据题意准确作出辅助线，并灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键． 78．如图1，在中，，M为中点将沿翻折，得到（如图2），P为上一点，再将沿翻折，使得D与B重合（如图3），给出下列四个命题：①；②；③；④．其中说法正确的是 ． 【答案】①④ 【分析】根据折叠的性质得到，，等量代换得到，求得；故①正确；假设，根据全等三角形的性质得到，由直角三角形的性质得到，于是得到与不一定全等；故②错误；假设，得到由直角三角形的性质得到，得到，推出不一定等于，得到不一定垂直于；故③错误；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据三角形的内角和得到，故④正确． 【详解】解：∵将沿翻折，得到， ∴， ∵再将沿翻折，使得与重合， ∴， ∴， ∴；故①正确； 假设，， ∵在中，，为中点， ∴， ∴， ∴，而不一定等于， ∴与不一定全等；故②错误； 假设，则， ∵在中，，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而不一定等于， ∴不一定垂直于；故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握直角三角形的性质、全等三角形的判定定理、翻转变换的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 79．如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据，，和是直角三角形，再根据为的中点，由直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出； （2）根据，可得，，由，，由三角形内角和即可求得的度数． 【详解】（1）证明：，， 和均是直角三角形， 为的中点， ，， ； （2）解：， ，， ，， ，， ， 的度数为． 80．如图，已知中，，E是的中点，垂直平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查斜边上的中线，中垂线的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键： （1）根据斜边上的中线得到，中垂线的性质，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 81．已知：如图，在四边形中，，点E是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当__________°时，是等边三角形． (3)当时，若，取中点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)150 (3) 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到； （2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，由得到，，继而，即可证明等边三角形； （3）由，，则，由上可知，而为中点，故． 【详解】（1）证明：，点是边的中点， ，， ， 是等腰三角形； （2）解：当时，是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形， 故答案为：150； （3）解：如图： 由（2）可知，， ∵， ∴， 由上可知， ∵为中点 ∴． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出是解题关键． 十一、用勾股定理理解三角形（共5小题） 82．已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵一个直角三角形两直角边长分别为3和4， ∴这个直角三角形的斜边长． 故选：A． 83．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据勾股定理求出点到原点距离，再根据点在原点左侧，即可求解． 【详解】解：点到原点的距离， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故选：B ． 84．如图，是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，于点C，若，则一根小木棒的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作，垂足分别为G、H，证明，得，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：作，垂足分别为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：A． 85．如图，在中，，，，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决． 过点A作，垂足为D．在中和中，分别用表示出、，根据的长求出，再求三角形的面积． 【详解】如图，过点A作，垂足为D．    在中，， ∴ ∴． 在中，， ∴ ∴ ∵， ∴， 即 ∴． 故选：A． 86．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质得到的长，再判定是斜边边上的中线，得到的长，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴是直角三角形，且． ∵是边上的中线， ∴是斜边边上的中线， ∴， ∴． ∴． 故答案为：6． 十二、勾股数（数）问题（共8小题） 87．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，，不是正整数，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 88．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②．如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了10次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（   ） A．11 B．55 C．66 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得， “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和为11， 故选：A． 89．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为 【答案】30 【分析】根据正方形的面积公式，且结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：30． 90．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【答案】 8 5 13 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 91．如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数．小明根据自己探究勾股数的过程，列成下表： a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 (1)小明发现：，，，请你根据小明发现的规律写出下一组勾股数：__________； (2)若用（为整数，且）表示，那么、用含的代数式分别表示为__________和_____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 【答案】(1)24，10，26 (2)，，证明见解析 【分析】本题考查勾股数，找数字的规律． （1）观察各行勾股数的规律，即可解答； （2）根据（1）中的规律即可得到表示a，c的代数式，并证明即可解答． 【详解】（1）解：∵第一行：，，， 第二行：，，， 第三行：，，， ∴第四行：，，， 即下一组勾股数是：24，10，26； 故答案为：24，10，26 （2）解：∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，是一组勾股数． 故答案为：， 92．课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为（），斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、 、 ； (2)当（为奇数，且）时，若 ， 时可以构造出勾股数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时， ． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)或或 【分析】（）观察勾股数，找出规律即可求解； （）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一，据此可得，然后计算验证即可； （）由勾股定理可得，再根据勾股定理可得，然后根据列举法即可解答； 本题考查了勾股数，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴为奇数，且时，勾股数为、、， ∴、、， 故答案为：、； （2）解：观察发现，当(为奇数，且)时，股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一， ∴当，时可以构造出勾股数， 证明：∵，， ∴， ∵为奇数，且， ∴、、是正整数， ∴、、三个数组成的数是勾股数； （3）解：由勾股定理可得， 当时，则有， 即， 当时，解得，， ∵， ∴该种情况不合题意，舍去； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 93．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 94．我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一、古人将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 请运用“勾股定理”解决下列问题． (1)如图1，直角三角形的两条直角边分别是9厘米和12厘米，则这个直角三角形的斜边长___________厘米． (2)如图2，分别以直角三角形的边为边长作正方形，则___________，___________．根据勾股定理可知，，所以___________=___________． (3)如图3，圆柱的高为4厘米、底面半径为1厘米．在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3） 下面是小林的思考过程，请你帮他补充完整． ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小林认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【答案】(1)15 (2)；；， (3)①见解析，②5厘米 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及勾股定理的应用，平面展开最短路径问题，关键是把立体图形能够展成平面图形求解． （1）根据勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理，易得； （3）①圆柱的平面展开图上面长的中点即为B点，连接； ②利用勾股定理可求出的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程． 【详解】（1）解：， ∴斜边为：厘米； 故答案为：15； （2）解：， ， ； 故答案为：；；，； （3）解：①如图，B点长方形上面长的中点，连接， ②圆柱高厘米，底面半径厘米， （厘米）， 故（厘米）， 答：蚂蚁爬行的最短路程是5厘米． 十三、勾股定理与网格图（共6小题） 95．如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的性质，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：如图，为边上的高， ， ，， ， 解得：． 故选：B． 96．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； (3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的性质，利用勾股定理求两点间距离． （1）利用勾股定理求解即可； （2）作一个直角边分别为3和4的直角三角形即可； （3）在的延长线上取格点E，使，连接，取的中点D，连接，即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：5； （2）解：如图，等腰即为所求(答案不唯一) （3）解：如图，即为所求． 97．如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积； (3)在直线上找一点，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质即可作出； （2）根据网格即可求的面积； （3）连接交直线于点P，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为． （3）解：连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值． 由勾股定理得，， 的最小值为． 故答案为：． 98．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．按要求完成下列问题，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． (1)在图①中画出一个格点，使是等腰三角形，且面积为3． (2)在图②中画出一个格点，使是以为腰的等腰直角三角形． (3)在图③中画出一个格点，使是等腰直角三角形，且面积为2.5． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，熟练掌握三角形面积公式、勾股定理、等腰三角形的定义是解题关键． （1）取格点，连接，结合，可知该三角形为等腰三角形，且，即可获得答案； （2）取格点，连接，结合，，可知该三角形为等腰直角三角形，即可获得答案； （3）取格点，连接，结合，，可知该三角形为等腰直角三角形，且，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如下图，即为所求； （3）如下图，即为所求． 99．小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1） 【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点） 【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长． 【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形． 【答案】（1），；（2）图见解析，边长为；（3）见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握勾股定理及正方形的面积公式是解题的关键． （1）线段为底，高为1的三角形，利用勾股定理即可求得另外两边长； （2）拼图：以图（2）①中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图（2）②； （3）将两个正方形分割为1个边长为的正方形和4个两直角边分别为a和b的直角三角形即可． 【详解】解：（1）如图，即为所作， ，，， 故答案为：，； （2）拼成的大正方形的面积是5，边长为； 剪切示意图如图（2）①：拼图如图（2）②所示： （3）拼成的大正方形的面积是，边长为； 剪切线如图（3）所示；拼成的图形如图（4）所示： ． 100．【背景介绍】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______； （2）在中，，于点D．设，，． ①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：______； ②用含a，b的代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小； 【知识迁移】 （3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】 （1）（2）①；②中线长为，高线长为，（3）40米 【分析】本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用，解答中涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的运算等．由勾股定理延伸得到结论，并对其进行应用是解决本题的关键． （1）先用割补法求出的面积，再用底×高表示面积，根据双求法列式，即可求出边上的高； （2）①在中，利用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，根据“双求法”列式，化简即可得到关于a，b，m的关系式； ②根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可用含a，b的代数式表示的斜边上的中线，根据①的结论可用含a，b的代数式表示与高线，再根据的变形，即可得到结论； （3）设与墙平行的边长x米，垂直于墙的边长y米，可得所有虚线的和为，根据（2）中得到的结论，可得，整理可得所有虚线和的最小值． 【详解】解：（1）如图，作边上的高， ∵， ， ， ∴， 解得， 故答案为：； （2）①如图， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵斜边长为， ∴斜边上的中线长为，高线长为， ∵， ∴， ∴； 故大小关系为：； （3）设大长方形的长为x米，宽为y米，则小栅栏的总长度为平方米，（平方米）， ∵， ∴， ∴， 答：小栅栏的总长度最少为40米． 2024年11月27日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 十四、勾股定理逆定理及其应用（共10小题） 101．已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键． 利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴可设，∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 102．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 103．在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 104．如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【答案】12 【分析】本题考查了关于三角形面积计算的题，由是边上的中线可得到，结合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点A作，垂足为E，在中求出的长，即得高，即可求出面积． 【详解】解：是边上的中线 是直角三角形且 过A作，垂足为E， 如图：， 105．如图，△ABC中，，，边上的中线． (1)与互相垂直吗？为什么？ (2)求的长． 【答案】(1)与互相垂直，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证得． （1）先根据三角形中线的定义得出，然后在中，根据勾股定理的逆定理即可证明； （2）由（1）可得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：与互相垂直， 证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，． 106．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)13、52、65； (2)是直角三角形，证明见解析． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 故答案为：13、52、65； （2）解：是直角三角形． 证明：，， ， 是直角三角形，且． 7．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．    (1)求边的长； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)； (2)这块空地的面积为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，纯然垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及中点的性质即可求解； （2）连接，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴． （2）解：连接，如图，    ∵，E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴这块空地得面积为：． 答：这块空地的面积为． 108．如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【详解】（1）证明：绕点B顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． 109．如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】(1) (2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 110．在中，．如图1，若时，根据勾股定理有． (1)如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； (2)如图3，当为纯角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； (3)如图4，一块四边形的试验田，已知米，米，米，米，求这块试验田的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)这块试验田的面积是9600平方米． 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理． （1）过点作于点，构造两个直角三角形，设，则，由勾股定理和构造等式，利用放缩法可得； （2）过点作，交的延长线于点，构造两个直角三角形设，则，利用勾股定得，整理得，利用放缩法； （3）连接．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求得，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：如图2，过点作于点，设，则， 在Rt中，有， 在Rt中，有， ∴， 解之：， ∵均为正数， ∴； （2）解：猜想：， 证明：如图，过点作，交的延长线于点，设，则， 在Rt中，有， 在Rt中，有 ， ∴， 解之：， ∵均为正数， ∴； （3）解：如图，连接． 在中，有， ∴， ∵， ∴ ， 在中，有， ∴， ∴， ∴这块试验田的面积， ， （平方米）， ∴这块试验田的面积是9600平方米． 十五、勾股定理与折叠问题（共7小题） 111．如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，根据勾股定理列方程求解是解题的关键；由勾股定理可求，由翻折可得，则，，根据勾股定理可得，解方程即可得解． 【详解】解：， ， 将沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上， ，， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：5． 112．如图，折叠，使直角边落在斜边上，点落到点处，已知，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，，，求得，由折叠得，，则，由，求得答案． 【详解】解：∵的斜边为， ∴， ∵，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 故答案为： 113．如图，在中，，，，D是边上的一点（不与点B，C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴点E在上，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 114．如图，在中，，，，为边上一点，连接．将沿折叠得到，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识．过点作于点，首先根据勾股定理解得的值，结合三角形面积可求得的值，在中利用勾股定理可解得，由折叠的性质可得，结合可解得，进而可得，即可证明为等腰直角三角形，易得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， 即，解得， ∴在中，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 115．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查折叠问题以及勾股定理，熟练掌握折叠的基本性质是解题关键； （1）设，则，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可； （2）根据中点性质，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：设，则． 由折叠可得：． 在中， 由， 得：， 解得：， 即的长为． （2）∵点落在的中点上， ． 设，则． 在中， 由， 得， 解得：， 即的长为． 116．如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)能；证明见解析 (2)，   、、、 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的的综合题，解题的关键是分情况讨论思想的运用． （1）根据四边形的面积的两种表示方法即可证明； （2）根据翻折的性质和勾股定理即可求解； 根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：能，证明见下： 连接， 如图：  ， ， ， ； （2）解：设，则，又， 根据翻折可知： ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ，， 所以、两点的坐标为，； 如图：    当点在轴正半轴上且时， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得， ， ； 当点在轴正半轴上且时， ， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 综上，符合条件的所有点的坐标为：、、、． 117．如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题考查勾股定理与折叠，完全平方式的应用． （1）由折叠的性质得，又，有，故，，知为等腰三角形； （2）设，在中，可得，即可解得即； （3）①过作于，设，则，设，在中，，有，故，根据线段与边相交，即可得，从而最大为4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为；当落在上时，与重合，求出，故由最大运动到落在时，的运动路径为，即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：设， ，，， ， 由（1）知， 在中，， ， ， 即； （3）解：①过作于，如图： 设，则， 设， ， 四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 化简整理得， 线段与边相交， ， ， ，， ， ， ， 最大为4； 故答案为：4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为； 当落在上时，与重合，如图： 此时，，， ， ， 由最大运动到落在时，的运动路径为， 点从点向点运动的过程中，点运动的路径长为． 故答案为：． 十六、勾股定理的证明（共8小题） 118．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法． 根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 故选：D． 119．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 【详解】（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， ． 120．“赵爽弦图”是三国时期吴国数学家赵爽设计的组合图形，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的正方形 (1)如图1“赵爽弦图”中，四个完全相同的直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，请你借助该图、证明勾股定理； (2)一个零件的形状如图2，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个零件不符合要求，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明及其逆定理： （1）根据大正方形的面积等于四个小三角形的面积与小正方形的面积之和为数量关系即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理判断不是直角三角形，不是直角，进而可求解； 熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：正方形面积表示为：， 正方形面积还可以表示为：， 所以，， 即． （2）解：在中，， 所以是直角三角形，是直角， 在中，，， ， 所以不是直角三角形，不是直角， 因此，这个零件不符合要求． 121．材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)C； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 【详解】（1）解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C （2）解：由题意得： ∵直线m ，直线m ∴ （3）解：由（2）可知： 又 122．【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）2 【分析】本题考查了整式的运算，与几何图形有关的乘法公式；解题的关键是利用等积法得到相关公式并正确运用． （1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可； （2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可； （3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 长方形的面积为：． 123．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负， 即直角三角形两直角边之和为； （2）解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ， 解得， 即， ． 124．著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 【答案】[结论探究]（1）见解析；[结论应用]（2）千米；[问题拓展]（3） 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． [结论探究]（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； [结论应用]（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； [问题拓展]（3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】[结论探究] （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； [结论应用]（2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； [问题拓展]（3）作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 125．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则： ①______． ②b与c的关系为______，a与d的关系为______． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)①3；②，证明见解析 (3)①；②， 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用． （1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立； （2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案； ②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，； ②作于点N，根据证明得，，同理可证，，从而可求出b与c的关系为，a与d的关系为． 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么； ②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．） 若选择图1，证明过程如下： 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 化简，得． 若选择图2，证明过程如下： 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 化简，得． 若选择图3，证明过程如下： 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和， 即， 化简，得． （2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， ∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c， 则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长） ∵，， ∴， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； ②结论； ， ； 故答案为：． （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m， 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，， ∴，，， ∴ 故答案为：． ②作于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 同理可证：，， ∴b与c的关系为，a与d的关系为． 故答案为：，． 十七、勾股定理的实际应用问题（共11小题） 126．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可直接进行求解 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D 127．如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．8米 B．10米 C．12米 D．16米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，（米）， ∴（米）， 即小鸟至少要飞行的长度为10米． 故选：B． 128．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 129．2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面米高处被折断 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设离地面高度x米处折断，则，， ∵ ∴， ∴    ． ∴ 答：这棵树在离地面2.5米高处被折断． 130．在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点，    则，，， 在中，由勾股定理得， ． （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接，    则， ． 在中，由勾股定理得． ，余线仅剩， ∴， ∴不能上升12m，即不能成功． 131．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度， 他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高米． (1)求风筝的高度． (2)过点作，垂足为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)12米 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得： （米， 所以（米． 答：风筝的高度为米． （2）解：由等积法知：， 解得：（米． 答：的长度为12米． 132．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车超速了．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车超速了． 133．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1)9.5m (2)不能成功． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则，，， 在中， ， ． （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接， 则， ． 在中， ． ，余线仅剩7m， ∴， ∴不能上升12m，即不能成功． 134．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C能被扑灭，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 135．如图，公路和公路在点P处交汇，且．点A处有一所中学，，一辆行驶速度为的拖拉机从P沿公路前行． (1)假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响，则拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离是多少？ (2)该学校受影响的时间为多少？ 【答案】(1)拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离为； (2)受影响的时间为． 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识． （1）过点A作，垂足为B，可以求得； （2）以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，然后利用勾股定理得到和的长，进一步计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作，垂足为B，则就是拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离， ∵，， ∴， 答：拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离为； （2）解：以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，    ∴， 在中， ， ∴ ． ， ． ∴受影响的时间为． 136．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米． 十八、用HL证明三角形全等（共8小题） 137．如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些 知识点是解题的关键． 由角平分线得到，再证明，继而 【详解】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长 ， ， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 38．如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 【答案】 或 /60度 【分析】本题考查了直角三角形的判定“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等”，理解并掌握这个知识点是解题的关键，本题容易忽略两种情况，要注意分类讨论． 本题要使和全等，已知和斜边，要想证明全等，还需要一个直角边相等条件，即或．当，根据内角和为，且，可求得． 【详解】解：当 时，点和点重合， 在和中， ， ∴． 当 时，在和中， ， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或；． 39．如图，在中，，且于点，是的延长线上一动点，是上的一动点（不与、重合），若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过“”证明，即可作答． 【详解】证明：∵， 在和中， ∴ 40．如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂线的性质可得，由可得，则，于是可得，利用可证得，于是可得，再根据角平分线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）可得，，，然后利用三角形的面积公式可得，于是得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 点D在的平分线上； （2）解：由（1）可得：，，， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的判定定理及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 41．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点P在的垂直平分线上， ， 是的平分线，于D，于E， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵平分，于D，于 ∴， 在和中， ， ， ， ，，且， ， 即， 解得 42．如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 43．如图，在中，，点E是延长线上一点，D为下方一点，连接，过点D作交于点F，且． (1)求证：； (2)连接交于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）先求得，再根据证明，即可得到； （2）由，推出，再利用证明，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 44．如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)1.5． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握和证明三角形全等是解题的关键： （1）先证明，再根据证明； （2）先证明，从而证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明： 即 在和中 （2）解： ， 又 在和中 ， ． 十九、反证法（共8小题） 145．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选： D． 146．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（　　） A．三角形中最少有一个角是直角或钝角 B．三角形中没有一个角是直角或钝角 C．三角形中三个角全是直角或钝角 D．三角形中有两个或三个角是直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，先假设三角形中有两个或三个角是直角或钝角， 故选：D． 147．用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：第一步应先假设； 故选B． 148．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点； 2、则，； 3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾； 4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l． 则证明步骤正确的是②③①④， 故选：B． 149．用反证法证明命题：“如果，是整数，且能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，应假设 ． 【答案】，都不能被整除 【分析】本题考查了用反证法证明命题，用反证法证明命题就是要假设这个命题的结论不成立，然后根据假设的这个结论进行推理得到命题的条件不成立即可 【详解】解：命题的结论是，中至少有一个能被整除， 用反证法证明这个命题时就要设这个结论不成立，即：，都不能被整除． 故答案为：，都不能被整除 ． 150．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【答案】，，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 【详解】证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 试卷第2页，共113页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$