专题05 轴对称和中心对称（考题猜想，易错必刷85题10种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（冀教版）

专题05 轴对称和中心对称（易错必刷85题10种题型专项训练） 一、轴对称图形的识别（共5小题） 1．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 2．如图图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．2024年7月26日，在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国取得了40金，创造了中国代表团在海外奥运会上的最佳成绩．下列标志中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 4．下列交通标志（不含文字）中，是轴对称图形的是（    ） A．直行标志 B．向左转弯标志 C．向右转弯标志 D．直行和向左转弯标志 5．京剧是我国的国粹，下列京剧脸谱构成轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 二、成轴对称的图形判别与性质（共13小题） 6．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，和关于直线l对称，下列结论正确的有（   ） ①；②；③直线l垂直平分线段 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 9．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 10．小林想要通过一步全等图形变换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列说法正确的个数是（    ） ①可由沿方向平移一定的距离得到；②可由绕点顺时针旋转一定的角度得到；③可由沿直线翻折得到；④不可由通过一次图形变换得到． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 12．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 13．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 14．如图，是外一点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上．若，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 16．如图，，点、分别在射线、，，的积为3，则三角形的边上的高是 ；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为 ． 17．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答： (1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． (2)问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 18．如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 三、折叠问题（共9小题） 19．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，在上各取一点连成的虚线，沿该虚线剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形可能是（   ） A． B． C． D． 20．如图1，中，点E和点F分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，如图2所示．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 21．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则 °． 22．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 23．如图，将沿折叠，使，点A的对应点为点．若，，则 ， ． 24．如图，有一张三角形纸片，，，D是边上的固定点，请在边上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与的一边平行，并求出此时的度数． 25．折纸飞机是我们儿时快乐的回忆．现有一张长为、宽为的白纸，如图，以下面几个步骤折出纸飞机，求x的值．（说明：第一步：将白纸沿着折叠，边的对应边与边平行，记它们的距离为x；第二步：将分别沿着折叠，使与重合，从而获得边，边与的距离也为x） 26．点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 27．综合与探究 问题情境： 已知，点，分别在射线，上，连接，是的平分线． 独立思考： （1）如图1，若所在的直线交的平分线于点． ①当时，______；当时，______； ②当点，分别在射线，上运动时（不与点重合），试问：随着点，的运动，的大小会发生变化吗？如果不会，请求出的度数；如果会，请求出度数的变化范围． 拓展延伸： （2）如图2，当所在的直线交的平分线于点，点，分别在，上时，将沿折叠，使点落在内的点处，求的度数． 四、线段垂直平分线的性质（共10小题） 28．如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 29．如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（   ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 30．如图，在等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若的周长是，则的周长是等于（   ） A． B． C． D． 31．在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的周长为（   ） A． B． C． D．或 32．如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．12 33．在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是 ． 34．如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 35．尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 36．如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 37．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 五、线段垂直平分线的判定（共6小题） 38．如图，若，，则的依据是（   ） A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 39．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ． 40．如图，与相交于点O，，，． (1)求证； (2)求证：垂直平分． 41．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 42．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    43．已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 六、线段垂直平分线的尺规作图（共8小题） 44．如图，在中，尺规作图如下：分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连结，则线段为三角形的（   ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．都有可能 45．在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点D，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 46．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接，若．则的周长为 ． 47．如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 48．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的周长． 49．如图，在中， (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，垂足为（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接，若的面积为，则的面积为________． 50．如图， 已知， 请用无刻度的直尺和圆规， 完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）； (1)如图， 在边上寻找一点 ， 使； (2)如图， 在边上寻找一点， 使得． 51．如图，已知锐角，是边上一点，利用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在边上作点，使得； (2)在上（1）问的条件下，在边上求作点，使得． 七、角平分线的性质（共9小题） 52．三角形的三个角平分线相交于一点，这一点到（ ） A．三角形三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边距离相等 D．都有可能 53．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 由作图可得，平分， ∵， ∴， 54．如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 55．如图，在中，，两条角平分线相交于点O，下列结论： ①；②连接，则平分；③；④；⑤与的面积之和等于的面积．其中正确的结论有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 56．如图，是的角平分线上一点，，垂足为点，且是射线上一动点，则的最小值为 ． 57．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 58．在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 59．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为 ． 60．如图，在中，点O是平分线的交点，过O作于D点，且，求的面积． 八、角平分线的判定定理（共8小题） 61．若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 62．如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 63．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的为（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 64．如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 65．如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 66．如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，连接．若．求证：平分． 67．已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 68．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 九、角平分线的尺规作图（共8小题） 69．如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确的作出的平分线， 第一步：在射线上分别截取，使； 第二步：分别以点和点为圆心，适当长（大于线段长的一半）为半径做圆弧，在内，两弧交于点； 第三步：作射线． 射线就是所要求作的的平分线． 用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 70．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：； 乙：； 丙：． 下列判断正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对 71．如图，中，用尺规按如图规迹作出射线，交于点，过点作于点于点，连接，则下列结论错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D． 72．如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是 ． 73．尺规作图痕迹如图，若，求的度数． 74．如图，在中，，，，为的一个外角． (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； ②取线段的中点N，过N画的垂线，与交于点F，与交于点E． (2)求证：． 75．下面是小颍同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年10月20日  星期日  晴作已知角的平分线 已知：如图1，． 求作：射线，使为的平分线． 小亮同学展示了自己的作法． 小亮的作法如图2： （1）分别在射线，上截取； （2）分别作，的垂直平分线、，交点为点； （3）作射线．则射线为的平分线． 小亮的思考过程如下： 连接， 因为、分别是，的垂直平分线 所以，（依据1） 所以（依据2） …… 任务： (1)小亮思考过程的依据1、依据2分别是__________、__________ (2)请将小亮的思考过程补充完整． (3)请你设计一种不同的方法，在图1中用尺规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 76．数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答． (1)“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的共有______ A．1个        B．2个        C．3个        D．4个 (2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由． (3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且． 小组同学给出仪器三等分的步骤： 第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线； 第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上； 第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5． 下面是小组同学展示的部分推理过程： 如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）． …… ①“▲”处的推理依据是 ； ②补全推理过程． 十、中心对称图形的性质与作图（共11小题） 77．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 78．2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 79．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 80．下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正八边形；其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 81．如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 82．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 83．如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 84．已知点与点关于原点O中心对称，则m的值是 ． 85．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点O成中心对称，C点坐标为． (1)请直接写出的坐标______； (2)是的AC边上一点，将平移后点P的对称点，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 试卷第2页，共81页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称和中心对称（易错必刷85题10种题型专项训练） 一、轴对称图形的识别（共5小题） 1．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，涉及轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2．如图图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 3．2024年7月26日，在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国取得了40金，创造了中国代表团在海外奥运会上的最佳成绩．下列标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 4．下列交通标志（不含文字）中，是轴对称图形的是（    ） A．直行标志 B．向左转弯标志 C．向右转弯标志 D．直行和向左转弯标志 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 5．京剧是我国的国粹，下列京剧脸谱构成轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 二、成轴对称的图形判别与性质（共13小题） 6．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得D答案中图形成轴对称，其他选项不成轴对称， 故选：D． 7．如图，和关于直线l对称，下列结论正确的有（   ） ①；②；③直线l垂直平分线段 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质：关于某直线对称的两个三角形全等，且对应角相等，对应边相等，对称轴垂直平分对应点的连线，且平分对应点与对称轴上某点连线的夹角，依次判断即可． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，直线l垂直平分， ∴，， 所以正确的有3个， 故选：D． 8．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴垂直平分，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴直线的交点一定在上，该选项错误，符合题意； 故选：． 9．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质得到，则，即可作出判断． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴． ∴， 故A，B，D正确， 故选：C． 10．小林想要通过一步全等图形变换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列说法正确的个数是（    ） ①可由沿方向平移一定的距离得到；②可由绕点顺时针旋转一定的角度得到；③可由沿直线翻折得到；④不可由通过一次图形变换得到． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移、旋转、轴对称变换，逐项判断即可，熟练掌握图形的平移、旋转、轴对称变换是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移，不能和重合，故①错误； 绕点顺时针旋转能和重合，故②正确； 和关于直线轴对称，即可由沿直线翻折得到，故③正确； 可由沿直线翻折得到，也可由绕点顺时针旋转得到，故④错误； ∴正确的有②③这个， 故选：B． 11．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 12．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 13．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．如图，是外一点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上．若，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 15．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 16．如图，，点、分别在射线、，，的积为3，则三角形的边上的高是 ；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：，． 17．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答： (1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． (2)问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查的是对称轴的性质以及两点之间，线段最短等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键． （1）根据对称轴的性质以及三角形三边关系进行作答即可； （2）分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，则有，，那么的周长为，即三点共线，线段最短即可使得走过的路程，即的周长最小． 【详解】（1）解：由题意可知， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示： ∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴， 所以，， 那么的周长为， 所以三点共线， 即两点之间，线段最短，那么的周长最小． 18．如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型． （1）作点F关于直线的对称点，连接交于P，连接，点P即为所求； （2）作点F关于直线的对称点，点E关于的对称点，连接交于M，交于N，连接，，点M，N即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，路径是． （2）解：如图2中，路径是． 三、折叠问题（共9小题） 19．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，在上各取一点连成的虚线，沿该虚线剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查剪纸问题，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：由于得到的图形的中间是正方形，可以得到图形： 故选：B． 20．如图1，中，点E和点F分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，如图2所示．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质，由折叠前后对应角相等可得，结合三角形外角的性质可得，由此可解． 【详解】解：如图，标记与的交点为点B，    由三角形外角的性质得，，， 由折叠得， ， ， ， ， 故选B． 21．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质和折叠的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得的度数． 【详解】解：∵长方形纸带， ∴， ∴，， 即， ∴． ∵， ∴． 由折叠可得：， ∴． 故答案为：． 22．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．根据折叠的性质可得，由角平分线的定义可得，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案． 【详解】解：由折叠可知，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴． 故选：A． 23．如图，将沿折叠，使，点A的对应点为点．若，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，根据平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理并结合图形计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 24．如图，有一张三角形纸片，，，D是边上的固定点，请在边上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与的一边平行，并求出此时的度数． 【答案】图见解析，或或 【分析】本题考查折叠性质、平行线性质、角的互补，熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键． 分、且点在上方和下方时，利用折叠性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：①如图1，当时， ∴， ∵， ∴． ②如图2，当，且点在上方时， ∴． ③如图3，当且点在下方时， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或或． 25．折纸飞机是我们儿时快乐的回忆．现有一张长为、宽为的白纸，如图，以下面几个步骤折出纸飞机，求x的值．（说明：第一步：将白纸沿着折叠，边的对应边与边平行，记它们的距离为x；第二步：将分别沿着折叠，使与重合，从而获得边，边与的距离也为x） 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是根据折叠，列出方程．先根据折叠得出，再根据长为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，可得： ， ∴， ∴， 解得：． 26．点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，根据，即可求解； （2）由折叠的性质，得到，，根据，，根据即可求解； （3）由折叠的性质，得到，，分当点在内部时，当点在外部时，两种情况得出结论． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质，得到，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质，得到，． ①如图2，当点在内部时， ∵， ∴； ②如图3，当点在外部时， ∵， ∴． 综上，的度数为或． 27．综合与探究 问题情境： 已知，点，分别在射线，上，连接，是的平分线． 独立思考： （1）如图1，若所在的直线交的平分线于点． ①当时，______；当时，______； ②当点，分别在射线，上运动时（不与点重合），试问：随着点，的运动，的大小会发生变化吗？如果不会，请求出的度数；如果会，请求出度数的变化范围． 拓展延伸： （2）如图2，当所在的直线交的平分线于点，点，分别在，上时，将沿折叠，使点落在内的点处，求的度数． 【答案】(1)①45，45，②不会发生变化， (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，折叠的性质， 对于（1），根据角平分线定义和三角形内角和定理分别求出，再根据三角形内角和定理得出答案，②根据三角形外角的性质解答； 对于（2），根据三角形内角和定理及平角定义求出，进而求出，再根据折叠的性质得，即可得出答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45，45； ②随着点A，B的运动，的大小不会发生变化． 设，则． ， ． 平分，平分， ，． ． （2）， ． ． 平分，平分， ． ． 由折叠的性质，得，． ． ． 四、线段垂直平分线的性质（共10小题） 28．如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：先利用基本作图得到垂直平分，，从而可求出． 【详解】解：由基本作图得到垂直平分， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 29．如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（   ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 由该基站的设计要求及线段垂直平分线的性质即可直接得出答案． 【详解】解：该基站到三个村庄A，B，C的距离相等， 点P应设计在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：． 30．如图，在等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若的周长是，则的周长是等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，得到，进而得到的周长等于，进而求出的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴的周长， ∴， ∵， ∴的周长； 故选A． 31．在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是分类讨论．根据线段垂直平分线的性质可得：，，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图，当点在点左侧时， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为； 当点在点的右侧时， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为； 综上所述，的周长为或， 故选：D． 32．如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，根据中垂线的性质，得到，进而得到，进而得到的最小值为的长，根据三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 33．在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线得到，根据垂直平分线得到，从而得到，结合得到，即可得到答案； 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点间线段最短原理，熟练掌握线段最短原理是解题的关键．根据直线m是中边的垂直平分线，得到点B与点C关于直线m对称，故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值，此时的周长的最小值为，代入计算即可． 【详解】解∶ 因为直线m是中边的垂直平分线， 所以点B与点C关于直线m对称， 故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值， 所以的周长的最小值为， 因为， 所以的周长的最小值为． 故答案为：4． 35．尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为12． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 36．如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①6；②4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①先根据三角形的周长公式可得，再根据的周长为18可得，然后根据求解即可得； ②先根据全等三角形的性质可得的面积与的面积相等，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵的周长为6， ∴， ∵， ∴，即， ∵的周长为18， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②如图，过点作于点， 由上可知，，， ∴的面积与的面积相等，即为12， ∴，即， ∴， 所以点到的距离为4． 37．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【答案】(1)8 (2)5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式求出结果即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据的周长为18，求出，得出．根据垂直平分线的性质得出，，即可得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵ ，分别垂直平分和， ∴ ，， ∴ 的周长； （2）解：连接、、， ∵ 的周长为18， ∴ ， ∵ ， ∴． ∵ 、分别垂直平分和， ∴，， ∴ ， ∴. 五、线段垂直平分线的判定（共6小题） 38．如图，若，，则的依据是（   ） A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据，，得出直线是线段的垂直平分线，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴若，，则的依据是到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故选：C． 39．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【详解】解：如图所示， 点在，的垂直平分线上， 故答案为：． 40．如图，与相交于点O，，，． (1)求证； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 41．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 42．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    【答案】见解析 【分析】此题考查线段的垂直平分线的知识．先根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等求得，进而求得结论；然后再利用线段垂直平分线的判定方法即可确定边的垂直平分线经过点P． 【详解】已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，； 证明：点是边垂直平线上的一点， （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． 同理可得，．（等量代换）． 点是边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条垂直平分线上）， 、、的垂直平分线相交于点．   ． 43．已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行的性质证，即可证明，可得，易证，即可解题； （2）连接交于点，易，，根据，可求得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． 【详解】（1）， ， ，， ， 在和中， ， ， 点是的中点， ， ； （2）连接交于点， ,点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 垂直平分． 六、线段垂直平分线的尺规作图（共8小题） 44．如图，在中，尺规作图如下：分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连结，则线段为三角形的（   ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．都有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线和三角形的中线，可知直线为线段的垂直平分线，即点为线段的中点，据此即可求得答案． 【详解】根据题意可知直线为线段的垂直平分线，即点为线段的中点，所以线段为三角形的中线． 故选：B 45．在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点D，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和可得，点在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点．本题考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法． 【详解】解：，且， ， 点在线段的垂直平分线上， 即点为线段的垂直平分线与的交点． 观察四个选项，D选项符合题意， 故选：D． 46．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接，若．则的周长为 ． 【答案】29 【分析】本题主要查了尺规作图——作已知直线的垂直平分线，线段垂直平分线的性质．由作法得：垂直平分，再由垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：29 47．如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 【答案】分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径所画两弧 【分析】本题主要考查了尺规图作过直线上一点作已知直线的垂线，根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答即可，熟练掌握过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法是解决此题的关键． 【详解】过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下： ①以P为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧交在直线l上点P的两旁为，； ②分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C、P作直线，则直线为所求作的直线； 故答案为：分别以A、B为圆心，以大于长为半径所画两弧． 48．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧交于两点，过两交点作直线交与点，即可获得答案； （2）由垂直平分线的性质可得，然后结合三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图，点即为所求作的点； （2）由题意可知， ∴的周长． 49．如图，在中， (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，垂足为（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接，若的面积为，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）根据线段垂直平分线的画法作图即可； （）根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的画法和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，直线和点即为所求； （2）解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 50．如图， 已知， 请用无刻度的直尺和圆规， 完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）； (1)如图， 在边上寻找一点 ， 使； (2)如图， 在边上寻找一点， 使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）根据作一个角等于已知角的方法作即可画出点； （）作线段的垂直平分线，交于点，由线段垂直平分线的性质可得，即可得； 本题考查了画一个角等于已知角，作线段的垂直平分线，掌握作图方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 51．如图，已知锐角，是边上一点，利用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在边上作点，使得； (2)在上（1）问的条件下，在边上求作点，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． （1）作的垂直平分线与的交点即为点； （2）以点M为圆心，为半径，作交于点． 【详解】（1）解：如图点即为所求， 理由如下： 作的垂直平分线与的交点即为点， ， ， ； （2）如下图所示，以点M为圆心，为半径，作交于点， 理由如下： 由（1）知， ， ， ． 七、角平分线的性质（共9小题） 52．三角形的三个角平分线相交于一点，这一点到（ ） A．三角形三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边距离相等 D．都有可能 【答案】C 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等判定即可． 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， 故选：C． 53．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 54．如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出，代入数据即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，的面积为， ∴． 故选：A． 55．如图，在中，，两条角平分线相交于点O，下列结论： ①；②连接，则平分；③；④；⑤与的面积之和等于的面积．其中正确的结论有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形角平分线和全等三角形．熟练掌握角平分线定义和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，是解决问题的关键． 根据三角形内角和求出 ， 根据角平分线定义得，，得，根据三角形外角性质得，可判断①；根据三角形角平分线性质知，点O在平分线上，平分，可判断②；证明，过点O作于点F，于点G，可得,得，可判断③；证，得，由，，得，可判断④；在上取点H，使，证，得，可得，可得 ,得，可判断⑤． 【详解】解；∵， ∴ ， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ①正确； ∵平分，平分， ∴点O在平分线上，平分， ②正确； ∵， ∴， 过点O作于点F，于点G， 则，， ∴, ∴ ， ③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ④不正确； 在上取点H，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴，与的面积之和等于的面积， ⑤正确． ∴正确的有①②③⑤，共4个． 故选：C． 56．如图，是的角平分线上一点，，垂足为点，且是射线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，根据垂线段最短可知当时，最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案． 【详解】解：根据垂线段最短可知：当时，最小， 当时， 又平分，，， 故答案为： 57．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 58．在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．先作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，则与的交点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求作的点． 59．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，三角形的面积公式求出的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， 由作图可知：平分， 又∵，， ∴； 故答案为：3． 60．如图，在中，点O是平分线的交点，过O作于D点，且，求的面积． 【答案】30 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．于于，连接，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式和进行计算即可． 【详解】解：作于于，连接，如图， 点是角平分线的交点， 即， 八、角平分线的判定定理（共8小题） 61．若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质． 根据三角形的内角角平分线的性质即可判断． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点应是这个三角形的三个内角的平分线的交点， 故选：C． 62．如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，连接，过点作，根据角平分线的性质，得到，进而得到平分，利用分割法求面积法，求出的的长，进行判断即可． 【详解】解：连接，过点作， ∵分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴平分，故丙说法正确； ∵， ∵的周长为21， ∴， ∴， ∴点F到的距离为4，故乙说法错误； 条件不足，无法得到，故甲说法错误； 故选C． 63．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的为（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得到，②正确；作于G，于H，由全等三角形对应边上的高相等得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，证明出，得到，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴ 即 又∵，， ∴ ∴，①正确； ∴， 又∵ ∴，②正确； 作于G，于H，如图所示： ∵ ∴（全等三角形对应边上的高相等） ∴平分，④正确； ∴ 假设平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 与矛盾，故③错误； 正确的有①②④． 故选：B． 64．如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系．首先过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证，利用可证和，根据全等三角形对应边相等可证、，从而找到、、之间的数量关系． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分，、， ， 又平分， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可证， ， ， 故答案为： ． 65．如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质．连接，过点D作，交的延长线于点G，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：连接，过点D作，交的延长线于点G， ∵，，， ∴平分， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 66．如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，连接．若．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键．要证平分，只需证．可通过证来实现、根据已知条件，利用可直接证明，从而可得出平分． 【详解】证明：， ， 在与中， 是的平分线 67．已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键． （1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解：，， ， 平分， ． 68．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （2）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 九、角平分线的尺规作图（共8小题） 69．如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确的作出的平分线， 第一步：在射线上分别截取，使； 第二步：分别以点和点为圆心，适当长（大于线段长的一半）为半径做圆弧，在内，两弧交于点； 第三步：作射线． 射线就是所要求作的的平分线． 用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．连接，根据作图的过程证明三角形全等即可． 【详解】解：如图所示，连接 由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴射线就是所要求作的的平分线． 故选：C． 70．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：； 乙：； 丙：． 下列判断正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，由作图可得：平分，，由角平分线的性质定理可得，即可判断甲；由即可判断乙；证明即可判断丙，即可得解． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∵， ∴，故甲正确； ∵， ∴，故乙正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故丙正确； 故选：D． 71．如图，中，用尺规按如图规迹作出射线，交于点，过点作于点于点，连接，则下列结论错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，根据尺规作图得是的平分线，再根据角平分线的性质可得，再证明得到，，进而得是的垂直平分线，在证明，综上所述即可得出答案． 【详解】解：根据尺规作图可知：是的平分线， 又，， ， 故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ， 点在的垂直平分线上， 又， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， 当时，垂直平分， 但是，根据已知条件无法判定， 因此选项B不正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ， 故选项C正确，不符合题意； 是的垂直平分线， ， 是的平分线， ， 在△和△中， ， ， 故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 72．如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 73．尺规作图痕迹如图，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，垂直平分线是识别，三角形内角和定理，外角和性质的综合，理解角平分线，垂直平分线的作图，掌握角平分线有关三角形内角和，外角和性质的运用是解题的关键． 根据题意可得点为的垂直平分线与的平分线的交点，则有，结合外角和的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可得点为的垂直平分线与的平分线的交点， ， ， ， ， ， ． 74．如图，在中，，，，为的一个外角． (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； ②取线段的中点N，过N画的垂线，与交于点F，与交于点E． (2)求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）①根据尺规作平分线的步骤作图即可作出图形； ②按要求作图即可； （2）根据证明可得结论． 【详解】（1）解：①②图形如图所示； （2）证明：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵线段的中点为N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 75．下面是小颍同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年10月20日  星期日  晴作已知角的平分线 已知：如图1，． 求作：射线，使为的平分线． 小亮同学展示了自己的作法． 小亮的作法如图2： （1）分别在射线，上截取； （2）分别作，的垂直平分线、，交点为点； （3）作射线．则射线为的平分线． 小亮的思考过程如下： 连接， 因为、分别是，的垂直平分线 所以，（依据1） 所以（依据2） …… 任务： (1)小亮思考过程的依据1、依据2分别是__________、__________ (2)请将小亮的思考过程补充完整． (3)请你设计一种不同的方法，在图1中用尺规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等量代换 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，等量代换即可求解； （2）利用判定即可； （3）方法不唯一，正确即可． 【详解】（1）解：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等量代换； 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等量代换； （2）在和中， ， ． ， 是的角平分线． （3）解：即为所求． 76．数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答． (1)“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的共有______ A．1个        B．2个        C．3个        D．4个 (2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由． (3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且． 小组同学给出仪器三等分的步骤： 第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线； 第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上； 第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5． 下面是小组同学展示的部分推理过程： 如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）． …… ①“▲”处的推理依据是 ； ②补全推理过程． 【答案】(1)D (2)见解析 (3)①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；②见解析 【分析】（1）根据作图痕迹，逐一进行判断即可； （2）根据，，结合即可得到即可得到证明； （3）①根据角平分线的判定方法解答即可； ②根据证明得，进而可证线和射线将三等分． 【详解】（1）解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． （2）理由如下：在和中，， ∴   ∴． ∴沿画一条射线，则就是的平分线． （3）①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； ②∵点A，B，C在一条直线上，， ∴， ∴． ∵所在直线过的顶点O， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵点C在上， ∴． ∴． ∴射线和射线将三等分． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线作图，平行线作图，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 十、中心对称图形的性质与作图（共11小题） 77．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形，解题的关键是理解中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的概念求解，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点，就叫做对称中心． 【详解】解∶根据中心对称图形的概念∶在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，可知B、C、D是中心对称图形，A不是中心对称图形， 故选∶A． 78．2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义和识别，理解中心对称图形的定义，根据图形识别中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形． 故选：C． 79．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，”判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形； B、既是轴对称图形也是中心对称图形； C、是中心对称图形而不是轴对称图形； D、是轴对称图形而不是中心对称图形； 故选：B． 80．下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正八边形；其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：在①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正八边形 ，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是正方形和正八边形，即②④． 故选C． 81．如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称的性质，全等三角形的判定；根据与成中心对称，点是对称中心，再逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： 点A与点D是对应点，原说法正确，故符合题意； ②由中心对称的性质可得：，，， ∴，原说法正确，故符合题意； ③∵与成中心对称，点是对称中心， ∴线段与关于点O成中心对称，原说法正确，故符合题意． 故选：D． 82．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点的对称点的坐标．根据关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选：D． 83．如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【答案】①或⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可 【详解】解：结合上图，把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形； 把标有序号②的小正方形涂上阴影，是中心对称图形也是轴对称图形； 把标有序号③或④或⑤的小正方形涂上阴影，是轴对称图形； 则满足题意，该小正方形的序号是①或⑥， 故答案为：①或⑥． 84．已知点与点关于原点O中心对称，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数求解作答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点O中心对称， ∴， 解得，， 故答案为：． 85．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点O成中心对称，C点坐标为． (1)请直接写出的坐标______； (2)是的AC边上一点，将平移后点P的对称点，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的平移、中心对称的性质． （1）直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出点的坐标； （2）直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可； （3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标． 【详解】（1）解：∵，与关于原点O成中心对称， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，平移后点的对应点， ∴先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度， 即：如图所示； （3）解：∵，，， ∴，，； 如图所示， 连接，相交于点， 则为对称中心，即：为的中点， 又∵，， ∴，即， 故答案为：． 试卷第2页，共81页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$