专题04 二次根式（考题猜想，易错必刷75题9种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（冀教版）

专题04 二次根式（易错必刷75题9种题型专项训练） 一、二次根式的概念及辨析（共6小题） 1．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．式子有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．有意义，则x的取值范围为 ． 6．若有意义，则能取的最小整数值是 ． 二、利用二次根式的性质化简（共5小题） 7．已知是正整数，是整数，则的最小值为（   ）． A．2 B．4 C．21 D．84 8．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 10．化简： ． 11．先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ①； ②； ③； ④． 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为_________； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简和． 三、最简二次根式的辨析（共10小题） 12．下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 13．下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 14．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 15．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 16．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 17．化简： ． 18．若是最简二次根式，则自然数 ． 19．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 20．若和都是最简二次根式，则 ， ． 21．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 四、二次根式的乘法运算（共9小题） 22．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 23．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 24．估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 25．农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 26．化简：的结果是（   ） A． B． C．2 D．3 27．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 28．计算： ． 29．已知：，，求的值． 30．先化简，再求值：，其中，． 五、二次根式的除法和乘除混合运算（共8小题） 31．化简等于（    ） A． B． C． D． 32．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 33．计算： ． 34． ． 35．计算： ． 36．对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 37．计算： 38．若，求的值． 六、二次根式的加减运算（共10小题） 39．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 40．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 41．下列计算或运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 42．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 43．计算：＝ ． 44．计算： ． 45．计算： (1)； (2)． 46．计算： (1)； (2)． 47．计算： (1) (2) 48．计算： (1)； (2)． 七、二次根式的混合运算（共8小题） 49．定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 50．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 51．下面小琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． ↓第①步 ↓第②步 ↓第③步 ↓第④步 任务一：左边步骤中，第______步开始出现错误； 任务二：请写出正确的计算过程； 任务三：试说明左边步骤中的第②、③步的运算依据． 52．计算 （1）； （2）． 53．计算： (1) (2)． 54．计算： (1)； (2)． 55．化简求值：，其中，． 56．先化简，再求值：，其中，． 八、已知条件式求代数式的值（共6小题） 57．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 58．若，则 ． 59．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 60．已知：，，求：的值． 61．已知：，，且，求的值． 62．已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 九、二次根式的应用（共13小题） 63．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 64．我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 65．李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 66．已知刹车距离的计算公式为表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．在一次交通事故中测得，而发生交通事故的路段限速为．请你计算肇事汽车的车速并判断肇事汽车是否违规行驶． 67．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 68．如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 69．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 70．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用绑带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示： (1)圆形团扇的半径为__________（结果保留），正方形团扇的边长为__________； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 71．有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 72．观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 73．高空抛物是一种非常危险的行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区21层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为_________s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度_________m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 74．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 75．“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 试卷第2页，共41页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式（易错必刷75题9种题型专项训练） 一、二次根式的概念及辨析（共6小题） 1．在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 3．式子有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则 的取值范围是：． 故选：B． 4．若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式和分式有意义的条件可得，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 5．有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得． 故答案为：． 6．若有意义，则能取的最小整数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，可得不等式，解不等式可得，在这个范围内的最小整数为． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 能取的最小整数值是． 故答案为： ． 二、利用二次根式的性质化简（共5小题） 7．已知是正整数，是整数，则的最小值为（   ）． A．2 B．4 C．21 D．84 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．根据和是整数可得是整数，再结合为正整数即可得． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 又∵为正整数， 的最小值为21， 故选：C． 8．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选C 9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由数轴可知，，，则，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，按照化简二次根式的步骤化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 11．先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ①； ②； ③； ④． 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为_________； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简和． 【答案】(1)④； (2)； 【分析】本题主要考查二次根式的性质，理解并掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，进行分析判定即可求解； （2）根据材料提示方法变形，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，且二次根式中被开方数为非负数， ∴④出错了， ， 故答案为：④，； （2）解： ； ； ． 三、最简二次根式的辨析（共10小题） 12．下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 13．下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 14．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，理解最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式应满足：①被开方数不含有分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，故原二次根式不是最简二次根式，本选项不符合题意； B. ，故原二次根式不是最简二次根式，本选项不符合题意； C. ，故原二次根式不是最简二次根式，本选项不符合题意； D. ，是最简二次根式，本选项符合题意． 故选：D． 15．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，利用完全平方公式、提公因式进行化简是解题的关键，化简后根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】A．是最简二次根式，符合题意； B． ，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 16．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．根据化简即可． 【详解】解：． 故选B． 17．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 18．若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 19．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 20．若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 21．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解： 是最简二次根式 四、二次根式的乘法运算（共9小题） 22．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可 ． 【详解】解：， 故选：A． 23．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键．二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式． 【详解】解：． 故选A． 24．估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，无理数的估算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 先根据二次根式乘法运算法则计算，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 25．农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得： 蓄水池的占地面积为： ， 故选：． 26．化简：的结果是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 27．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 28．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解本题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可 【详解】解：， 故答案为：． 29．已知：，，求的值． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值和二次根式的乘法，熟练掌握整式的混合运算和二次根式乘法的运算法则是解题的关键．先化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式， ， 当，时， 原式， ． 30．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，二次根式的乘法．原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 五、二次根式的除法和乘除混合运算（共8小题） 31．化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的除法.根据二次根式的除法法则进行化简. 【详解】解：=. 故选：D. 32．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式除法以及无理数的大小估算，先运算二次根式除法得出，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴． 故选：B 33．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的除法运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的除法法则可进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 34． ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算．直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 35．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 36．对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 37．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先把每一个二次根式化成最简二次根式，计算二次根式的乘除法，再算减法即可． 【详解】解：原式 ． 38．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，能够理解平方数的非负性，并利用法则准确的计算化简是解决本题的关键． 先利用平方数的非负性及两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须为0的特点求出、的值，再将其代入二次根式求值即可． 【详解】解：． ，， ，． 当，时， 原式 ． 六、二次根式的加减运算（共10小题） 39．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式加法，减法，乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原式计算错误，故该选项不符合题意； B、，原式计算错误，故该选项不符合题意； C、，原式计算正确，故该选项符合题意； D、，原式计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 40．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算．根据只有同类二次根式才能合并，去判断A，根据二次根式的乘除运算法则判断B、C的正误，根据二次根式的性质判断D的正误． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意． 故选：C． 41．下列计算或运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了化简二次根式、二次根式的减法及除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式化简规则、二次根式的减法及除法的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. ，原计算错误，不符合题意； D. ，原计算错误，不符合题意； 故选B． 42．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的除法、乘法、加法、减法，根据二次根式的除法、乘法、加法、减法的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 43．计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握化简二次根式为最简二次根式． 先把二次根式化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 44．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式加减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先将化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：关键是先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）利用二次根式的乘除法则运算； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 46．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并即可； （）根据二次根式的除法法则进行计算，再化简合并即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 47．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的减法，平方差公式，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答． （2）先根据平方差公式展开，以及化简，再运算加法，即可作答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 48．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘法运算及加减运算，正确计算是解题的关键： （1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）利用平方差公式展开，化简绝对值，再计算二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 七、二次根式的混合运算（共8小题） 49．定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为； 故答案为：5． 50．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的除法与乘法，然后计算二次根式的加法与减法，最后根据无理数的估算方法求解即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， 即估计的运算结果应在7到8之间， 故选：D． 51．下面小琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． ↓第①步 ↓第②步 ↓第③步 ↓第④步 任务一：左边步骤中，第______步开始出现错误； 任务二：请写出正确的计算过程； 任务三：试说明左边步骤中的第②、③步的运算依据． 【答案】任务一：①；任务二：见解析；任务三：二次根式的除法法则；逆用乘法对加法的分配律 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键； 任务一：由去括号没有改变相应的符号，从而可得第①步出现错误； 任务二：先利用二次根式的性质与除法运算化简二次根式，再合并同类二次根式即可； 任务三：第②步利用了，即二次根式的除法运算法则，第③步逆用了乘法分配律. 【详解】解：任务一：左边步骤中，第①步开始出现错误； 任务二： 任务三：第②步的运算依据二次根式的除法法则， 第③步的运算依据逆用乘法对加法的分配律. 52．计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算、实数的运算等知识． （1）先算除法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （2）直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而计算得出答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 53．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算， （1）根据立方根，二次根式的性质，绝对值将原式化简，再进行合并即可； （2）利用完全平方公式和二次根式的性质及除法将原式化简，再进行合并即可； 掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 54．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练准确地运用各种运算法则． （1）先计算算术平方根，零次幂，负整指数幂，再计算加减即可求解； （2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算与化简，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 55．化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，根据分式的减法法则、除法法则、乘法法则把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】 ， 当，时，原式 ． 56．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 先根据整式的乘除法混合运算法则计算，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． ，， 原式． 八、已知条件式求代数式的值（共6小题） 57．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 58．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， 原式 ， 当时， 原式， 故答案为：． 59．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 【答案】(1) (2)2 (3)9 【分析】本题考查了分母有理化的应用，能正确变形是解此题的关键． （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可； （2）根据题干中的步骤进行计算即可； （2）结合题干的方法进行分母有理化，再合并即可得结果． 【详解】（1）； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）根据题意得， ． 60．已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 61．已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 62．已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 九、二次根式的应用（共13小题） 63．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，且的三边长分别为，，， ，，， ∴的面积为： ， 故选：C． 64．我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 【答案】12 【分析】先计算，代入公式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，熟练掌握公式，精准化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：12． 65．李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，结合图形求出阴影部分的长和宽是解题的关键．根据题中条件分别计算阴影部分的长和宽，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为27和18， ， 由题意得： 正方形和正方形重叠部分为正方形，面积为3， 则重叠部分边长为， 则正方形的边长为， 剩余部分（阴影部分）的面积等于正方形的面积减去两个小正方形的面积，再加上重叠部分的面积， 剩余部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 66．已知刹车距离的计算公式为表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．在一次交通事故中测得，而发生交通事故的路段限速为．请你计算肇事汽车的车速并判断肇事汽车是否违规行驶． 【答案】，肇事汽车违规行驶 【分析】本题考查二次根式的应用，把，代入求出此时的速度，与限速速度进行比较即可得出结论。 【详解】解：． ， 肇事汽车违规行驶． 67．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)1400元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 68．如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)； (2)阴影部分图形的周长，阴影部分图形的面积 (3) 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据正方形的面积公式结合图形直接求解即可； （2）由（1）所求的长和宽，结合长方形的周长和面积公式求解即可； （3）先求出长方形的长为，宽为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：因为两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中， 所以阴影部分图形的长为，宽为； （2）解：阴影部分图形的周长． 阴影部分图形的面积． （3）解：由图2可知，， 长方形的长为，宽为， ． 69．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 【答案】通道的面积为平方米 【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的化简与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可． 【详解】解：矩形绿地的长为米，宽为米， 平方米， 小矩形花坛的长为米，宽米， 小矩形花坛的面积为平方米， 通道的面积为平方米． 70．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用绑带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示： (1)圆形团扇的半径为__________（结果保留），正方形团扇的边长为__________； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为，正方形团扇的边长为． 故答案为：，； （2）解：∵ 圆形团扇半径为，正方形团扇的边长为， ∴ 圆形团扇的周长为，正方形团扇的周长为 ∵， ∴，                             ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 71．有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2)剩余木板的面积为 【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，； （2）解：由题可知，阴影部分的面积为： ． 答：剩余木板（阴影部分）的面积为． 72．观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个式子是：n； 证明如下： ． 73．高空抛物是一种非常危险的行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区21层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为_________s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度_________m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)45； (3)能伤害到楼下无防护的行人，理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的应用． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）将代入公式即可得高度h； （3）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解：小明家住21层，每层楼的高度近似为， ， ， 故答案为：； （2）解：当时，， ， 故答案为：45； （3）解：能伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 当时，，解得， ， ∴质量为的玩具经落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 74．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 75．“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 【答案】已有认识：（1）2；（2）①，②，③；类比学习： 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可解答 类比学习：根据材料设，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）， 也能将其看成是面积为2的正方形的边长； （2）①图1的面积为， ②图2的面积为． ③由此我们可以得到等式：，即； 类比学习： 设， 即， 由于x较小，可忽略不计，得：， ， ，即． 试卷第2页，共41页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$