专题01 相似形与比例线段（考点清单，5个考点清单+6种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题01 相似形与比例线段（考点清单，5个考点清单+6种题型解读） 相似形 相似形定义 比例线段 相似三角形 性质 定义 性质 黄金分割 三角形一边的平行线 性质定理 判定定理 推论 推论 平行线分线段成比例定理 特例 基本性质、合比、等比性质 【清单01】相似形 【清单02】比例线段 【清单03】三角形一边的平行线 【清单04】三角形的重心 【清单05】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例； 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【考点题型一】相似图形（共4题） 1．（23-24九年级上·上海静安·期末）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【知识点】相似图形 【分析】本题主要考查了相似图形的识别，对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和矩形不相似，不符合题意； B、两个圆一定相似，符合题意； C、两个菱形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和正方形不相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，例如等腰直角三角形和等边三角形不相似，不符合题意； 故选B． 2．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【知识点】相似图形、相似多边形 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（ ） A．①正确，②错误B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键； 根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题关键．表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解． 【详解】解：设原来矩形的长为，宽为， 则对折后的矩形的长为，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 【考点题型二】比例的性质（共10题） 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例中项，根据比例中项的定义进行求解即可． 【详解】∵线段c是a和b的比例中项， ∴， ∴． 故答案为： 2．（23-24九年级上·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果，那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果（），那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则有，然后代入求值即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如果均不为零），那么的值是 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查的是比例的基本性质，令，则然后化简整理即可求得．令，则，，即可作答． 【详解】解：根据题意，可令，则 因此，． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质．根据比例的性质的，设,其中，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 设,其中， ∴， 故答案为： 7．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知 ，且，试求的值． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴． 8．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：，且，求的值． 【答案】，， 【知识点】比例的性质、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，由已知可设，，，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质和代数式求值，设，可得，，，然后代入，即可求解．根据题意得到，，是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，，， ∴ ． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 【答案】(1) (2),是直角三角形 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、比例的性质 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键． （1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立等式求解，进而代入求出答案． 【详解】（1）解：， 设，，， ； （2）解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ， ， 是直角三角形． 【考点题型三】比例线段（共6题） 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于，则成比例，所以B选项符合题意； C．由于，则不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于，则不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为 ． 【答案】2 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 设、两地间的实际距离是，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可． 【详解】解：设、两地间的实际距离是，根据题意得： ， 解得， ． 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 【答案】6 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，设线段a和c的比例中项为b，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：设线段a和c的比例中项为b， ∴，即， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知：，且，求、、的值． 【答案】，，， 【知识点】比例的性质、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查比例的性质，以及一元一次方程的运用，根据题意设，则，，再结合建立方程求解，即可解题． 【详解】解：， 设，则，， ， ， 解得， ，，． 5．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 【答案】，， 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握用同一字母表示各未知数是解答关键． 根据已知设，，，然后代入进行求解． 【详解】解：因为， 所以设，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，． 6．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、比例的性质 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令即可求解． （1）把代入即可求值； （2）把代入求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令， 原式； （2）解：， 令， 故， 解得， 【考点题型四】黄金分割（共4题） 1．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是 ． 【答案】 【知识点】黄金分割、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 根据黄金分割的定义解答． 【详解】解：设， 根据题意列方程得，， 即， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·上海松江·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义列方程是解题的关键． 【详解】解：设长为x，则长为， 列方程得：， 解得：，（舍去） ∴长为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段 的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， ∴ 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知，线段，是的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，利用黄金分割的定义计算即可，若是的黄金分割点，且，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键． 【详解】解：线段，C是的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型五】三角形的重心（共6题） 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、重心的有关性质 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接，延长交于点，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点，并延长至，使得，延长交于点，连接 ∵点是重心， ∴分别为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知的重心到边上中点的距离为，那么中线的长为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质 【分析】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．根据三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，分别为的中点，则是的重心， 延长至，使得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ； ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，厘米，点为上任意一点，连接，若点P、Q分别为和的重心，则 厘米． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、重心的有关性质 【分析】本题主要考查了三角形的重心、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，理解三角形的重心是三角形三边中线的交点成为解题的关键． 如图：连接并延长交于E，连接并延长交于G，连接，连接并延长交于F，在的延长线上取一点H，使，连接，则，先证明和全等得，则，进而得是的中位线，则，同理，则，由此可得和相似，然后根据相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：如图：连接并延长交于E，连接并延长交于G，连接，连接并延长交于F，在的延长线上取一点H，使，连接，则， ∵点P，Q分别为和的重心， ∴点E，G，F为的中点，经过点Q， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵厘米， ∴厘米． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，，点为的重心． (1)若，求的值； (2)联结，若，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、重心的有关性质 【分析】（1）在的延长线上取一点，使，连接，，，的延长线交于，先证明四边形是平行四边形得，，则，是的中位线，进而得，则，设，则，，在中，由勾股定理求出，则，由此可得的值； （2）延长到，使，连接，，的延长线交于，同理四边形是平行四边形，，证明和相似得，由此得，然后在中，由勾股定理可求出，，则，进而得，最后点是的中点，即可得出的面积． 【详解】（1）解：在的延长线上取一点，使，连接，，，的延长线交于，如图1所示： 则， ∵点为的重心， ∴点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，是的中位线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； （2）解：延长到，使，连接，，的延长线交于，如图2所示： 同理：四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∴，或（不合题意，舍去）， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴， 将代入得：，或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，理解三角形的重心，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键． 5．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） (2)直接写出线段与线段之比的比值． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【知识点】解直角三角形的相关计算、重心的有关性质、重心的概念 【分析】当两个直角三角形拼成一个矩形时，两个三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是拼成的四边形的重心；当两个直角三角形拼成一个任意四边形时，四边形的两条对边线把四边形分成两对三角形，与的重心连接的线段与，与的重心连接的线段的交点就是四边形的重心； 根据重心的定义，可知四边形的重心是两个直角三角形的重心与直角三角形斜边的交点，分两种情况求出与的比值． 【详解】（1）解：如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个的直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是四边形的重心； 如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 由题意可知和是等腰三角形且，， 和的重心都在边上， 四边形的重心是线段与的交点； （2）解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 矩形对角线互相平分， ， ． 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， ， 是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ，， 点是重心， ， ，， 设， 则有， ， ， 整理得：， 解得：， ， ． 综上所述线段与线段的比值是或． 【点睛】本题主要考查了四边形的重心、三角形的重心、三角形的中线和勾股定理．解决本题的关键是根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，两个三角形拼成的四边形的中心是两个三角形重心连接的线段的中点． 6．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型六】平行线分线段成比例（共16题） 1．（23-24九年级上·上海静安·期末）在中，点、、分别在边、、上，连接、，如果，，且，那么的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据题意画出图形，利用平行线分线段成比例即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选C． 2．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，正确理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理分别列出比例式，可求得x的值，即可判断答案． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故A选项错误，不符合题意； B、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故B选项正确，符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故C选项错误，不符合题意； D，根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 4．（24-25九年级上·上海·期中）下列两个命题中： ①在四边形中，若，则． ②在四边形中，若且，则．则下列说法正确的是（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线成线段成比例，逐一进行判断即可． 【详解】解：在四边形中，若，则，故①错误； 在四边形中，若且，则：，故②正确， 证明如下： 连接并延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 5．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，它们依次交直线于点，交直线于点，已知，那么的长为 ．    【答案】4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 6．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知，它们与直线依次交于点A、B、C，点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 【答案】15 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：15． 7．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ． 【答案】2 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再将代入求出，即可求解． 【详解】解：∵， 解得． 故答案为：2． 8．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，，如果，，，那么的长是 ．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海·期中）如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 10．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例得到，，再根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据等量代换得到，于是有． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴.   将，，代入，得. 解得 ． （2）解：∵， ∴. ∵， ∴.    将，代入，得. 解得. 13．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、由平行判断成比例的线段 【分析】过点作，构造平行四边形，得到，再根据平行线分线段成比例定理，得到和，结合即可得证． 【详解】证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 14．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例．正确作出辅助线，构造平行四边形是解题关键．延长、，设交点为，则四边形为平行四边形．结合题意得出．根据平行线分线段成比例，得出，，即得出．再证明即可． 【详解】证明：延长、，设交点为，则四边形为平行四边形． 是的中点， 的延长线必过点，且． ， ． ， ． ，即． 又， ， ． ∵． ，即， ， 即． 15．（2024·上海徐汇·二模）如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、由平行判断成比例的线段、等腰梯形的判定定理 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定 （1）连结，可得，，进而即可得到结论； （2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可． 【详解】（1）证明：连结． ∵四边形是菱形， ∴； 又，， ∴，； ∴，； ∴． （2）证明：连接 ∵， ∴； ∵， ∴； 又， ∴； 又， ∴四边形是梯形； ∵,即； 又∵，即； ∵四边形是菱形， ∴； ∴； ∴； ∴梯形是等腰梯形． 16．（2024·上海黄浦·二模）如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q． (1)求证：； (2)当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】线段中点的有关计算、利用平行四边形的性质求解、根据正方形的性质证明、由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线所截线段成比例以及正方形的性质， （1）根据平行四边形的性质和中点得到是平行四边形，有，则有和，即可得到结论． （2）由正方形的性质得到，，结合中点，则有，进一步可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，即， 同理，即， ． （2）如图， 由（1）知， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似形与比例线段（考点清单，5个考点清单+6种题型解读） 相似形 相似形定义 比例线段 相似三角形 性质 定义 性质 黄金分割 三角形一边的平行线 性质定理 判定定理 推论 推论 平行线分线段成比例定理 特例 基本性质、合比、等比性质 【清单01】相似形 【清单02】比例线段 【清单03】三角形一边的平行线 【清单04】三角形的重心 【清单05】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例； 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【考点题型一】相似图形（共4题） 1．（23-24九年级上·上海静安·期末）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 2．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（ ） A．①正确，②错误B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 【考点题型二】比例的性质（共10题） 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ． 2．（23-24九年级上·上海松江·期末）若，则 ． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果，那么 ． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果（），那么 ． 5．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如果均不为零），那么的值是 ． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果，那么的值等于 ． 7．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知 ，且，试求的值． 8．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：，且，求的值． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，求代数式的值． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 【考点题型三】比例线段（共6题） 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为 ． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知：，且，求、、的值． 5．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 6．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 【考点题型四】黄金分割（共4题） 1．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是 ． 2．（23-24九年级上·上海松江·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ． 3．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知，线段，是的黄金分割点，且，则 ． 【考点题型五】三角形的重心（共6题） 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知的重心到边上中点的距离为，那么中线的长为 ． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，厘米，点为上任意一点，连接，若点P、Q分别为和的重心，则 厘米． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，，点为的重心． (1)若，求的值； (2)联结，若，且，求的面积． 5．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） (2)直接写出线段与线段之比的比值． 6．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【考点题型六】平行线分线段成比例（共16题） 1．（23-24九年级上·上海静安·期末）在中，点、、分别在边、、上，连接、，如果，，且，那么的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海·期中）下列两个命题中： ①在四边形中，若，则． ②在四边形中，若且，则．则下列说法正确的是（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 5．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，它们依次交直线于点，交直线于点，已知，那么的长为 ．    6．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知，它们与直线依次交于点A、B、C，点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 7．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ． 8．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，，如果，，，那么的长是 ．    9．（24-25九年级上·上海·期中）如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，如果，那么 ． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 11．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 12．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 13．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 14．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：． 15．（2024·上海徐汇·二模）如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 16．（2024·上海黄浦·二模）如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q． (1)求证：； (2)当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$