专题04几何证明（考点清单，3个考点清单+11种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题04几何证明（考点清单，3个考点清单+11种题型解读） 【清单01】几何证明 1.命题：判断一件事情的句子；正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题；一个命题是由题设和结论两部分组成. 2.公理和定理：从长期的实践中总结出来的真命题叫公理；从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 3.证明真命题的步骤：①根据题意作出图形，并在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设和结论，结合图形写出已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程. 4.平行线的判定与性质 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。 5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S； A.S.A； A.A.S； S.S.S； 全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 6.等腰三角形的判定与性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一） 判定1：（定义法）有两条边相等的三角形； 判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(简称：等角对等边) 7.证明常见题型 证明两直线平行、两直线垂直、两条线段相等、两个角相等、线段或角的和差倍半简单的问题； 【清单02】线段的垂直平分线与角平分线 1.逆命题和逆定理 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；若其中一个命题为原命题，则另一个叫它的逆命题； 逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是也是定理，那么这两个定理叫互逆定理，其中一个是另一个的逆定理； 2.线段的垂直平分线 3.角的平分线 4.轨迹 【清单03】直角三角形 1.直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 2.直角三角形的性质定理及推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 3.勾股定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 4.两点的距离公式 ①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为. ②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离 . 【考点题型一】命题和证明（共7题） 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．“把两个图形叠合”是命题； B．每一个命题一定有逆命题 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．每一个定理一定有逆定理 【答案】B 【知识点】判断是否是命题、判断命题真假 【分析】本题考查了命题，根据命题的定义及有关概念逐项判断即可求解，掌握命题的定义及有关概念是解题的关键． 【详解】解：、“把两个图形叠合”不是命题，不符合题意； 、每一个命题一定有逆命题，正确，符合题意； 、真命题的逆命题不一定是真命题，故错误，不符合题意； 、每一个定理一定有逆命题，但不一定是逆定理，故错误，不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题中，真命题的有（    ）个． 到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； 以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； 反比例函数，随着的增大而增大； 过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题真假 【分析】此题考查了命题，根据命题的概念判断真假即可，解题的关键是熟练掌握掌握知识点的应用和正确理解命题． 【详解】在角的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线（端点除外），故该命题是假命题； 底边为定长的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是底边的垂直平分线，底边的中点除外，故该命题是假命题； 反比例函数，在每一象限内，随着的增大而增大，故该命题是假命题； 过原点的一条直线不一定是正比例函数的图象，经过原点的可能是或轴，故该命题是假命题； 所以真命题的有个， 故选：． 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．关于某一条直线对称的两个三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】A 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了逆命题，命题真假，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】A. 关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题是两个全等的三角形关于某条直线对称，不正确，符合题意； B. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上逆命题是垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，正确，不符合题意； C. 在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等的逆命题，在一个角的内部，到这个角两边的距离相等的点在角平分线上，正确，不符合题意； D. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的逆命题是如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意， 故选A． 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）下列说法中正确的是（    ） A．“对顶角相等”没有逆命题； B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线； D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等． 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、线段垂直平分线的性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，逆命题，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，原说法错误； B. 有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，说法正确； C. 以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线（线段的中点除外），原说法错误； D. 有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误； 故选B． 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义、判断命题真假、线段垂直平分线的判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及三角形的角平分线定义、线段垂直平分线的判定、三角形的外角性质、全等三角形的判定，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线与对边的交点和这个顶点确定的线段是三角形的角平分线，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； B、和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线，故此选项结论正确，是真命题，符合题意； C、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 6．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的判断，熟练掌握直角三角形，等边三角形及全等三角形等知识是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可求解． 【详解】A、逆命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，正确，为真命题； B、逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，错误，为假命题； C、逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为，正确，为真命题； D、逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，正确，为真命题． 故选：B． 7．（24-25八年级上·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 面积相等的两个三角形全等 假 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是命题的真假判断及逆命题的概念，正确写出原命题的逆命题时解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题． 故答案为：面积相等的两个三角形全等；假． 【考点题型二】线段的垂直平分线（共7题） 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键． 根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案 【详解】解：由作法得， ∴垂直平分， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质及等腰三角形性质可得，，从而可得，即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交边于点E， 的垂直平分线交边于点N， ，， ，， ， ， ， ； 故选：B． 3．（22-23八年级上·上海·期末）如图，等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则 度． 【答案】54 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由等腰三角形中，，可求得的度数，又由线段的垂直平分线交于点D，交于点E，可求得，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵等腰三角形中，， ∴， ∴． 故答案为：54． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 【答案】40 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【详解】解：∵垂直平分、垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边于点E、F，如果，那么 ． 【答案】/30度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质求得，，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而求得即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵边的垂直平分线分别交边于点E、F， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，等腰中，，，的垂直平分线交于D，那么的度数为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质．根据等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，推出，利用角的和差关系求解即可．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据角度之间的关系进行求解即可． 【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段上， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段的延长线上， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当是钝角三角形时，点D在线段的延长线上， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为；或或． 【考点题型三】角平分线（共10题） 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】三线合一、角平分线的判定定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的面积为 ．    【答案】20 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键．过点D作于F，根据角平分线的性质定理得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点D作于F，如图，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴的面积为， 故答案为：20． 4．（23-24八年级上·上海·期末）如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质．过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分，， ∵， ∴，， ∴， ∴两平行线、之间的距离为． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 【答案】9 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作，根据角平分线的性质得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，平分， ∴， ∴的面积等于； 故答案为：9． 6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 7．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，平分，，，，求． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D 作，垂足分别为E、F，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线的性质得到，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D 作，垂足分别为E、F， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴． 9．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质和尺规作图，点到、的距离相等，则点在的角平分线上，，则点在线段的垂直平分线上，据此作出的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为点． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 10．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【详解】（1）作，垂足为点    平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2），（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 【考点题型四】轨迹问题（共3题） 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是 ． 【答案】线段的垂直平分线 【知识点】圆的基本概念辨析、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，即“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” ．利用圆的性质可以得到圆上所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到、两点的距离相等，从而得出结论． 【详解】解：圆上的所有点到圆心的距离相等， 无论圆心在哪里，所有圆心到、两点的距离相等， 到、两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上， 故答案为：线段的垂直平分线． 2．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 【答案】直线 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，由于该圆圆心到点P和到点Q的距离相等，则到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此可得经过定点的圆的圆心的轨迹是直线． 【详解】解：∵一个圆经过定点， ∴该圆圆心到点P和到点Q的距离相等， ∴该圆圆心在线段的垂直平分线上， ∴经过定点的圆的圆心的轨迹是直线， 故答案为：直线． 3．（23-24八年级上·上海·期末）以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 ． 【答案】线段的垂直平分线（底边中点除外） 【知识点】根据三角形中线求长度、线段垂直平分线的判定、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，线段垂直平分线的逆定理．根据三角形的三条中线交于一个，和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵，分别是的中点，点是的交点， 连接并延长交于点， ∴是底边的中线，也是的垂线， ∴点在底边的垂直平分线上（底边中点除外）， 故答案为：线段的垂直平分线（底边中点除外）． 【考点题型五】直角三角形的判定（共4题） 1．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，垂直平分边，交于点E，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵平分的外角，，， ∴， ∵垂直平分边， ∴， 在和中，， ∴（HL）， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，是熟练正确全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，平分，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】二次根式的加减运算、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得出，从而可证明，得出，，得出，即可推出结论； （2）根据等面积法求出的长，从而得出的长，得出的面积，可推出结果． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又，平分， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 由（1）知，， 的面积为． 3．（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先证明，得出，根据，，得出． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵，且， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在和中 ， ∴，     ∴，         ∵， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 4．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证； （2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； （2）设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键． 【考点题型六】直角三角形的性质与推论（共7题） 1．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知，在中，，，垂足为H，，且，那么 ． 【答案】12 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先根据含30度角的直角三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出，进而求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，然后利用角的和差关系可得，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）在中，，那么 度． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】取的中点D，连接，得到，结合，判定是等边三角形，利用直角三角形的两个锐角互余解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：取的中点D，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·上海·期末）中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键．根据题意，画出°和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系，设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ①当时， ， ； ②当时， ，， ， ， ； 如图2所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ， ， ， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 6．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一： （1）根据直角三角形斜边中线的性质求出，，可证； （2）证出，得出，证出，根据等腰三角形三线合一即可得出结论． 【详解】（1）证明： ，，点是的中点， ，， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， 是的角平分线， 又， ，平分， 垂直平分． 7．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，，平分交边于．求证：点在斜边的垂直平分线上； （2）如图2，在（1）的条件下，如果点是斜边上一点（不与点、重合），过点分别作，垂足分别是． 求证：； （3）如图3，在中，，点在边上，，点是斜边上一点（不与点重合），过点分别作，垂足分别是．那么结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、30度直角三角形的性质、 （1）根据题意和角平分线的定义，可以得到和的关系，然后即可得到和的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立； （2）根据30度直角三角形的性质得，，进而得出结论； （3）利用面积法得到求证即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在斜边的垂直平分线上； （2）证明：∵，， ∴， 由（1）可得， 又∵， ∴，， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型七】勾股定理（共6题） 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）下列四组线段（每组3条）中，不能构成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．1，2， C．7，14，15 D．3，4，5 【答案】C 【知识点】实数运算的实际应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意； B、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意； C、，即不能组成直角三角形，故本选项合题意； D、，即能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．直角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．在中，角所对的边是斜边的一半 D．在中，、、为三角形三边的长，若，则是直角三角形 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题． 分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据角、全等三角形的判定和含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，假命题，不符合题意； B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； C、在中，一个角所对的边是斜边的一半，则这个角的度数为，真命题，符合题意； D、在中，、、为三角形三边的长，若这个三角形为直角三角形，则，由于直角边斜边不确定，假命题，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为 ． 【答案】8或10 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为8的边是否为斜边，所以要讨论：边长为8的边为斜边；边长为8的边为直角边． 【详解】解：当边长为8的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为8； 当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为． 故该直角三角形斜边长为8或10． 故答案为：8或10． 4．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在中，，，是等边三角形，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题分别考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用已知条件建立方程模型解决问题．首先根据已知条件可以分别得到的度数，然后过E作于F，设，接着利用建立方程即可求解． 【详解】解：中，， ， 是等边三角形， ， 如图，过E作于F， ， 设， ，而， ， ， ． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海松江·期末）已知：如图，在中，，点是边中点，延长至点，使得，连接，当时，求的度数． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用勾股定理的逆定理求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理的逆定理以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：，点是边中点， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 取的中点F，连接， ， ∴， ，即的度数为 6．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答； （）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：在中，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 【考点题型八】两点间距离公式（共3题） 1．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）已知：点A的坐标为，点B坐标为，那么点A和点B两点间的距离是 ． 【答案】5 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】根据两点间距离公式求解即可． 【详解】∵点A的坐标为，点B坐标为， ∴点A和点B两点间的距离是． 故答案为：5． 【点睛】本题考查两点间距离，若，，则两点间的距离是，掌握两点间距离公式是解题的关键． 2．（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知点在轴的正半轴上，点的坐标是，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、利用平方根解方程 【分析】本题考查了两点间的距离，由点在轴的正半轴上，则设点，列出求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵点在轴的正半轴上， ∴设点， ∵，且， ∴, 解得：（舍去）或， 故答案为：． 3．（21-22八年级上·上海宝山·期末）已知：如图，平面内两点、的坐标分别为 (1)求、两点之间的距离； (2)画点，点C在线段上，且点到两边的距离相等（无需写画法，保留画图痕迹）． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】坐标与图形、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点，作轴的垂线，垂足为点，，过点作于点，根据勾股定理求解即可； （2）连接，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，作出的平分线交于点，则点即为所求． 【详解】（1）过点，作轴的垂线，垂足为点，，过点作于点，如图所示： ，， ，，，， ，， ； （2）连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，在分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接交于点，则点即为所求，如图所示： 【点睛】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，角平分线的画法，解题关键是熟练掌握两点间距离公式以及角平分线的画法． 【考点题型九】综合作图题（共2题） 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，，点在上． (1)求作：内部一点，使点到的两边、的距离相等，且；（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若上题中的点到的距离是，则的长是____________． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查角平分线的性质及作法、线段垂直平分线的性质及作法、含30度角的直角三角形的性质： （1）作的角平分线，线段的垂直平分线，两者的交点即为点P； （2）如图，根据角平分线的性质可得，再根据含30角的直角三角形的性质得出，即可得出． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）解：如图，线段的垂直平分线交于点E， 点到的距离是， ， ，由作图知是的角平分线， ， 又， ， ， 故答案为：8． 2．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内． (1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． 【答案】(1)见解析 (2)，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小 【知识点】求反比例函数解析式、作线段(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a； （2）在（1）的条件下，根据，A点的坐标为，利用勾股定理即可求P点的坐标，进而得到函数的增减性即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）由（1）可得是角平分线，设点， 过点P作轴于点E，过点A作轴于点F，于点D， ∵，A点的坐标为， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）． ∴P点的坐标为， ∴过点P的反比例函数解析式为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质、勾股定理，求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，确定点的位置． 【考点题型十】新定义与图形变换（共6题） 1．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，一直直线，与之间的距离是，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到三角形，点、的对应点分别是点、，那么的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当边上是高在形内时，当边上是高在形外时，根据勾股定理和旋转的性质求解即可． 【详解】解：当边上是高在形内时， ，，， ； 当边上是高在形外时，根据旋转可得，， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·上海·期末）如果一个三角形一边上的高等于这边的一半，我们称这样的三角形为“和谐三角形”．已知斜边为5的是“和谐三角形”，那么这个三角形的面积是 ． 【答案】或5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了“和谐三角形”，勾股定理，三角形的面积，正确理解“和谐三角形”进行分类讨论是解题的关键．分两种情况讨论：当斜边上的高等于斜边的一半时，根据直角三角形的面积公式计算即可；当一条直角边等于另一条直角边的一半时，设长直角边为x，则短直角边为，由勾股定理求出x的值，即可求出面积． 【详解】解：当斜边上的高等于斜边的一半时， 这个三角形的面积是； 当一条直角边等于另一条直角边的一半时， 设长直角边为x，则短直角边为， 由勾股定理得， 解得， 所以这个三角形的面积是， 综上，这个三角形的面积是或5， 故答案为：或5． 3．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点在线段上，连接．将沿着翻折，点的对应点是点，如果平分，且，那么点到直线的距离是 ．（结果用含a的代数式表示） 【答案】 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于，根据折叠的性质可得，，结合角平分线的性质可求的，最后利用直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 将沿着翻折， ， 平分 ，即 故答案为：． 4．（22-23八年级上·上海长宁·期末）我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫做该三角形的“偏离角度”．已知直角三角形的“偏离角度”为，斜边长为4，那么它的面积等于 ． 【答案】或 【知识点】根据三角形中线求长度、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论：①如图，当直角三角形斜边上的中线与它高夹角为时，可知，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得到，利用勾股定理求得，即可得到答案；②如图，当直角三角形直角边上的中线与它高夹角为时，可得到，利用勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：①如图，在中，为斜边的高，为斜边的中线， ,为斜边的中线， 又， ，即 ②如图，在中，为直角边的中线， 根据题意， 为直角边边的中线 ，即 解得： 综上，直角三角形的面积为或 故答案为：或． 5．（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  【答案】（1），证明见解析；（2）可以，的度数为或；（3）存在，见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即为所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形， “线垂”等腰三角形的两底角相等． 6．（24-25八年级上·上海·期末）如果点M、N分别在角的两边上，且到该角平分线上的点P的距离相等，就称点M、N是关于点P的“制衡点”，而叫点P的“制衡三角形”，已知，如图，，G为平分线上一点，，交于点E，，垂足为H，． (1)求的长； (2)如果点E、D是关于点G的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点D，并求出点G的“制衡三角形”的周长． 【答案】(1) (2)画图见解析，点G的“制衡三角形”的周长为6或 【知识点】化为最简二次根式、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在上取一点D，使得．利用全等三角形的性质证明即可； （2）分两种情形：D在线段或在的延长线上两种情形分别求解． 【详解】（1）解：在上取一点D，使得． ∵，，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，； （2）解：如图，在上截取，而， ∴，而， ∴， ∴点D，即为所求． 连接． 由题意，点E、D是关于点G的“制衡点”， ∵，而， ∴是等边三角形， ∴的周长为6； 当时， 同理：为等边三角形，而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 综上所述，点G的“制衡三角形”的周长为6或． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，化为最简二次根式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点题型十一】几何综合题（共7题） 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【详解】（1）解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 2．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知：如图，在中，，，D是边上一点（不与点B、C重合），过D且垂直于的直线与过B且垂直于的直线相交于点E，点M是的中点． (1)若N为的中点，求证：； (2)若，点D为的中点，求的长； (3)若，设，试用x的代数式表示的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质： （1）如图所示，连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的额一半可得，则由三线合一定理可得； （2）如图所示，在上取一点G使得，连接，证明，得到，求出，则，进而得到； （3）同（2）求出，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵，点M是的中点， ∴， ∴， 又∵N为的中点， ∴； （2）解；如图所示，在上取一点G使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，在上取一点G使得，连接， 同理可证明， ∵，， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴ ． 3．（21-22八年级上·上海青浦·期末）如图，在长方形中，，，，，，点O是线段的中点，过点O的直线交于点E，交于点Q．作，交直线于点P． (1)当点Q与点B重合时，求线段的长； (2)当点P在线段上时，设，求y与x的函数关系式； (3)若是等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)当或或8时，是等腰三角形 【知识点】等腰三角形的定义、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解； （2）延长交于点E，连结，证明得，由，分别表示出，整理可得y与x的函数关系式； （3）分三种情况求解：①，②，③时． 【详解】（1）中， ∴ ∵ ∴       ∵ ∴ （2）如图，延长交于点E，连结 在和中 ∴         ∴         ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴        ∴ 中， 中， ∴ ∴； （3）分三种情况： ①当时，此时        ②当时，过O作，垂足为点F ∴ ∴        ∵ ∴ ∴ ∴ ∴     ③时，．                                  综上所述，当或或8时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，函数解析式，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，分类讨论是解（3）的关键． 4．（24-25八年级上·上海·期末）小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． (1)求证； (2)点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)小明的发现是正确的，理由见解析 (3)； 【知识点】函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导出即可； （2）延长，交于点M，连接，证明，再由垂直平分线的性质得出，在直角三角形中，，即； （3）由（2），可得，在中，，整理得到，连接，当G点与C点重合时求出的长，即可求x的取值范围． 【详解】（1）证明：由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：小明的发现是正确的，理由如下： 如图，延长，交于点M，连接，如图所示： 根据旋转可知，，，， ∴B、A、D在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， 整理得，， 当G点与C点重合时，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 根据旋转可知：， 在中，， 即， 解得：， ∵点G在射线上， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，求函数解析式，求自变量的取值范围，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 6．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)如图2，设当点G在的延长线上时，，并写出定义域； (3)若为直角三角形，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后再证，最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由得，则，求出x的范围即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的面积的面积； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点G在的延长线上， ∴点G不与点C重合， ， ∵点E是边上的一个动点，， ， ， 即y关于x的解析式为； （3）解：分两种情况： ①当时，如图3所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：， ， 解得：； ②当时，如图4所示： ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，若为直角三角形，x的值为或4． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 7．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知点是等边边的中点，、分别为边、射线上的点，且． (1)如图，当，时，求的长； (2)如图，当在边上时，求证：； (3)如图，当在边的延长线上时，作于点，如果，设，，求出关于的函数关系式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（）由，，得，再根据全等，等边三角形性质求得长度； （）先由点作、垂线，再证，再证，再结合有一个角为的直角三角形的特点，从而得出； （）先由点作的垂线，再用图中线段表示出和，然后求出和之间的关系； 本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于，作于，如图， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ∴ ∴， ∴； （3）解：过点作于，如图， 同（）的方法可得：，，， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， ∴关于的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04几何证明（考点清单，3个考点清单+11种题型解读） 【清单01】几何证明 1.命题：判断一件事情的句子；正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题；一个命题是由题设和结论两部分组成. 2.公理和定理：从长期的实践中总结出来的真命题叫公理；从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 3.证明真命题的步骤：①根据题意作出图形，并在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设和结论，结合图形写出已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程. 4.平行线的判定与性质 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。 5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S； A.S.A； A.A.S； S.S.S； 全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 6.等腰三角形的判定与性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一） 判定1：（定义法）有两条边相等的三角形； 判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(简称：等角对等边) 7.证明常见题型 证明两直线平行、两直线垂直、两条线段相等、两个角相等、线段或角的和差倍半简单的问题； 【清单02】线段的垂直平分线与角平分线 1.逆命题和逆定理 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；若其中一个命题为原命题，则另一个叫它的逆命题； 逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是也是定理，那么这两个定理叫互逆定理，其中一个是另一个的逆定理； 2.线段的垂直平分线 3.角的平分线 4.轨迹 【清单03】直角三角形 1.直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 2.直角三角形的性质定理及推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 3.勾股定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 4.两点的距离公式 ①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为. ②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离 . 【考点题型一】命题和证明（共7题） 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．“把两个图形叠合”是命题； B．每一个命题一定有逆命题 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．每一个定理一定有逆定理 2．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题中，真命题的有（    ）个． 到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； 以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； 反比例函数，随着的增大而增大； 过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．关于某一条直线对称的两个三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）下列说法中正确的是（    ） A．“对顶角相等”没有逆命题； B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线； D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等． 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 6．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 7．（24-25八年级上·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 【考点题型二】线段的垂直平分线（共7题） 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·上海·期末）如图，等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则 度． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边于点E、F，如果，那么 ． 6．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，等腰中，，，的垂直平分线交于D，那么的度数为 ． 7．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 ． 【考点题型三】角平分线（共10题） 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的面积为 ．    4．（23-24八年级上·上海·期末）如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 5．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 7．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，平分，，，，求． 9．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 10．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【考点题型四】轨迹问题（共3题） 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是 ． 2．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 3．（23-24八年级上·上海·期末）以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 ． 【考点题型五】直角三角形的判定（共4题） 1．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，垂直平分边，交于点E，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H．求证：． 2．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，平分，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 3．（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 4．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【考点题型六】直角三角形的性质与推论（共7题） 1．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知，在中，，，垂足为H，，且，那么 ． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 3．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 4．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）在中，，那么 度． 5．（24-25八年级上·上海·期末）中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 6．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 7．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，，平分交边于．求证：点在斜边的垂直平分线上； （2）如图2，在（1）的条件下，如果点是斜边上一点（不与点、重合），过点分别作，垂足分别是． 求证：； （3）如图3，在中，，点在边上，，点是斜边上一点（不与点重合），过点分别作，垂足分别是．那么结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【考点题型七】勾股定理（共6题） 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）下列四组线段（每组3条）中，不能构成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．1，2， C．7，14，15 D．3，4，5 2．（23-24八年级上·上海青浦·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．直角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．在中，角所对的边是斜边的一半 D．在中，、、为三角形三边的长，若，则是直角三角形 3．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为 ． 4．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在中，，，是等边三角形，，则 ． 5．（23-24八年级上·上海松江·期末）已知：如图，在中，，点是边中点，延长至点，使得，连接，当时，求的度数． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【考点题型八】两点间距离公式（共3题） 1．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）已知：点A的坐标为，点B坐标为，那么点A和点B两点间的距离是 ． 2．（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知点在轴的正半轴上，点的坐标是，且，则点的坐标是 ． 3．（21-22八年级上·上海宝山·期末）已知：如图，平面内两点、的坐标分别为 (1)求、两点之间的距离； (2)画点，点C在线段上，且点到两边的距离相等（无需写画法，保留画图痕迹）． 【考点题型九】综合作图题（共2题） 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，，点在上． (1)求作：内部一点，使点到的两边、的距离相等，且；（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若上题中的点到的距离是，则的长是____________． 2．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内． (1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． 【考点题型十】新定义与图形变换（共6题） 1．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，一直直线，与之间的距离是，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到三角形，点、的对应点分别是点、，那么的长为 ． 2．（24-25八年级上·上海·期末）如果一个三角形一边上的高等于这边的一半，我们称这样的三角形为“和谐三角形”．已知斜边为5的是“和谐三角形”，那么这个三角形的面积是 ． 3．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点在线段上，连接．将沿着翻折，点的对应点是点，如果平分，且，那么点到直线的距离是 ．（结果用含a的代数式表示） 4．（22-23八年级上·上海长宁·期末）我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫做该三角形的“偏离角度”．已知直角三角形的“偏离角度”为，斜边长为4，那么它的面积等于 ． 5．（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  6．（24-25八年级上·上海·期末）如果点M、N分别在角的两边上，且到该角平分线上的点P的距离相等，就称点M、N是关于点P的“制衡点”，而叫点P的“制衡三角形”，已知，如图，，G为平分线上一点，，交于点E，，垂足为H，． (1)求的长； (2)如果点E、D是关于点G的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点D，并求出点G的“制衡三角形”的周长． 【考点题型十一】几何综合题（共7题） 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 2．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知：如图，在中，，，D是边上一点（不与点B、C重合），过D且垂直于的直线与过B且垂直于的直线相交于点E，点M是的中点． (1)若N为的中点，求证：； (2)若，点D为的中点，求的长； (3)若，设，试用x的代数式表示的长． 3．（21-22八年级上·上海青浦·期末）如图，在长方形中，，，，，，点O是线段的中点，过点O的直线交于点E，交于点Q．作，交直线于点P． (1)当点Q与点B重合时，求线段的长； (2)当点P在线段上时，设，求y与x的函数关系式； (3)若是等腰三角形，求的长． 4．（24-25八年级上·上海·期末）小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． (1)求证； (2)点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 6．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)如图2，设当点G在的延长线上时，，并写出定义域； (3)若为直角三角形，求x的值． 7．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知点是等边边的中点，、分别为边、射线上的点，且． (1)如图，当，时，求的长； (2)如图，当在边上时，求证：； (3)如图，当在边的延长线上时，作于点，如果，设，，求出关于的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$