专题02 一元二次方程（考点清单，5个考点清单+6种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题02 一元二次方程（考点清单，5个考点清单+6种题型解读） 【清单01】一元二次方程的概念 一元二次方程 【清单02】一元二次方程的解法 解法 【清单03】一元二次方程的判别式 【清单04】二次三项式的因式分解 步骤： 【清单05】一元二次方程的应用题 一般步骤： 【考点题型一】一元二次方程的概念（共4题） 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海宝山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为 ． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知是方程的一个根，那么 ． 4．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有一个根是，那么 ． 【考点题型二】一元二次方程的解法（共9题） 1．（23-24八年级上·上海·期末）的根为 ． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末） （1）解方程：； （2）解方程：． 3．（23-24八年级上·上海金山·期末） （1）用配方法解方程：         （2）解方程： 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）解方程：． 5．（24-25八年级上·上海·期末）解方程：． 6．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 7．（22-23八年级上·上海静安·期末）解方程：. 8．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 9．（21-22八年级上·上海青浦·期末）解方程： 【考点题型三】一元二次方程根与系数关系（共3题） 1．（23-24八年级上·上海·期末）设是方程的两个根， ． 2．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为和： ． 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于x的方程的两个实数根为、，且，求k的值． 【考点题型四】一元二次方程的判别式（共8题） 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．（23-24八年级上·上海金山·期末）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列关于x的一元二次方程中一定没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 5．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是 ． 6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断关于y的方程的根的情况，并说明理由． 7．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 8．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断方程的根的情况，并说明理由． 【考点题型五】二次三项式因式分解（共4题） 1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式： ． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内分解因式： ． 3．（23-24八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解 ． 4．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在实数范围内分解因式 ． 【考点题型六】一元二次方程的应用（共10题） 1．（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是(　　) A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期末）某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元，则每次降价的百分率是 ． 4．（23-24八年级上·上海崇明·期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 5．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 6．（22-23八年级上·上海静安·期末）某工厂10月份的产值是100万元，计划12月份的产值要达到144万元，并每月以相同的增长率增长．如果设这个增长率为，由题意可列出关于的方程是 ． 7．（22-23八年级上·上海青浦·期末）某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为，那么可列方程 ． 8．（23-24八年级上·上海长宁·期末）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． (1)该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过的用水量为　　　吨，超过部分应交水费　　　元（用含x的式子表示）． (2)如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 9．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 10．（21-22八年级上·上海静安·期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程（考点清单，5个考点清单+6种题型解读） 【清单01】一元二次方程的概念 一元二次方程 【清单02】一元二次方程的解法 解法 【清单03】一元二次方程的判别式 【清单04】二次三项式的因式分解 步骤： 【清单05】一元二次方程的应用题 一般步骤： 【考点题型一】一元二次方程的概念（共4题） 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义：“只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程”． 【详解】解：A．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（22-23八年级上·上海宝山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】6 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ， 解得， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知是方程的一个根，那么 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程，将代入原方程即可求出m的值． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的方程有一个根是，那么 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握定义“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 【详解】把 代入方程得：， 故答案为：． 【考点题型二】一元二次方程的解法（共9题） 1．（23-24八年级上·上海·期末）的根为 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程左边正好是一个完全平方式，利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是关键． 【详解】解：（1）∵； ∴， 则， ∴， ∴或， ∴， （2）∵ ∴整理得， 则， ∴， ∴，． 3．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）用配方法解方程：         （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）移项得：， 配方得： ，即：， 开方得：， 解得：，． （2）移项得：， 因式分解得：， 即：或， 解得：，． 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）解方程：． 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——配方法、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握配方法、因式分解法等一元二次方程的解法． 利用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得，． 5．（24-25八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．首先把一元二次方程化为一般形式，然后再用公式法解方程． 【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 6．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得． 7．（22-23八年级上·上海静安·期末）解方程：. 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】先化为一般式，然后根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， 即， ∵，， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 8．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把右式移到左边，把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 9．（21-22八年级上·上海青浦·期末）解方程： 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，． ∴原方程的解为，． 【考点题型三】一元二次方程根与系数关系（共3题） 1．（23-24八年级上·上海·期末）设是方程的两个根， ． 【答案】177 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】 本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．根据根与系数的关系及根的定义得到，，然后利用整体代入的方法计算计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：177． 2．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为和： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系．先计算3与的和与积，则根据根与系数的关系得到方程，然后把系数化为整数系数即可． 【详解】解：，， 以3和为根的一元二次方程可为， 即． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于x的方程的两个实数根为、，且，求k的值． 【答案】0或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，，利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，解得且，再利用根与系数的关系得到，所以当时，利用判别式的意义得到；当时，，然后分别解方程得到k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 关于x的方程的两个实数根为、， ， ， 或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，k的值为0或 【考点题型四】一元二次方程的判别式（共8题） 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据方程的根的判别式判断即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， 且， ∴， ∴方程没有实数根， 故选A． 2．（23-24八年级上·上海金山·期末）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故选：A． 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列关于x的一元二次方程中一定没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式：一元二次方程的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、∵，∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、整理方程为，∵，∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、∵，∴该方程无实数根，符合题意， 故选：D． 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有根的情况求参数，以及解一元一次不等式组，利用根的判别式以及二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴，， 解得：且． 故答案为：且. 6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断关于y的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】关于y的方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【知识点】一元一次方程的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到，即，再把原方程整理得到，进而求出，据此可得结论． 【详解】解：关于y的方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于y的方程有两个不相等的实数根． 7．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 8．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元一次方程的定义 【分析】本题考查根的判别式，根据一元一次方程的定义，得到，将整理为一元二次方程的一般形式，求出判别式的符号，即可得出结论． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∵，整理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【考点题型五】二次三项式因式分解（共4题） 1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解． 【详解】解：时，， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数范围内分解因式．利用公式法求出方程的解，从而得出答案． 【详解】解：方程的，，， △， ， ， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式、公式法解一元二次方程 【分析】先求出方程的两个根，再因式分解． 【详解】∵的根为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键． 【考点题型六】一元二次方程的应用（共10题） 1．（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，如果设每件降价x，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件，根据每天要盈利1600元，即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得：． 故选：B． 2．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查列一元二次方程，设长为米，则宽为米，根据面积等于长乘宽列方程即可． 【详解】解：如果设长为米，则宽为米， 由此可得， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期末）某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元，则每次降价的百分率是 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设每次降价的百分率是，再根据“原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元”，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设每次降价的百分率是， ∵原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元， ∴ ∴（舍去） ∴每次降价的百分率是． 故答案为： 4．（23-24八年级上·上海崇明·期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为元，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据经过两次促销降价后的价格为164元，列出方程即可． 【详解】解：设两次降价的百分率都是x，由题意，得：； 故答案为：． 6．（22-23八年级上·上海静安·期末）某工厂10月份的产值是100万元，计划12月份的产值要达到144万元，并每月以相同的增长率增长．如果设这个增长率为，由题意可列出关于的方程是 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这个增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设这个增长率为，由题意可列出关于的方程是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 7．（22-23八年级上·上海青浦·期末）某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为，那么可列方程 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这个增长率为，根据十月份的销售额达到1352万元列方程即可． 【详解】解：设这个增长率为，由题意得 ． 故答案为：． 【点睛】此类考查了一元二次方程的应用－增长率，要注意增长的基础，解决此题的关键是根据题意找到数量关系． 8．（23-24八年级上·上海长宁·期末）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． (1)该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过的用水量为　　　吨，超过部分应交水费　　　元（用含x的式子表示）． (2)如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 【答案】(1)， (2)60吨 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． （1）根据题意列式即可； （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）依题意得：超过的用水量为吨， ∴超过部分应交水费元， 故答案为：，； （2）解：根据表格提供的数据，可以知道， 由题意得， 解得， ， ， 答：该x吨是60吨． 9．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【答案】比赛区域的长为16米，宽为9米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，根据比赛场地的面积为144平方米列出一元二次方程，求解即可，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，由题意得 ， 解得（舍去）， ∴米，米， 所以，比赛区域的长为16米，宽为9米． 10．（21-22八年级上·上海静安·期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的实际应用 【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间． 【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$