12.2 三角形的性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

12.2 三角形的性质 数学（北京版） 八年级 上册 第十二章 三角形 学习目标 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°； 2.会运用三角形内角和定理进行计算； 3.掌握三角形的三边关系，能运用三角形三边关系解决有关的问题； 　 导入新课 思考：观察下面这些图片，你发现了什么？ 讲授新课 知识点一 三角形的内角和 问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究． 1 3 2 1 3 2 讲授新课 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 讲授新课 （1）在下图中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？ 直线l与边BC平行． B B C C A l 讲授新课 （2）在操作过程中,我们发现了与边BC 平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角 的定义即可证明结论． B B C C A l 讲授新课 （3）结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？ 已知：△ABC . 求证:∠A+∠B+∠C=180°. A B C 2 4 1 5 3 　 l 讲授新课 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC，所以∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) 因为∠2+∠1+∠BAC=180°， 所以∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 讲授新课 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， 所以∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又因∠1+∠2+∠ACB=180°， 所以∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 三角形内角和定理： 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°. 讲授新课 典例精析 【例1】 求出下列各图中的 x 值. x = 70 x = 60 x = 30 x = 50 讲授新课 练一练 1、 如图，在△ABC 中，∠B = 42°，∠C = 78°，AD 平分∠BAC． 求∠ADC 的度数. 解：∵∠B = 42°，∠C = 78°， ∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 60°. ∵ AD 平分∠BAC， ∴∠CAD = ∠BAC = 30°. ∴∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 72°. 讲授新课 2、 解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 讲授新课 知识点二 三角形的三边关系 （1） 元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。 装有黄色彩灯的电线长 因为两点之间线段最短，所以装有红色彩灯的电线要短. 讲授新课 （2）在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系? A B C a b c 由此可以得到： 解：两点之间线段最短. 讲授新课 画一个任意三角形分别量出其三边长度，并填空。 计算三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？ 三角形任意两边之差小于第三边 a b c a ＝_______ b ＝_______ c ＝_______ 我们可以得出三角形第三边的取值范围是： 第三边＞两边之差 第三边＜两边之和 讲授新课 典例精析 【例1】有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？ 如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范围是什么？ 讲授新课 解：取长度为2cm的木棒时，由于 2＋5＝7＜8，出现了两边之和小于第三 边的情况，所以它们不能摆成三角形. 取长度为13 cm的木棒时，由于5＋8＝13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形. 8-5 < x < 5+8 3 < x < 13 讲授新课 练一练 1.一个三角形的三边长分别为4，9，x，那么x的取值范围是(　　) A．5＜x＜13 B．4＜x＜9 C．－5＜x＜13 D．x＞5 A 讲授新课 知识点三 三角形的稳定性 思考：图片中的这些物体都用到了三角形，为什么呢? 这说明三角形有它所独有的性质，是什么呢？ 探究：把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 发现：三角形木架的形状不会改变，说明三角形具有稳定性. 讲授新课 探究：把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 发现：四边形木架的形状会改变，说明四边形不具有稳定性，也即说明四边形具有不稳定性. 讲授新课 探究：在四边形木架上再钉一根木条，将四边形的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 发现：钉了一根木条的四边形木架的形状不会改变. 原因：斜钉了一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形具有稳定性，所以四边形木架的形状不会改变. 讲授新课 三角形的稳定性 只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”. 这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动或拉不动”的问题，其实质应是“三角形的边长一旦确定，其形状和大小就确定了”. 四边形的不稳定性 四边形具有不稳定性. 讲授新课 典例精析 【例3】 盖房子时，在窗框未安装好之前，工人师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢?生活中还有哪些是利用了这个原理？ 解：利用三角形的稳定性. 四边形不稳定,容易变形。斜钉一根木条后，就形成了两个三角形，利用三角形的稳定性可以预防窗框变形。 讲授新课 练一练 1、 下列图形中具有稳定性的是（ ） （A）正方形 （B）长方形 （C）直角三角形 （D）平行四边形 C 2、 × √ × √ × √ 下列图形是否具有稳定性？ 讲授新课 3、 要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,那么要使五边形木架、六边形木架、七边形木架保持稳定该怎么办呢? 方法总结 为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式. 当堂检测 1.下列图形不具有稳定性的是 (  ) A、正方形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形 A 2.下列图形中，具有稳定性的有 （填序号）。 ②③④ 当堂检测 B 3.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(　　) A．14 B．10 C．3 D．2 当堂检测 4.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？ 因为x为偶数，所以小颖有5种选法. 第三根木棒的长度可以是4cm，6cm，8cm，10cm，12cm. 解：设第三根木棒长为xcm，有8-5＜x＜8+5， 即3＜x＜13. 当堂检测 5.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F. (1)试说明∠BCD＝∠ECD； (2)请找出图中所有与∠B相等的角． 当堂检测 解：(1)因为∠B＝70°，CD⊥AB于点D， 所以∠BCD＝90°－70°＝20°. 在△ABC中，因为∠A＝30°，∠B＝70°， 所以∠ACB＝180°－30°－70°＝80°. 因为CE平分∠ACB， 所以∠BCE＝ ∠ACB＝40°. 所以∠ECD＝∠BCE－∠BCD ＝40°－20°＝20°. 所以∠BCD＝∠ECD. 课堂小结 三角形三个内角的和等于180°. 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 应用 三角形具有稳定性. 四边形及其他多边形都不具有稳定性. 图形的稳定性和不稳定性无好坏之分，均有利用价值. 谢 谢~ $$