专题15线段垂直平分线的五种常见题型-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

专题15线段垂直平分线的五种常见题型 题型01线段垂直平分线的作法在确定点的位置中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， 凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：A． 【例1-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边垂直平分线的交点的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边垂直平分线的交点的性质． 根据到三个村庄的距离相等，即确定一个点到三角形三个顶点都相等，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得这个点是三角形三个垂直平分线的交点． 【详解】解：∵由三条公路连接的A，B，C三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等， 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点， ∴这个集贸市场应建在三角形三边垂直平分线的交点处． 故选：D． 【例1-3】（23-24八年级上·河北邯郸·单元测试）如图，点表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在 的交点处． 【答案】三边的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 要使仓库到的距离相等，说明仓库在的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答． 【详解】解：∵仓库到三个车间的距离相等， ∴仓库应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故答案为：三边的垂直平分线． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 【变式1-2】（22-23七年级下·河南开封·阶段练习）如图，A、B两个大型购物商场在公路l的同侧，现欲在公路边修建一个仓库．    (1)仓库建在何处，才能使仓库到A、B两商场的距离相等？请用尺规作图作出仓库的位置； (2)仓库建在何处，才能使仓库到A、B两商场的距离的和最小？在图中作出仓库应建的位置． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质作图； （2）先作A关于公路l的对称点，再连接交公路l于Q，Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，点P为仓库应建的位置，    （2）解：如图，点Q为仓库应建的位置．    【点睛】本题考查了最短路径、垂直平分线的性质以及作图的应用与设计，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键 【变式1-3】（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，直线l表示一条公路，点表示两个村庄，现在要在公路l上建一个垃圾中转站P，并使垃圾中转站P到两个村庄的距离相等，垃圾中转站P应建在何处？在图上标注出垃圾中转站P的位置．（不写过程，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】连接，作出线段的垂直平分线与直线l的交点即为所求． 【详解】解：如图，点P为所求垃圾中转站的位置． 【点睛】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知线段垂直平分线的性质以及作法是解答此题的关键． 题型02线段垂直平分线的性质在求线段长中的应用 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：先利用基本作图得到垂直平分，，从而可求出． 【详解】解：由基本作图得到垂直平分， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 【例2-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的边的垂直平分线交于点D．连接．若，则 ． 【答案】5 【分析】先求出，再由线段垂直平分线的性质推出，即可作答．本题考查线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质定理的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∵D在的垂直平分线上， ∴ 故答案为：5． 【例2-3】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用的周长为9和等线段代换得到，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即, ∵的周长为9， ∴， ∴，即， ∴的周长． 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长，的周长，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质；由线段垂直平分线的性质得，由的周长及的周长，得，，即可求得结果． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点、交于点，的周长等于．    (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16cm 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质， （1）根据垂直平分线的性质得即可证明； （2）根据题意可知求得，由（1）知：即可． 【详解】（1）证明： 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长等于． ， ， ， 由（1）知：， ． 题型03线段垂直平分线的性质在求角的度数中的应用 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例3-2】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点，垂直平分，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是关键．由角平分线和垂直平分线的性质可推出，然后利用三角形内角和定理可求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例3-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若长为16，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据对顶角相等、直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质计算即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和 ∴， ∴的周长 ． ∵， ∴的周长为； （2）∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用．根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示，结合图形及已知条件，不难得出；再结合三角形外角的性质不难得到，由此分析即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示． ， ， ． ，，且，， ． 故选：B． 【变式3-2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接，如图，利用基本作图得到点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出． 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， 点为的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在四边形中，，，点，分别是线段上的动点．当的周长最小时，则的度数为多少度？ 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称——最短路径问题，三角形外角性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握最短路径问题是解题的关键．要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，即可得出，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：作出关于和的对称点，连接，交于点，交于点，则即为的周长最小值，作延长线， ， ， ， 由折叠可知：， ，， ， ． 题型04线段垂直平分线的性质在判断两线位置关系中的应用 【典例分析】 【例4-1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，，，交于点O，与有怎样的位置关系？与有怎样的大小关系？为什么？ 【答案】是的垂直平分线，，理由见解析 【分析】根据中垂线的判定：到线段两个端点距离相等的点在线段的中垂线上，和中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等求解． 【详解】解：是的垂直平分线，． 理由为： ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 【点睛】本题考查了中垂线的判定和性质． 【例4-2】（21-22八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段AB上，CF为线段DE的垂直平分线，AC= EB，AD=BC试探究AD与EB的位置关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】由线段垂直平分线的性质得出CD=CE，证明△ADC≌△BCE（SSS），由全等三角形的性质得出∠A=∠B，则可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 证明：∵CF为线段DE的垂直平分线， ∴CD＝CE， 在△ADC和△BCE中， ∴△ADD≌△BCE ∴∠A＝∠B， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ADC≌△BCE 【例4-3】（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，，点E，F分别是，的中点． （1）求证：； （2）试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）EF⊥AB，理由见解析 【分析】（1）如图，作辅助线；证明EM⊥AB，由AM=BM，得到EM为AB的垂直平分线；进而得到∠EAB=∠EBA，∠FAB=∠FBA，即可解决问题． （2）由E、F、M三点共线，且FM⊥AB，得到EF⊥AB． 【详解】解：（1）证明：如图，取AB的中点M，连接EM、FM； ∵点E，F分别是AC，BD的中点， ∴EM∥BC，FM∥AD； ∵∠ABC=∠BAD=90°， ∴EM⊥AB，FM⊥AB， ∴EM、FM重合，即E、F、M三点共线； ∵EM⊥AB，且平分AB， ∴EA=EB，FA=FB， ∴∠EAB=∠EBA，∠FAB=∠FBA， ∴∠EAF=∠EBF． （2）证明：∵E、F、M三点共线，且FM⊥AB， ∴EF⊥AB． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、平行线的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造中位线． 【变式演练】 【变式4-1】（20-21八年级上·四川自贡·期中）如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明． 【答案】OI⊥BC，证明见详解 【分析】首先连接OA，过点I作IM⊥OB于点M，过点I作IN⊥OC于点N，过点I作IG⊥BC于点G，由OE，OF分别是AB，AC边的中垂线，可得OA＝OB＝OC，又由∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，可得点I在∠BOC的角平分线上，然后由三线合一，证得结论． 【详解】解：OI⊥BC． 理由：连接OA，过点I作IM⊥OB于点M，过点I作IN⊥OC于点N，过点I作IG⊥BC于点G， ∵OE，OF分别是AB，AC边的中垂线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∵∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I， ∴IM＝IG，IN＝IG， ∴IM＝IN， ∴点I在∠BOC的角平分线上， ∵OB＝OC， ∴OI⊥BC． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 【变式4-2】（八年级上·湖南常德·期末）如图，在四边形中，，，，，动点E从A点出发，以的速度向B点移动，设移动的时间为. (1)当x为何值时，点E在线段的垂直平分线上？ (2)在(1)的条件下，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)当时，点E在线段的垂直平分线上 (2)与的位置关系是理由见解析 【分析】（1）根据题意，，，结合，当，时，继而得到，可证点E在线段的垂直平分线上，此时，． （2）根据，得，根据，得，继而得到，得到可证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂直的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∵， ∴，时， ∵， ∴， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴． 故当时，点E在线段的垂直平分线上． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，点是线段上一点，且满足，连接交于点O．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积的计算，角平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到； （3）由（2）知，，根据线段垂直平分线的性质得到CG⊥BE，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长为10． 题型05线段垂直平分线的性质在证明线段和倍关系中的应用 【典例分析】 【例5-1】（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，和是等腰直角三角形，其中，，，过A点作，垂足为点F． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定： （1）先证明，再利用即可证明； （2）延长到G，使，连接，先证明，，由角平分线的定义得到，据此证明，得到，再根据线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例5-2】（20-21八年级上·江西南昌·期中）如图，中平分，垂直平分交于P，于E． (1)当时，的度数是________； (2)求证：． 【答案】(1)124° (2)证明见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质推出，即可得出结果； （2）过点作与点，利用证明得出，，再利用证明得出，即可推出结论． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，过点作于点， 是的平分线， ， ，， ． 在和中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【例5-3】（23-24八年级上·山东日照·期中）如图,已知在中边的垂直平分线与的平分线交于点,交的延长线于点,交于点．求证: (1); (2)猜想线段的数量关系,并进行证明． 【答案】(1)证明见解析 (2),证明见解析 【分析】（1）根据题意连接，根据垂直平分线性质及角平分线性质证明,即可得到本题答案, （2）根据题意判定，再利用全等三角形性质及边的转化即可得到本题答案． 【详解】（1）证明：连接, ∵垂直平分, ∴, ∵平分,, ∴, ∴, ∴, （2）解:猜想:, 证明：在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线性质,全等三角形判定及性质,角平分线性质．添加辅助线构造全等三角形是关键． 【变式演练】 【变式5-1】（21-22七年级下·山东烟台·期末）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且． (1)求证：为的角平分线； (2)探究，，之间的数量关系并给出证明 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明≌，可得，再证明≌，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得． 【详解】（1）证明：连接CD，BD，如图所示： 为的垂直平分线， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， 为的角平分线； （2）解：，理由如下： ≌， ， 又， ， 即， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键 【变式5-2】（八年级上·山东德州·期末）如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G． （1）求证： AB+AC=2AG． （2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析；（2）18cm 【分析】(1)连接BE、EC,只要证明Rt△BFE≌Rt△CGE，得BF=CG,再证明Rt△AFE≌Rt△AGE得：AF=AG，根据线段和差定义即可解决. （2由AG=5cm可得AB+AC=10cm即可得出△ABC的周长. 【详解】(1)延长AB至点M，过点E作EF⊥BM于点F ∵AE平分∠BAC    EG⊥AC于点G ∴EG=EF,∠EFB=∠EGC=90° 连接BE，EC ∵点D是BC的中点，DE⊥BC ∴BE=EC 在Rt△BFE与Rt△CGE中 ∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL） ∴BF=GC ∵AB+AC=AB+AG+GC ∴AB+AC =AB+BF+AG   =AF+AG 在Rt△AFE与Rt△AGE中 ∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL） ∴AF=AG ∴AB+AC=2AG (2)∵AG=5cm, AB+AC=2AG ∴AB+AC=10cm 又∵BC=8cm ∴△ABC的周长为AB+AC+BC=8+10=18cm． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型. 【变式5-3】（23-24八年级上·山东临沂·期中）综合与实践、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在与中，，，，B，F，C三点在一条直线上，连接EF交AB于点D．则线段与、的数量关系是______，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在中，，以AC为边，作，满足，E为BC上一点，连接AE，，连接，求证：． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质． （1）证明，得到，根据，即可得出结论； （2）延长至G，使，连接，推出垂直平分，得到，，证明，得到，根据，即可得出结论． 掌握全等三角形的判定方法，构造全等三角形，是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 又∵． ∴； （2）如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 证明：在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线性质,全等三角形判定及性质,角平分线性质．添加辅助线构造全等三角形是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15线段垂直平分线的五种常见题型 题型01线段垂直平分线的作法在确定点的位置中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【例1-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【例1-3】（23-24八年级上·河北邯郸·单元测试）如图，点表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在 的交点处． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【变式1-2】（22-23七年级下·河南开封·阶段练习）如图，A、B两个大型购物商场在公路l的同侧，现欲在公路边修建一个仓库．    (1)仓库建在何处，才能使仓库到A、B两商场的距离相等？请用尺规作图作出仓库的位置； (2)仓库建在何处，才能使仓库到A、B两商场的距离的和最小？在图中作出仓库应建的位置． 【变式1-3】（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，直线l表示一条公路，点表示两个村庄，现在要在公路l上建一个垃圾中转站P，并使垃圾中转站P到两个村庄的距离相等，垃圾中转站P应建在何处？在图上标注出垃圾中转站P的位置．（不写过程，保留作图痕迹） 题型02线段垂直平分线的性质在求线段长中的应用 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的边的垂直平分线交于点D．连接．若，则 ． 【例2-3】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长，的周长，则的长为 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点、交于点，的周长等于．    (1)证明：； (2)求的长． 题型03线段垂直平分线的性质在求角的度数中的应用 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点，垂直平分，则的度数为 ． 【例3-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若长为16，求的周长； (2)若，求的度数． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在四边形中，，，点，分别是线段上的动点．当的周长最小时，则的度数为多少度？ 题型04线段垂直平分线的性质在判断两线位置关系中的应用 【典例分析】 【例4-1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，，，交于点O，与有怎样的位置关系？与有怎样的大小关系？为什么？ 【例4-2】（21-22八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段AB上，CF为线段DE的垂直平分线，AC= EB，AD=BC试探究AD与EB的位置关系，并说明理由． 【例4-3】（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，，点E，F分别是，的中点． （1）求证：； （2）试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【变式演练】 【变式4-1】（20-21八年级上·四川自贡·期中）如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明． 【变式4-2】（八年级上·湖南常德·期末）如图，在四边形中，，，，，动点E从A点出发，以的速度向B点移动，设移动的时间为. (1)当x为何值时，点E在线段的垂直平分线上？ (2)在(1)的条件下，判断与的位置关系，并说明理由． 【变式4-3】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，点是线段上一点，且满足，连接交于点O．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 题型05线段垂直平分线的性质在证明线段和倍关系中的应用 【典例分析】 【例5-1】（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，和是等腰直角三角形，其中，，，过A点作，垂足为点F． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 【例5-2】（20-21八年级上·江西南昌·期中）如图，中平分，垂直平分交于P，于E． (1)当时，的度数是________； (2)求证：． 【例5-3】（23-24八年级上·山东日照·期中）如图,已知在中边的垂直平分线与的平分线交于点,交的延长线于点,交于点．求证: (1); (2)猜想线段的数量关系,并进行证明． 【变式演练】 【变式5-1】（21-22七年级下·山东烟台·期末）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且． (1)求证：为的角平分线； (2)探究，，之间的数量关系并给出证明 【变式5-2】（八年级上·山东德州·期末）如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G． （1）求证： AB+AC=2AG． （2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长． 【变式5-3】（23-24八年级上·山东临沂·期中）综合与实践、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在与中，，，，B，F，C三点在一条直线上，连接EF交AB于点D．则线段与、的数量关系是______，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在中，，以AC为边，作，满足，E为BC上一点，连接AE，，连接，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$