专题01 二次根式（考点清单，5个考点清单+5种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题01 二次根式（考点清单，5个考点清单+5种题型解读） 【清单01】二次根式的定义 二次根式 【清单02】最简二次根式 最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式. 【清单03】同类二次根式 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【清单04】二次根式的运算 【清单05】分母有理化 【考点题型一】二次根式（共5题） 1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数为非负数以及分母不为0，据此即可列式计算作答． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， 解得 故答案为： 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质即可化简得出答案．本题主要考查二次根式的性质与化简，关键是熟练掌握二次根式的性质． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如果等式成立，需要添加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列不等式组即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）当时，化简 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）当时， . 【答案】/// 【分析】根据不等式的性质可得，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】最简二次根式和同类二次根式（共4题） 1．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，符合题意； D、是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海宝山·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简最简二次根式的方法是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行解题即可 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误； B、与不是同类二次根式，故B错误； C、与不是同类二次根式，故C错误； D、与是同类二次根式，故D正确； 故选：D． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，根据：“被开方数相同的最简二次根式，叫做同类二次根式”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不符合题意； B、，，是同类二次根式，符合题意； C、，不是同类二次根式，不符合题意； D、不是同类二次根式，不符合题意； 故选B． 【考点题型三】二次根式的运算（共20题） 1．（24-25八年级上·上海·期末）计算：＝ ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握化简二次根式为最简二次根式． 先把二次根式化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 2．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及性质是解题的关键．根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算乘法和分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 6．（23-24八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】此题考查了二次根式的化简和分母有理化，根据二次根式的化简法则依次化简后再计算加减法，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 7．（23-24八年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 先根据完全平方公式计算，然后进行分母有理化后合并即可． 【详解】解： ． 8．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：. 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 9．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）化简：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用完全平方公式、平方差公式、二次根式的性质、零指数幂公式分别化简，再进行加减运算即可得到结果，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 10．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）． 【答案】． 【知识点】分母有理化、二次根式的乘法 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据法则计算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则的应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 11．（23-24八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 12．（23-24八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和分母有理化是解决问题的关键． 先根据二次根式的乘法和分母有理化的方法运算，然后化简后合并即可． 【详解】解： ． 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 14．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．先算除法及乘法，再算加减即可． 【详解】解： ． 15．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：（）． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式乘除法和性质，先根据二次根式的乘除法运算法则计算，再利用性质化简即可求解．掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 【详解】解： ． 16．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．直接利用二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质化简，计算得出答案． 【详解】解： ． 17．（22-23八年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】先利用平方差公式展开，将分母有理化，再化简，最后合并． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18．（22-23八年级上·上海静安·期末）计算：. 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）化简： 【答案】0 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】先变形，根据分式的性质化简，再计算减法． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，二次根式的混合运算，解此题的关键是正确分解因式，本题比较好，但是有一定的难度． 20．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】1 【知识点】分母有理化、二次根式的加减运算 【分析】先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，能正确分母有理化是解题的关键． 【考点题型四】二次根式的化简求值（共6题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，先根据分式的性质，结合完全平方公式化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简代数式，再将进行分母有理化后的值代入，计算即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 【答案】，+1 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，首先判断出，然后对二次根式进行化简，代入数值计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， 当时，原式． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知，，求的值． 【答案】13 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，求代数式的值．先把x与y进行化简，然后代入代数式中求解即可． 【详解】解：由于 ， 则 ； 答：的值为13． 5．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、分母有理化、运用完全平方公式进行运算 【分析】先将，分母有理化，求得和的值，根据完全平方公式求解原式即可． 【详解】解：， ， ∴，， 故原式． 【点睛】本题考查了分母有理化，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 6．（22-23八年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先把，化简，再把变形为代入计算即可． 【详解】∵，， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． 【考点题型五】分母有理化（共4题） 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：C． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）分母有理化： ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为： 4．（23-24八年级上·上海宝山·期中）的有理化因式为 ． 【答案】/ 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了有理化因式；根据有理化因式的定义（两个根式相乘的积不含根号）可得答案． 【详解】解：的有理化因式为， 故答案为：． 【考点题型五】二次根式的应用（共6题） 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解不等式，原不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、分母有理化 【分析】本题考查了解一元一次不等式，直接根据解一元一次不等式的步骤计算即可求解，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 即， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知函数，那么 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了求函数值，根据定义，代入计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·上海静安·期末）不等式的解集是 . 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集、分母有理化 【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 即 ∵， ∴ ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 4．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）满足等式的正整数对的个数有 个 【答案】8 【知识点】二次根式的应用、因式分解的应用 【分析】先将等式变为，得出，从而得出，写出正整数对即可得出答案． 【详解】解：等式可变为： ， ∵， ∴， 即， ∴， 则正整数对可以是： ，，，，，，，， ∴满足已知等式的正整数对共有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到． 5．（22-23八年级上·上海静安·期中）解不等式： 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、分母有理化 【分析】不等式整理得，由，可得，再将进行分母有理化即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， 即：不等式的解集为． 【点睛】本题考查求一元一次不等式的解集，二次根式分母有理化，熟练掌握求解不等式的方法及二次根式分母有理化的方法是解决问题的关键． 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理数，熟练掌握相分母有理化的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （2）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （3）根据（1）（2）的运算结果，将算式化简，根据平方差公式将分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ， 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 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11．（23-24八年级上·上海普陀·期末）计算：． 12．（23-24八年级上·上海闵行·期末）计算：． 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）计算：． 14．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）计算：． 15．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：（）． 16．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：． 17．（22-23八年级上·上海宝山·期末）计算：． 18．（22-23八年级上·上海静安·期末）计算：. 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）化简： 20．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算： 【考点题型四】二次根式的化简求值（共6题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 ，求代数式 的值． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知，，求的值． 5．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知，，求的值． 6．（22-23八年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 【考点题型五】分母有理化（共4题） 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）分母有理化： ． 4．（23-24八年级上·上海宝山·期中）的有理化因式为 ． 【考点题型五】二次根式的应用（共6题） 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解不等式，原不等式的解集是 ． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知函数，那么 ． 3．（22-23八年级上·上海静安·期末）不等式的解集是 . 4．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）满足等式的正整数对的个数有 个 5．（22-23八年级上·上海静安·期中）解不等式： 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 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