1.3.2等比数列的前n项和（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

1.3.2等比数列的前n项和 题型一：求等比数列前n项和 1．已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记数列公比为且，利用等比数列前n项和可得，再由公比也为及等比数列前n项和、等比中项性质，即可求结果. 【详解】记数列公比为且，则，故， 所以公比也为， 则前9项和. 故选：D 2．（多选）已知数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D．的前项积 【答案】AB 【分析】将代入判断A；关系及等比数列定义求通项，并确定前n项和判断B、C；根据分析及等差数列前n项和公式判断D. 【详解】A：令，则，对； B：由，若时，作差可得， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列，则，对； C：由B分析知，，错； D：由上知，，错. 故选：AB 3．已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）由（1）可得，结合分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，， 又符合上式，所以. （2）由（1）知， 所以. 4．已知是各项均为正数，公差不为的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)定义在数列中，使为整数的叫作“调和数”，求在区间内所有“调和数”之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等比中项的知识求得等差数列的公差，从而求得通项公式. （2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前项和公式求得. 【详解】（1）因为成等比数列，所以， 因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为， 所以，整理得，解得， 所以. （2）设，所以， 又，可取大于2的所有整数， 令，且为整数， 所以可以取， 此时分别为， 所以区间内所有“调和数”之和 . 题型二：等比数列前n项和的基本量计算 1．等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 2．等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可知，故， 故，故， 故选：B 3．数列中，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令得，则数列为等比数列，利用等比数列求和公式得到方程，解方程即可求解. 【详解】由题意，数列中，，令得，又， 所以数列为首项和公比都为2的等比数列，所以， 故， 解得. 故选：C 4．已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 题型三：等比数列片段和性质及应用 1．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【详解】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以. 故选：B. 2．各项均为实数的等比数列{}的前n项和记为Sn ，若S5 =10,S15 =70则 S10（  ） A．30或 B． C．30 D．40 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，由题意易知，则成等比数列，代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由题意易知，则成等比数列， 所以， 所以或. 故选：A 3．已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等比数列前n项和的片段和性质计算判断A，根据等比数列前n项和公式计算判断B，根据等比数列通项公式的基本量计算判断CD. 【详解】A选项，由，即，解得，错误； B选项，，正确； C选项，由得，解得或， 当时，，； 当时，，，错误； D选项，（舍去）或或， 故或，错误. 故选：B 4．(多选)已知等比数列中，其公比为，前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．若数列为递增数列，则一定有 B．若，则数列为递增数列 C．若，数列的前项和恒成立 D．一定成等比数列 【答案】AC 【分析】利用反证法可判断A的正误，利用反例可判断BD的正误，利用裂项相消法求后可判断C的正误. 【详解】对于A，若，则中各项正负交错出现，该数列不是增数列，故必成立， 故A正确； 对于B，取等比数列为，而，但不是增数列， 故B错误； 对于C，， 故，故C成立； 对于D，取等比数列为，则， 故，此时不为等比数列，故D错误； 故选：AC. 题型四：等比数列奇、偶项和的性质及应用 1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 2．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 3．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 4．（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 【答案】（1）；（2）公比为，项数为. 【分析】（1）由等比数列片断和数列的性质可求； （2）设该等比数列有项，由偶数项和与奇数项和之比得公比，再由前项和为，利用公式法得方程解即可. 【详解】（1）∵为等比数列，由知数列的公比不等于， 也成等比数列， ，则， ； （2）设等比数列的公比为，项数为． 记，， 则 ，则， 根据，得，解得. 此数列的公比为，项数为. 题型五：等比数列前n项和的其他性质 1．（多选）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列的通项公式，借助通项公式即可得A；借助作差法后对分奇偶进行讨论可得B；求出后对分奇偶讨论可得C、D. 【详解】由题意可得，即， 故， 对A：，故A正确； 对B：， 若为奇数，则， 若为偶数，则，随的增大而增大， 故，故B正确； 对C：， 当为奇数时，，且随的增大而减小， 当为偶数时，，随的增大而增大， 则当时，有最大值，即， 当时，有最小值，即， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 2．（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，则 【答案】AC 【分析】利用和的关系即可判断A，B选项；利用等差数列的求和公式即可判断C选项；通过举例即可判断D选项. 【详解】对于A，若，则当时，， 当时，，符合，故， 则是等差数列，故A正确； 对于B，若，则，，， 故，不是等比数列，故B错误； 对于C，若是等差数列，则，故C正确； 对于D，若，符合是等比数列，且， 此时，， 不满足，故D错误. 故选：AC 3．（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】AB 【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断. 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，则（*）不成立； 所以，则，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C错误，D错误. 故选：AB 【点睛】易错点睛：边界条件的遗漏：在判断数列的公比时，容易忽略公比为正的条件，尤其是当涉及到前项和与前项积的比较时，应特别注意各个条件的限制.最大值的判断：在判断数列是否存在最大值时，容易因数列项的变化规律分析不准确而得出错误结论.对于无穷项的数列，要明确变化的趋向. 4．（多选）已知数列，其前项和记为，则（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且，其中为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 【答案】BC 【分析】举反例判断AD选项，由等差等比数列的前项和公式判断BC选项. 【详解】A选项中，当等差数列是常数列时，由，就不能得到，所以A是错误的； B选项中，设等差数列公差为，由前项和， 可知，所以B是正确的； C选项中，由可知，等比数列公比不为1，设公比为， 由等比数列前和公式得，则有，， 则常数，所以C是正确的； D选项中，等比数列中，当公比时，若，有，则就不是等比数列，所以D是错误的； 故选：BC． 题型六：前n项和特点 1．已知等比数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等比数列的和为，，根据公式，求出，则也要满足通项公式，即可得到方程，解得即可； 【详解】等比数列的前项和为，， 当时，可得，可得， 当时，，则 因为为等比数列，所以，解得 故选：． 2．（多选）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C．数列可能为等比数列 D．数列不可能为常数列 【答案】ABD 【分析】设出等比数列的公比为，分和两种情形，分别表示出，并与比较对照，分别用和表示出，然后逐一分析判断各选项即可. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，此时是关于的一次函数，数列为常数列， 而不是关于的一次函数，所以，数列不可能为常数列，故D正确； 因为，所以，又， 所以，故B正确； ，故A正确； 因为，也均不为0，所以不可能为一常数， 即数列不可能为等比数列，故C错误. 故选：ABD 3．（多选）已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等比数列，且，则 C．若，则是等差数列 D．若是公比大于1的等比数列，则 【答案】AB 【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断AB；利用判断选项C；通过举例，判断选项D. 【详解】对于A，若是等差数列，则， 且，则，A正确； 对于B，若是等比数列，显然时，否则，不成立， ，且，则，B正确； 对于C，若，则，， ，，数列不是等差数列，C错误； 对于D，若，则，，不满足，D错误. 故选：AB 4．已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】54 【分析】先求出，根据与的关系得出当时，．又根据等比数列，可知.列出方程，即可求出的值，代入可得的通项公式. 【详解】当时，则. 当时，． 又因为是等比数列，所以， 所以，解得：， 所以，所以． 故答案为：54. 题型七：前n项和与通项关系 1．已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的性质确定也是等比数列即可求解. 【详解】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 2．已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，采用构造数列的方法，，则可以确定数列为等比数列，然后进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 3．已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由的关系，求数列的通项公式； （2）根据等比数列的求和公式及分组求和得解. 【详解】（1）由题可知，①， ②， ①-②得， 即. 当时，由①知， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可知，，所以. 所以. 4．设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设的递归关系可得，故可得公比，从而可求通项； （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，所以， 所以，而为等比数列，故公比，故. （2）， 故， 所以， 所以 ， 故. 题型八：等比数列的简单应用 1．从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用等比数列求和计算即可. 【详解】设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为，，，. 则， ， ， . 故选：D 2．年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原有树苗有包，求出第组到第组所领取树苗的包数，结合等比数列求和公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设原有树苗有包，第组领取包， 第组领取包， 第组领取包， ， 以此类推可知，第组领取包， 由题意可得， 即，解得. 故选：B. 3．已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解. 【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第6次着地后经过的路程为（）， 故选：D 4．小李同学最近进步很大，有希望考入一本院校.李爷爷决定从2023年6月2日开始，每月的2号为小李存一笔钱，到2024年8月2日，共存入15笔.2024年9月2日，李爷爷一次性取出全部本息，作为小李同学大学入学后购买手机、电脑、平板等设备的专项资金.李爷爷第一次存入1000元，以后每月增加100元. 银行与李爷爷约定这笔存款按复利每月计息一次，月利率为0.2%. (1)李爷爷总共存入多少元？ (2)李爷爷在2024年9月2日可一次性取出本息共多少元？ （提示：，计算过程中，请不要再次取近似值，否则会产生较大误差.） 【答案】(1)25500 (2)26350 【分析】（1）依题意根据等差数列模型，由前项和公式计算可得结果； （2）利用等比数列模型，再由等比数列错位相减法求和，计算即可求得结果. 【详解】（1）根据题意，存入的钱数成等差数列，首项为1000，公差为100， 利用等差数列前15项和可知， 总共存入了元. （2）第一笔1000元，取出时计息15次，本息共； 第二笔1100元，取出时计息14次，本息共； …… 第十五笔2400元，取出时计息1次，本息共. 设在2024年9月2日可一次性取出本息共元 得 所以李爷爷在2024年9月2日可一次性取出本息共26350元. 1．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以， 故，则， 所以， ， 因此， 故选：B. 2．在等比数列中，，，是的前n项和，则（   ） A．63 B．48 C．31 D．15 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式，结合已知条件求基本量，进而由等比数列前n项和公式求. 【详解】令等比数列的公比为，则，， 解得，，所以. 故选：C 3．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，求得数列的公比，再结合等比数列前项和公式，即可求得. 【详解】设等比数列的公比为，由题可知：； 又，也即，故. 故选：A. 4．设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列的下标性质和前项和公式求解即可； 【详解】当时，由题意得解得或； 当时，，不满足，不符合题意； 所以符合条件的数列的个数是， 故选：C. 5．已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，个，，个，，个，，个，，， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故选：B. 6．设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，若存在使得的乘积最大，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】先根据等比数列基本量运算得出公比或，再应用存在使得的乘积最大得出公比，通项公式计算首项即可. 【详解】因为，是各项均为正数的等比数列，设公比为, 所以,计算得,所以或, 所以或, 当时，不存在使得的乘积最大，所以,所以. 故选：A. 7．已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件求解出，然后对分奇偶讨论可得和，结合函数的单调性可求结果. 【详解】设的公比为，因为，所以， 所以，所以，所以， 因为对任意正整数恒成立， 所以对任意正整数恒成立； 当是偶数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以，所以， 当是奇数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以时，，所以， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 8．已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】C 【分析】给出①的反例，然后结合可控数列的含义以及等比数列的性质证明②是真命题，即可得到答案. 【详解】对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差， 但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾）， 故对时有. 这表明不是“可控数列”，故①错误； 对于②，若等比数列是“可控数列”，由于数列不是常数列，，故公比. 所以， 从而， 则， 当时，则， 令，则可知当时，不成立； 当时，显然成立，而对于恒成立， 由于为严格增数列，且时，， 故问题等价于存在，使得， 记，随m的增大，减小，故， 故只需，解得，故②正确. 综上，①是假命题，②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于②的判断，解答时要利用等比数列的性质并结合不等式恒成立进行求解. 9．（多选）已知等比数列的前项和为，公比为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由求出公比，再由求出，最后根据等比数列通项公式和前项和公式逐一判断即可. 【详解】由，得，由题意可知，否则，不符合题意； 由，得，得，得，得，故B正确； 将代入，得，故A错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 10．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（   ） A．数列的通项公式 B． C．数列的通项公式为 D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求得公比的值，代入等比数列通项公式及等比数列求和公式计算判断选项ABC，再运用裂项相消法求和可求得数列的前项和为判断D选项. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 所以，故A项正确； 所以，故B项正确； 所以，故C项错误； 因为， 所以， 由，，有， 又因为单调递增，所以，所以取值范围为，故D项正确. 故选：ABD. 11．数列中的前n项和，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据进行求解. 【详解】因为①， 当时，， 当时，②， ①-②得， 经检验，当时，不成立， 所以. 故答案为：. 12．设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，则 ； ． 【答案】 63 【分析】利用等比数列中的项可求得公比，可求得通项公式，代入等比数列前项和公式可得. 【详解】设等比数列的公比为， 根据题意由可得，解得或（舍）； 所以可得， 由等比数列前项和公式可得. 故答案为：；63. 13．已知数列满足，对任意，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用累加法、等比数列求和可得答案. 【详解】由题， ， 所以. 故答案为：. 14．黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则 .（其中表示不超过的最大整数） 【答案】88 【分析】根据的关系可得，即可得，利用放缩法可得，结合裂项求和即可求解. 【详解】由题意可得， 当时，，化简得， 又当时，，解得或（舍去）， 所以， 所以数列是首项、公差均为1的等差数列， 所以，即.故 当时，①， 所以当时，， 设， 由①可得，，且. 所以. 故答案为：88 15．各项均为正数的等比数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式以及数列的前5项和； (2)设=，  数列 的前n项和为 ， 求 . 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将题干转化为和的方程组，解方程组即可； （2），然后利用裂项相消求和. 【详解】（1）设数列的公比为， 由题意可知：，， 解得：， 所以，. （2）因为， 所以. 16．已知数列满足，数列为等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，若__________，记数列满足求数列的前项和. 在①，②成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可判断数列是以1为首项，2为公差的等差数列，再利用公式求通项公式即可； （2）对于①，将用基本量表示，即可解得首项；对于②，根据等差中项列方程，即可解得首项；对于③，利用等比数列前项和公式列方程，即可解得首项；对于数列的前项和，利用分组求和法计算即可. 【详解】（1）因为，， 令得，又数列为等比数列，所以公比为2，即， 因此，，所以数列是以1为首项2为公差的等差数列， 所以， （2）由（1）知数列为公比为2的等比数列 若选①，由得，所以，则 若选②，由成等差数列得， 即，所以，则 若选③，由得，所以，则 所以 所以，数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列， 偶数项是以4为首项4为公比的等比数列， 所以 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.2等比数列的前n项和 题型一：求等比数列前n项和 1．已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D．的前项积 3．已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 4．已知是各项均为正数，公差不为的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)定义在数列中，使为整数的叫作“调和数”，求在区间内所有“调和数”之和． 题型二：等比数列前n项和的基本量计算 1．等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 2．等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 3．数列中，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 题型三：等比数列片段和性质及应用 1．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 2．各项均为实数的等比数列{}的前n项和记为Sn ，若S5 =10,S15 =70则 S10（  ） A．30或 B． C．30 D．40 3．已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．(多选)已知等比数列中，其公比为，前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．若数列为递增数列，则一定有 B．若，则数列为递增数列 C．若，数列的前项和恒成立 D．一定成等比数列 题型四：等比数列奇、偶项和的性质及应用 1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 2．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 3．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 4．（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 题型五：等比数列前n项和的其他性质 1．（多选）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，则 3．（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 4．（多选）已知数列，其前项和记为，则（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且，其中为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 题型六：前n项和特点 1．已知等比数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C．数列可能为等比数列 D．数列不可能为常数列 3．（多选）已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等比数列，且，则 C．若，则是等差数列 D．若是公比大于1的等比数列，则 4．已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 题型七：前n项和与通项关系 1．已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 4．设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 题型八：等比数列的简单应用 1．从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（   ） A． B． C． D． 2．年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D．3．已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 4．小李同学最近进步很大，有希望考入一本院校.李爷爷决定从2023年6月2日开始，每月的2号为小李存一笔钱，到2024年8月2日，共存入15笔.2024年9月2日，李爷爷一次性取出全部本息，作为小李同学大学入学后购买手机、电脑、平板等设备的专项资金.李爷爷第一次存入1000元，以后每月增加100元. 银行与李爷爷约定这笔存款按复利每月计息一次，月利率为0.2%. (1)李爷爷总共存入多少元？ (2)李爷爷在2024年9月2日可一次性取出本息共多少元？ （提示：，计算过程中，请不要再次取近似值，否则会产生较大误差.） 1．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 2．在等比数列中，，，是的前n项和，则（   ） A．63 B．48 C．31 D．15 3．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 6．设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，若存在使得的乘积最大，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 9．（多选）已知等比数列的前项和为，公比为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（   ） A．数列的通项公式 B． C．数列的通项公式为 D． 11．数列中的前n项和，则的通项公式为 ． 12．设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，则 ； ． 13．已知数列满足，对任意，，，则数列的通项公式为 . 14．黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则 .（其中表示不超过的最大整数） 15．各项均为正数的等比数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式以及数列的前5项和； (2)设=，  数列 的前n项和为 ， 求 . 16．已知数列满足，数列为等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，若__________，记数列满足求数列的前项和. 在①，②成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$