1.2一定是直角三角形吗 教学设计2024-2025学年北师大版八年级数学上册

教学设计： 一定是直角三角形吗？ 一、教学内容解析 本节课选自北师大版八年级上册第一章第二节《一定是直角三角形吗》．本节课学习的核心知识是勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是从边的角度利用三角形三边长之间的数量关系(a2+b2=c2)，判断该三角形是直角三角形的重要依据，也是判定两直线垂直的方法之一，与勾股定理一起，在生活中有着广泛的应用.此外，其特殊数组——勾股数，早在2300多年前被古巴比伦人刻在泥板上进行研究，多位数学家相继探索数组内的关系，并获得了成功，这反映了人类杰出的智慧. 勾股定理与勾股定理的逆定理是一对互逆定理，前者体现由形到数，用于求直角三角形的边长，后者由数到形，可判断三角形的形状，两者都与三角形的三边有关系，是直角三角形性质与判定的重点内容，都体现了数形结合思想. 本节课采用发现的方法，让学生沿着由特殊到一般方法经历操作——猜想——验证——归纳——应用等一系列活动，理解勾股定理逆定理的内容，灵活应用勾股定理的逆定理解决问题，体会数学与现实世界的联系，学会探究学习的一般路径，养成主动探究的习惯，感受由特殊到一般、数形结合等思想方法，发展学生的推理意识及能力，形成实事求是的科学态度与理性精神. 基于以上分析，结合学生实际情况，本节课的重点确定为：探索勾股定理的逆定理，难点确定为：勾股定理逆定理的验证． 2、 学习目标设置 1.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）中关于本节课内容的相关要求 《课标》要求学生“探索勾股定理的逆定理，并能运用它解决一些简单的实际问题．”《课标》要求中的行为动词有：探索和运用；其中，“探索”的过程是一种经历，“运用”是以掌握为前提条件的，因此本节课的行为动词准确地来说有四个，分别是经历，探索，掌握和运用.下面解读这四个动词的基本含义： “探索”是指在特定的问题情境下，独立或合作参与数学活动，理解或提出数学问题，寻求解决问题的思路，并获得确定结论. “经历”是指有意识地参与特定的数学活动，感受数学知识的发生发展过程，获得一些感性认识. “掌握”是指多角度理解和表征数学对象的本质，把对象用于新的情境. “运用”是指基于数学对象和对象之间的关系，选择或创造适当的方法解决问题. 从认知角度分解课标:知识分类 勾股定理的逆定定理 认知水平 探索，运用 过程与方法： 经历，操作，猜想，验证，归纳，辨析 学科内涵 回顾三角形的知识结构体系，确定研究内容是从边的角度判别一个三角形是否是直角三角形；经历从特殊到一般数组画三角形，发现并验证三角形三边之间数量关系可以判别三角形的形状，进而归纳出勾股定理的逆定理． 从能力层次分解课标：经历操作、猜想、验证等过程，归纳出当一个三角形的三边平方之间存在数量关系：a2+b2=c2时，该三角形是直角三角形；了解满足a2+b2=c2的三个正整数，便是勾股数. 掌握 操作验证 操作归纳 验证归纳 通过设计不同层次的练习，在辨析中，学会灵活运用勾股定理的逆定理解决问题. 掌握应用决 灵活运用 运用 2. 根据《课程标准》，确定本节课的学习目标为： （1）通过回顾三角形的学习内容和研究历程，明确本节课的学习内容，进一步形成对“图形+”的整体认识. （2）经历操作—猜想—验证—归纳等探究过程，理解勾股定理的内涵，体会数形结合思想，进一步发展归纳、推理能力. （3）能运用勾股逆定理解决简单问题，发展应用意识和创新能力，体会数学与现实世界的联系. 3. 依据本节课的学习目标以及“教评学一致性”的思想，设计了如下评价任务： 评价任务一：通过回顾三角形的知识，能够准确说出一般三角形的性质和特殊三角形性质. 评价任务二：学生能积极地参与到画图、观察、猜想、验证等活动过程中来，准确的表达是怎么画出来的，发现图形变化过程中那些变与不变的量，敢于清晰地描述自己的猜想. 评价任务三：通过回顾三角形的知识，能够准确说出一般三角形的性质和特殊三角形性质. 评价任务四：通过计算、测量发现满足 a2+b2=c2的三边长画出的三角形都是直角三角形，形成猜想. 评价任务五：通过参与探究活动，结合作图、猜想和验证，能够总结归纳得出：当一个三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2时，这个三角形是直角三角形. 评价任务六：通过使用不同的测量工具，能够得出∠DAB＝90°,判断窗框相邻两边是否是垂直的.通过运用勾股定理的逆定理，会判断以这组数为边的三角形能够组成直角三角形，会判断一个三角形是直角三角形，能够规范地书写推理过程. 评价任务七：根据勾股数的概念，会判断一组数是否是勾股数.能够举出一组勾股数扩大n倍后不是勾股数的反例。 评价任务八：关注学生的分享内容，把握学生对所学知识的掌握程度；能否在知识回顾中体会数学思想方法． 评价任务九：关注学生能否独立按时完成作业；重点关注学生的书写过程及正确率；关注学生能否发散思维，自己创编数学问题，并利用所学知识解决问题它；深入探究和推荐阅读，开发学生潜能，发展学生个性． 三、学生学情分析 1. 学生具有的基础与即将面临的问题 八年级学生已经具备了观察，计算和探索的能力，也掌握确定三边作三角形的画图能力；还知道数学的三种语言之间可以相互转化；本节课让学生画的都是满足a2+b2=c2较小正整数的数组，可是如何实现从特殊到一般的画三角形以及验证猜想的正确性还有困难；八年级学生普遍具有较高的学习主动性、参与活动的积极性和强烈探究意识，但探究能力、推理能力、交流能力和表达能力仍需加强． 2. 难点突破技巧 （1）以回顾三角形学习内容，整体认识三角形为起点，确定研究内容和研究路径，让学生经历“操作—猜想—归纳—验证”的探究活动，理解勾股定理的内涵，体会数形结合、从特殊到一般的思想方法，进一步发展归纳、推理能力. （2）学生在学案上所画的三角形，都是满足a2+b2=c2较小的正整数数组，具有特殊性.通过使用几何画板的动点功能，画出满足a2+b2=c2一般数组组成的三角形，实现从特殊到一般的合理过渡.在此过程中，提醒学生认真观察动点变化过程中的变与不变的量，从而理解勾股定理逆定理的内涵——只要三边长之间的数量关系满足a2+b2=c2，那么组成的三角形一定是直角三角形，从而突出重点，攻克重点，理解重点. 4、 教学策略分析 弗赖登塔尔曾说：“学习数学的唯一正确方法就是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或者创造出来……”对此，建构主义也认为，学习并非对于教师所授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构.进而，设计让学生经历“操作——猜测——论证——归纳——应用”的认知过程，才能让学生从根本理解勾股定理的逆定理内涵，掌握勾股定理逆定理的作用，最后将其同化到直角三角形的知识体系过程当中去，感受数学知识“从哪里来，是什么，要到哪里去”的问题.在此过程中，学生还会感受从特殊到一般，由数到形的数学思想方法，学会用数学符号语言有条理的推理论证解决问题，发展推理能力、应用意识和创新能力，体会数学与现实世界的联系. 5、 教学过程设计 （1） 课前预学，作图前置 下面有两组数分别是一个三角形的三边长a， b， c.(单位：cm) ①3，4，5； ②5，12，13； 分别以每组数为三边长画出三角形. 回答下列问题： （1） 这两组数都满足a2+b2=c2吗？ （2）用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ （3）写出你的猜想. 预设：部分学生能够使用尺规画出已知三边的三角形，部分学生在作图中可能会出现画一个已知直角和两边的情况. 解决预案：课上展示交流，描述自己是如何画出三角形的，让学生发现画图的漏洞. 【学习评价】学生能积极地参与到画图和展示交流的过程中来，准确的表达是怎么画出来的，怎么判断三角形的形状，获得猜想. 【设计意图】让所有学生都经历直观操作，获得操作的直接经验，这些直接经验都是用特殊值发现三边关系对三角形形状的影响，以便学生得出猜想. （二）回顾旧知，引入新课 知识回顾：回忆七年级所学的三角形学习历程和学习内容 从结构上来分析，直角三角形角的性质和判断一个三角形是直角三角形是反过来的.那么从边的角度，将直角三角形边的性质（两直角边的平方和等于斜边的平方）.反过来，如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么它会是直角三角形吗？ 【学习评价】通过回顾三角形的知识，能够准确说出一般三角形的性质和特殊三角形性质. 【设计意图】回顾三角形的知识，有利于学生从整体上认识三角形的学习内容和研究路径够，发现三角形的研究路径是从一般到特殊，发现从角的方面，直角三角形的判定方法与性质是反过来的，进而明确本节课的学习内容——从边的方面，判定一个三角形是否是直角三角形. （三）探究新知 任务一：展示交流，画图过程 活动一：学生课前分别以①3，4，5； ②5，12，13；为三边长画出了三角形，请学生来展示自己所画的三角形，并描述是怎么画的. 活动二：教师以③8，15，17；为三边长画出了三角形，交流自己的画图过程，并测量最大角的度数，与学生一起测试最大角的度数，确定三角形的形状. 【设计意图】先让学生展示自己画三角形的过程，能够及时发现学生是否画了一个直角，产生作图漏洞；再设计教师展示自己画三角形的过程，为学生作出已知边画三角形的示范，便于学生改正自己的作图.学生与教师所画的三角形都是下一步形成猜想奠定基础. 任务二：认真思考，说出猜想 结合分别以①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；为三边长画出的三角形，请回答：这三组数都满足 a2+b2=c2吗？它们都是直角三角形吗？ 说出你的猜想！ 【学习评价】通过计算、测量发现满足 a2+b2=c2的三边长画出的三角形都是直角三角形，形成猜想. 【设计意图】通过计算和测量发现以这三组数为边长的三角形都是直角三角形，此时学生会形成直接猜想：只要一个三角形的三边长a， b， c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就一定是直角三角形. 任务三：细致观察，验证猜想 你和我的数组加起来一共3组，太少了！同时，这些数组都是特殊的正整数数组，想要验证猜想是否正确，需要更多满足a2+b2=c2的一般数组，显然使用普通作图已经无法满足需求，下面我们借助几何画板来画出满足a2+b2=c2的一般数组为边的三角形. 问题1：当我移动三角形的一个顶点时，观察这个三角形中变与不变的量. 预设：学生会发现边的长度变了，但是三边之间的数量关系没有变，这便实现了满足a2+b2=c2的一般任意数组. 问题2：现在我用计算机测量最大角的度数. 预设：学生会看到最大角的度数为90°，并由此判断这个三角形是直角三角形. 问题3：当我移动三角形的任意顶点时，请再次观察这个三角形中变与不变的量. 预设：学生会发现边的长度变了，但是三边之间的数量关系、最大角的度数和三角形的形状都没有变. 【设计意图】通过使用计算机模拟，实现了特殊数组到一般数组的过渡，验证了猜想的正确性，为归纳出勾股定理的逆定理做出了重要的贡献，也由此突破了本节课的难点,落实了计算机辅助教学价值. 任务四：总结归纳，理解新知 如果一个三角形的三边长a， b， c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就一定是直角三角形. 【学习评价】通过参与探究活动，结合作图、猜想和验证，能够总结归纳得出：当一个三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2时，这个三角形是直角三角形. 【设计意图】总结归纳，分别用文字语言、图形语言和符号语言表示勾股定理的逆定理，让学生感知数学三种语言之间的转化. 勾股定理与勾股定理的逆定理互为逆定理，前者体现由图形到边长间数量关系计算，可用来求边长，后者体现由数量关系的计算到图形，可判断三角形的形状，都体现了数形结合的思想.辨析两者之间的关系有利于学生深刻理解勾股定理及其逆定理内涵，明确两者的不同用途，为后面的实际应用做铺垫，有承上启下的作用. 经历“操作—猜想—验证—归纳”的探究过程，有助于学生掌握探究问题的一般方法，养成有条理的思考习惯，感受数学的严谨性，提升逻辑推理的能力，形成实事求是的科学态度与理性精神. 任务五：问题解决，理解新知 小明观察发现窗框相邻两边看着不垂直，想要检测窗框的两边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。 你能替他想办法解决问题吗？ 【学习评价】通过使用不同的测量工具，能够得出∠DAB＝90°,判断窗框相邻两边是否是垂直的. 【设计意图】在总结归纳后设计这样的一个开放式实际问题，可以让学生充分的发散思维。他们可以使用三角尺或者量角器，直接测量∠DAB的度数，即通过角来判断两条线段是垂直的；也可以使用卷尺或者刻度尺，测量以窗框邻边为三角形两边的长度，将两线段垂直的问题，转化为判断直角三角形问题，体会转化的思想，从而发现勾股定理的逆定理也可以来判断两条线段的位置关系。 （四）练习提升 通过解决刚刚的实际问题，发现大家思维敏捷，知识使用的很灵活，下面检测一下大家的学习效果，让我们走进练习提升. 1.下面几组数能否作为直角三角形的三边长？请说说你的理由. （1） 3，6，7； （2）10，6，8； （3）9 , 12 , 15； （4）33 , 44 , 55； 【学习评价】通过运用勾股定理的逆定理，会判断以这组数为边的三角形能够组成直角三角形。 【设计意图】这个小题共设计了4组不同的数组，体现了4种不同的层次，它们为探索能组成直角三角形的一般数组内部的规律提供了特殊的参考价值。第1组数考察对勾股逆定理的直接使用；第2组数意在引导学生理解勾股定理逆定理中的a， b， c没有顺序的要求，其中a，b指的是较短的两条线段长，c指的是最长的线段，让学生深入理解勾股定理逆定理的内涵是：三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形；第3组数，学生既可以从计算的方面直接求出结果进行判断，还可以从直角三角形三边间的规律进行判断，9 , 12 , 15是勾股数 3，4，5扩大3倍的结果；第4组数，虽然学生可以从计算的方面直接求出结果，但这么做比较麻烦，因此可以调动他们简便计算的意识，将33 , 44 , 55看成是 3，4，5扩大11倍的结果，进而引出直角三角形三边间规律的探索. 思考1：三角形的三边长a， b， c，满足a2+b2=c2,这个三角形是直角三角形. 若将a， b， c扩大n倍后，它还是直角三角形吗？ 通过代数推理，总结：一个直角三角形，三边长扩大n倍后，它还是直角三角形. 【设计意图】此处设计直角三角形三边规律的探索，可以让学生感受代数推理的魅力，提升学生的逻辑推理能力，为后面探索勾股数组的规律奠定基础。 任务六：观察发现，认识勾股数 勾股数：像①3，4，5； ②5，12，13； ③ 8，15，17；④6，8，10；⑤9 , 12 , 15；⑥33 , 44 , 55；这样满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 思考2：一组勾股数a， b， c扩大n倍后，它还是勾股数吗？ 【学习评价】根据勾股数的概念，会判断一组数是否是勾股数.能够举出一组勾股数扩大n倍后，不是勾股数的反例。 【设计意图】勾股数是后面学习勾股定理与勾股定理逆定理应用中经常用到的数组，探索勾股数组的规律，有利于学生利用规律，快速计算，提高解题效率.结论的总结一方面可以增强学生的语言表达能力，还可以提高其严谨的逻辑推理能力，落实核心素养， 2.一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ 【学习评价】通过运用勾股定理的逆定理，会判断△ADB和△DBC是直角三角形，能够规范地书写推理过程. 【设计意图】本题最大的作用是向学生规范地展示勾股定理逆定理的实际应用，体会数学在生活中的应用价值，教会学生有条理清楚的表达，养成规范地书写习惯，提升推理能力。 3. 请判断下面两个三角形的形状，并说出理由. 【学习评价】通过运用勾股定理的逆定理，会判断△ABC和△DEF是否是直角三角形. 【设计意图】这道题是勾股定理与勾股定理逆定理综合在一起运用的题目。学生可以通过判断三边之间的数量关系进行判断，还可以通过分析这些边与网格所成角的大小得出结论。此外，可以引导学生认识到判断三角形是否是直角三角形，不一定非得知道边的长度，此处只需求出边的平方之间的关系是否满足a2+b2=c2也可以判断三角形的形状，有助于学生再次深入理解勾股定理的逆定理. （五）回顾小结 回顾今日所学，请认真思考，然后说说你有哪些收获！ 追问1：请你思考今天所学习的结论与上节课所学的勾股定理对比，两者的区别与联系分别是什么？各自的作用又是什么呢？ 追问2：回忆所学，判断一个三角形是直角三角形都有哪些方法？ 追问3我们在探索结论的路上都要经历哪些过程？（学习路径） 这样的学习路径还可以用着其它地方吗？ 追问4：本节课的学习过程中，它又体现了什么样的数学思想方法呢？你在哪里还见到过这种思想方法呢？ 【学习评价】关注学生的分享内容，把握学生对所学知识的掌握程度；能否在知识回顾中体会数学思想方法． 【设计意图】通过设计一系列追问的问题，促使学生能够从“四基”的角度深刻地梳理本节课的内容. （六）布置作业 1.基础达标：完成课本第10页，第1题，第2题，第3题． 2.问题解决：如右图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2， DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 3.问题创编：请你结合右图，创设一个情境，设计一个问题，并尝试 用勾股定理及其逆定理的知识解决它。 4.深入探究：是否有一个能产生勾股数组的公式呢？ 借助古巴比伦泥板上的勾股数验证公式的正确性。 推荐阅读：《好玩的数学——数学美拾趣》 第24章 漫画勾股定理 【学习评价】关注学生能否独立按时完成作业；重点关注学生的书写过程及正确率；关注学生能否发散思维，自己创编数学问题，并利用所学知识解决问题它；深入探究和推荐阅读，开发学生潜能，发展学生个性． 【设计意图】 基础达标和问题解决可以巩固所学，加深理解勾股定理及其勾股定理的逆定理的融会贯通使用；问题创编和深入探究可以鼓励学生融合经验，打开思维，深化理论与实际的联系，充分发挥学生个性和创新性. 6、 板书设计 1.2 一定是直角三角形吗 一．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2 那么这个三角形是直角三角形. 几何语言： ∵在△ABC中，a2 + b2 = c2 ∴△ABC是直角三角形. PPT展示 二、满足a2 + b2 = c2的三个正整数，称为勾股数. 代数推理 七、教学反思 1.立足三角形知识体系，让学习在探索中走向深度 本节课通过回顾三角形的学习内容和研究历程，与学生一起探索知识发生和发展的基本路径，共同明确本节课的学习内容和探索路径，形成对直角三角形性质、判定、应用的整体认识.在探索新知时，采用发现式学习法，旨在让学生在经历操作——猜想——验证——归纳——应用等一系列认知活动后，逐步理解勾股定理逆定理的内涵.最后设计层层变化的练习，让学生对勾股定理逆定理的理解，由表层理解“a2+b2=c2”到“两条较短变的平方和等于斜边的平方”的深层解读。基于此，学生在探索中不仅学习了知识，还发现了勾股数组的规律，这样的设计，让学会发现，学会归纳、概括，学会思考，学会学习。从而提高思维能力，培养学生用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯。 2.以活动为核心，信息技术手段为辅突出重点，突破难点 学习并非对于教师所授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构.只有学生真正融入到学习活动过程中，才能理解勾股定理的逆定理的内涵，体会从特殊到一般的、数形结合的思想方法，积累观察，操作，思考，表达的经验，养成养成独立思考与合作交流的习惯．诚然，学生在学案上所画的三角形，都是满足a2+b2=c2较小的正整数数组，具有特殊性.通过使用几何画板的动点功能，画出满足a2+b2=c2一般数组组成的三角形，实现从特殊到一般的合理过渡.在此过程中，提醒学生认真观察动点变化过程中的变与不变的量，从而理解勾股定理逆定理的内涵——只要三边长之间的数量关系满足a2+b2=c2，那么组成的三角形一定是直角三角形，从而突出重点，攻克重点，理解重点. 3.以学习目标为依据设计可测量评价 《课标》要求要发挥评价育人的作用理念.本节课坚持以学生发展为本，精准把握学生的发展区，围绕学习目标，重点关注学习效果的达成，设置8个可测量的评价任务，对学生开展多样化的评价方式。基于学情，通过设计“操作—猜想—验证—归纳”的探究可操作的活动，可测量的评价任务，激发学生学习动机.在课堂中，及时鼓励学生积极参与，肯定学生的操作和思维，协助学生突破认知难点，随时关注学生的评价任务的完成度，并予以进行合理的评价，进而达成学习目标． 学科网（北京）股份有限公司 $$