精品解析：四川省雅安市汉源县2024-2025学年上学期教学质量联合检测九年级数学试题

2024—2025学年上期教学质量联合检测九年级 数 学 试 题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得到，再代入原式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，由已知得到再代入计算是解题的关键． 2. 如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理即可求出边长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算边长是解题的关键． 3. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 4. 下列说法错误的是（    ） A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 顺次连接平行四边形各边的中点，得到的图形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质，掌握相关的性质定理和判定定理是解本题的关键． 根据菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质进行判断即可． 【详解】A．根据正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项正确； B．根据菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； C．根据矩形的性质，矩形的对角线相等，故选项正确； D．顺次连接平行四边形各边的中点，得到的图形是菱形，故选项正确． 故选：B． 5. 观察下表，一元二次方程的解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的估算，解题的关键是理解表格；因此此题可根据表格进行求解． 【详解】解：由表格可知：当时，； 当时，； ∴一元二次方程的一个根的范围一定在； 故选：C． 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 7. 若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， ∴． 故选：A． 8. 如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，设，可用含的式子表示的长，再根据以为圆心，长为半径作弧，可知的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，是等腰直角三角形，设， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键． 9. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示， 由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 10. 如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 11. 如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】取的中点M，连接，根据三角形中位线定理得，再根据平行线分线段成比例得，即可得出答案． 【解答】解：如图，取的中点M，连接， ∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选:B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键． 12. 如图，菱形中，，，，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，，过点作于，证明，可得，当，，三点共线时，最短，再进一步求解可得答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于， 由菱形的对称性可得：， ， 当，，三点共线时，最短（根据两点之间线段最短）， 菱形中，，， ，为等边三角形， ，， ， ， ， 的最小值为：； 故选：C． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 13. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后代入求解即可． 【详解】解：实数，是一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程的根与有如下关系：当时， 方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；根据方程有实数根，则且求解即可； 【详解】关于x的一元二次方程有实数根， 且， 且； 故答案为：且． 15. 主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，她至少走_____米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】解：由题意知米， ∴， ， 米， 故主持人从舞台一侧点进入，则他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 16. 我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有_______个班级篮球队参加． 【答案】10 【解析】 【分析】设有x个班级篮球队参加比赛，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】解：设有x个班级篮球队参加比赛， 由题意得， 解得（舍）， ∴有10个班级篮球队参加比赛． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键． 17. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为 ______________________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】此题主要考查了概率，关键是表示图形的面积和阴影部分面积．首先设正方形的面积，再表示出阴影部分面积，然后可得概率． 【详解】解：设“东方模板”的面积为4份，则阴影部分三角形面积为1份，平行四边形面积为份， 则点取自黑色部分的概率为：． 故答案为：． 三、解答题：（本题共7小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程； （3）先化简，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ， ，； 【小问3详解】 解： ， ，． 19. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 20. 如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作．与、分别相交于点M、N，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质、菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质等知识点，解题关键是熟练掌握矩形性质、菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质． （1）先根据矩形性质和已知条件证明，，，从而证明，在根据全等三角形的性质证明四边形EMCN是平行四边形，再证明，从而得到，最后利用菱形的判定定理证明即可； （2）根据（1）中的结论得到，然后设，利用已知条件和勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知四边形是菱形， ， 设， 四边形是矩形， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ∴的长为． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉样物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． （1）若商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）元； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得： ， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值         ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 【答案】（1）； （2）解： ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）50 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：1； （2）略 （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ∴ ， 设，则, ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值为50． 23. 如图，梯形中，，点E是边的中点，连接交于点F，的延长线交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明： ， ， ， 点E是边的中点， ， ， ； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，线段中点特点，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据，易证得；进而得；根据线段中点特点得到，结合等量代换即可得出本题要证的结论． （2）按照（1）的方法，可由，证明，得出，设，再联立（1）得出的比例关系式，可列出关于的方程，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 由（1）知，， ， 设， ，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 经检验是方程的解， ． 24. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． （1）请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； （2）若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； （3）在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，“度比坐标”为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，再由，，即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴于，连接，根据点到关于点的“度比坐标”为，求出点的坐标为；再由若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同，推出，即可推出，证明，求出，得到点的坐标为，由此求解即可； （3）分两种情况，①如图所示，过点作轴于，过点作轴于，根据点到关于点的“度比坐标”为，得到，；证明，得到，设点的坐标为则，，求出点的坐标为，则，②当在第三象限，在第四象限时，如图过点作轴于点，过作轴于点，同第一种情况，设点的坐标为，则，，同理算出点的坐标为，再代入直线的解析式，得到的值，进而得到点坐标，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵直线：分别与轴，轴相交于，两点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到关于点的“度比坐标”为； 【小问2详解】 如图所示，过点作轴于，连接， ∵点到关于点的“度比坐标”为． ∴， ∴， ∴点的坐标为； ∵若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同． ∴，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 有两种情况， ①当在第二象限，在第一象限时，如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵点到关于点的“度比坐标”为， ∴，； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为则，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． ②当在第三象限，在第四象限时，如图，过点作轴于点，过作轴于点， 同第一种情况，可设点的坐标为，则，， 同理可得到点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴综上点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，解题的关键在于能够准确理解题意并分类讨论求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上期教学质量联合检测九年级 数 学 试 题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 3. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（    ） A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 顺次连接平行四边形各边的中点，得到的图形是菱形 5. 观察下表，一元二次方程的解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. B. C. D. 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 7. 若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图，菱形中，，，，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 13. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 15. 主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，她至少走_____米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号） 16. 我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有_______个班级篮球队参加． 17. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为 ______________________． 三、解答题：（本题共7小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） 19. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作．与、分别相交于点M、N，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉样物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． （1）若商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值         ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 23. 如图，梯形中，，点E是边的中点，连接交于点F，的延长线交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 24. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． （1）请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； （2）若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； （3）在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $