重庆市永川中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

重庆市永川中学高2026届高二（上）12月月考（数学）参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D C D B A ACD BCD 题号 11 答案 BD 5．由题意可得，由双曲线定义可得， 故， 若,则,即，化简可得，则， 若,则,即，化简可得，不符合题意舍去， 6．由题，解得， 7．设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以，又因为直线的斜率为，将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 8．由题意知解得，故双曲线C的标准方程为． 由题意及双曲线的对称性，平行四边形与双曲线如图． 四边形为平行四边形，所以． 由题知，直线的斜率不为零，且，故设直线的方程为． 由，消去并整理得，，， 设，由根与系数的关系可得． 因为点均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率为：，所以，解得， 所以．， 令，则，所以． 因为在上单调递减， 当时，，所以面积的最小值为12 9．设等差数列的公差为， 又等差数列的前项和为，，， ∴，解得，，故A正确； ，故B错误； ，∴，故C正确； ，，∴，故D正确． 10．因为，，所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支，所以，故，所以的轨迹方程为，双曲线的右支，故A错误； 联立，解得（舍去），所以直线上存在满足题意的点，故B正确； 双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离， 所以满足的点共有0个，故C正确；因为即左焦点，而，因为，所以， 所以的周长为， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以的周长的取值范围是，故D正确. 11．解：对于A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积不变， 且，所以A错误； 对于B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 可得，设，则，， 设与所成角为，＝＝， 因为，当时，可得，所以， 当时，＝，由，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确； 对于C，由， 设，则，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以，因为平面，所以，可得，所以＝＝， 当时，等号成立，所以C错误； 对于D：因为直线与平面所成的角为，由平面，得直线与所成的角为， 若点在平面和平面内，因为，，故不成立； 在平面内，点的轨迹是；在平面内，点的轨迹是； 在平面内，作平面，如图所示， 因为，所以，又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确. 12．或9 【详解】因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 13． 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 14．【详解】 抛物线得焦点为，准线方程为， 由题意得，则抛物线方程为，，直线方程为， 由得，，设的横坐标为，则，， 所以，，圆的半径为4，过点作轴于点，则， 在中，. 15．【详解】（1）因为，所以，……………………………………2分 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列；……………………………………5分 （2）由（1）可得，则，……………………………………6分 所以，……………………………………8分 所以 .……………………………………13分 16．【详解】（1）易知过点且与直线垂直的直线斜率为， 故圆心M与切点连线方程为，……………………………………2分 联立解得， 所以；……………………………………4分 所以圆M的半径为， 所以圆M的方程为.……………………………………6分 （2）如图，由（1）可知圆M的方程为，    因为直线被圆M截得的弦长为， 所以M到直线的距离为，……………………………………9分 若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；…………………11分 若直线的斜率存在，设方程为， 则，即，解得或， 所以直线的方程为或.……………………………………15分 17．【详解】（1）平面平面， 又， 又，平面，平面……………………………………2分 又平面.又 ， 即.又平面，平面.……………………………………6分 （2）如图所示，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    易得， ……………………………………8分 设平面的法向量，则， 取，则法向量.……………………………………11分 由（1）可知平面的法向量.……………………………………12分 ……………………………………14分 平面与平面的夹角为.……………………………………15分 18．【详解】（1）抛物线：的准线方程为， 因为点在抛物线上，且，……………………………………2分 所以，解得， 所以抛物线方程为，……………………………………5分 又因为点在抛物线上，所以，即.……………………………………6分 （2）由（1）可知抛物线的焦点， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 由，消去整理得， 所以，则，，……………………………………9分 所以， ， 又，所以，， 因为，所以，………………………………13分 即， 即，解得，……………………………………15分 所以直线的方程为，即.……………………………………17分 19．【详解】（1）根据题意双曲线， 因为，解得， 双曲线的方程为；……………………………………4分 （2）    由（1）知，，， 设， 已知，又， 所以，……………………………………5分 由点Q在椭圆上，则， 又点为双曲线上任意一点，则， 联立，解得，或， 所以点P的坐标为或或；……………………………………10分 （3）当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下， 当重合时，由题意，则，则，……………………………………11分 当不重合时，，设直线的方程为，， 由得， 因为双曲线的渐近线方程为， 又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，，……………………………………13分 所以 ， 所以存在实数，使得.……………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$试卷第 1页，共 4页 重庆市永川中学校高 2026 届高二（上）12 月月考 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时 间 120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共 58分） 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．若点  2,5,4M 关于平面Oxz和 x轴对称的点分别为  , ,a b c ，  , ,d e f ，则b f （ ） A． 9 B． 1 C．1 D．9 2．已知圆 2 21 : ( 1) ( 1) 1C x y    与圆  2 2 22 : 4 2 5 0 0C x y x y a a       外切，则 a的值为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知椭圆 2 2 1 11 3 x y m m     的焦点在 y轴上，且焦距为 4，则m （ ） A．5 B．6 C．9 D．10 4．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M ，N分别是CD， 1CC 的中点，则直线 1AM 与DN 的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．异面不垂直 D．异面垂直 5．已知双曲线C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P为C在第一象 限上的一点.若 1 2PFF 为直角三角形， 1 2 1 22PF PF FF  ，则C的离心率为（ ） A． 3 2 B． 3 C．2 D． 5 2 6．已知等差数列 na 满足 1 3 2 7 3 9 7 8 100a a a a a a a a    ，则 5a （ ） A． 5 2 B．5 C． 5 2 或 5 2  D．5或－5 试卷第 2页，共 4页 7．已知椭圆   2 2 2: 1 0 6 272 x yC b b     ，过点 (2,1)P 且斜率为 1 的直线与C相交于 ,A B两 点，若 P恰好是 AB的中点，则椭圆C上一点M 到焦点 F 的距离的最小值为（ ） A．6 B．6 2 6 C．6 2 3 D．6 2 6 8．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0 0 x yC a b a b    ， 的左、右焦点分别为 1 2F F， ， 1 2 4FF  ，且C的 一条渐近线与直线 : 3 1 0l x y   平行． A B D E， ， ， 分别是C在第一、二、三、四象限内 的四点，且四边形 ABDE是平行四边形．若 2A E F， ， 三点共线，则∆���面积的最小值为（ ） A．12 B．24 C．16 D．8 二、多选题：本题共 3小题，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．记等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 9 27S  ， 2 10 10a a  ，则（ ） A． 1 5a   B． 6 2S  C． 3nS S D． 7 7S a 10．已知  0,4A ，  3,0B  ，  3,0C 点 P满足 4PB PC  ．则（ ） A．点 P的轨迹为双曲线 B．直线 0x y  上存在满足题意的点 P C．满足 8 3 PA  的点 P共有 0个 D． PAB 的周长的取值范围是 14, 11．如图，点 P是棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的表面上一个动点，则（ ） A．当 P在平面 1 1BCC B 上运动时，三棱锥 1P AAD 的体积为定值 4 B．当 P在线段 AC上运动时， 1D P与 1 1AC 所成角的取值范围是 π π, 3 2      C．若 F 是 1 1AB 的中点，当 P在底面 ABCD上运动，且满足 / /PF 平面 1 1BCD 时， PF长 度的最小值是 5 D．使直线 AP与平面 ABCD所成的角为 45 的点 P的轨迹长度为 π 4 2 试卷第 3页，共 4页 第Ⅱ卷（非选择题共 92分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．已知点  ,M a b 在直线 4 3 0x y c   上，若 2 2( 1) ( 1)a b   的最小值为 4，则c  ． 13．若数列 na 满足 1 12a  ， 21 2 32 3 n na a a na n a      ，则 2025a  ． 14．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F，过点 F且斜率为 3的直线 l交 C于 A，B 两点，以线段 AB为直径的圆交 y轴于 M，N两点，设线段 AB的中点为 Q，若点 F到 C的 准线的距离为 3，则 sin QMN 的值为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15．（13分）已知数列 na 满足： 1 1a  ， 1 2 1 n n n aa a   . (1)若 1 n n b a  ，求证： nb 为等差数列. (2)求数列 1n na a  的前 n项和 nS . 16．（15分）在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 M的圆心在直线 2y x  上，且圆 M与直线 5 0x y   相切于点  2, 3P  . (1)求圆 M的方程； (2)过坐标原点 O的直线 l被圆 M截得的弦长为 6 ，求直线 l的方程. 17．（15分）已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 2AB BC BB   ，且 AB BC ，点 ,E F分别 为线段 AC和 1CC 的中点. (1)证明： 1A E 平面 BEF； (2)求平面 1ABC 与平面 BEF的夹角. 试卷第 4页，共 4页 18．（17分）已知抛物线C：  2 2 0y px p  的焦点为 F ，点  2,A a 在抛物线C上，且 3AF  . (1)求抛物线C的方程，并求 a的值； (2)过焦点 F 的直线 l与抛物线C交于M ，N两点，若点  1,1B  满足 90MBN  ，求直线 l 的方程. 19．（17分）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共 轴”曲线．若双曲线 1C 与椭圆 2C 是“共轴”曲线，且椭圆   2 2 2 2: 1 0 39 x yC b b     ， 1 2 4 5 9 e e  （ 1e 、 2e 分别为曲线 1C 、 2C 的离心率）．已知点  1,0M ，点 P为双曲线 1C 上任意一点． (1)求双曲线 1C 的方程； (2)延长线段 PM 到点Q，且 2PM MQ ，若点 Q在椭圆 2C 上，试求点 P的坐标； (3)若点 P在双曲线 1C 的右支上，点 A、B分别为双曲线 1C 的左、右顶点，直线 PM 交双曲 线的左支于点 R，直线 AP、BR的斜率分别为 APk 、 BRk ．是否存在实数，使得 AP BRk k ？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．