期末押题预测卷01（范围：立体+解析几何+数列）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期末押题预测卷01 （范围：立体+解析几何+数列 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与直线，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 2．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 4．圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（    ） A． B． C． D． 5．若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 6．已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 10．已知空间中三点，则（    ） A．与向量方向相同的单位向量是 B．在上的投影向量是 C．与夹角的余弦值是 D．坐标原点关于平面的对称点是 11．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B．若两圆有四条公切线，则 C．当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D．Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．记为等差数列的前n项和，已知，，，的前n项和为，则 . 13．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 14．已知双曲线，的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是 ，双曲线的离心率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求． 16．已知，点在直线上. (1)若点的横坐标为，求的面积； (2)若的周长最小，求点的坐标及的周长. 17．已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 18．如图，在四面体 中, .    (1)证明: ; (2)已知棱上两点,满足，且点到平面的距离为 ，点到平面的距离为，点到平面的距离为. 若，求直线与 所成角的余弦值. 19．（1）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，. （2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期末押题预测卷01 （范围：立体+解析几何+数列 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线与直线，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为直线与直线， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 2．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以， 故，则， 所以， ， 因此， 故选：B. 3．在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由空间向量基本定理可得 又由题干，则，故. 故选：C. 4．圆心在抛物线上，且与直线相切的圆一定过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的标准方程为：， 抛物线的准线方程为，焦点为． 设动圆圆心为，则到的距离：． 动圆与直线相切， 到直线的距离为动圆半径，即动圆半径为，即为圆上的点． 此圆恒过定点． 故选：B． 5．若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 则有， . 故. 故选：C. 6．已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆的方程，则圆心，半径，结合题意作图如下： 由与圆相切，则，且， 设，则，可得， 的最小值为，的最大值为. 故选：B. 7．已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得，即，即， 即，① 又因为点在直线上，则，② 联立①②可得，故线段的中点为. 故选：C. 8．如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，由为等边三角形，则， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以, 因为为等腰三角形，是的中点，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， ， ． 设平面的一个法向量为，则 取，则． 因为平面，所以，解得． 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 10．已知空间中三点，则（    ） A．与向量方向相同的单位向量是 B．在上的投影向量是 C．与夹角的余弦值是 D．坐标原点关于平面的对称点是 【答案】ABD 【详解】， 对于A，与向量方向相同的单位向量是，故A正确； 对于B，在上的投影向量是，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，即，令，可得， 所以平面的一个法向量是， 原点到平面的距离， 坐标原点关于平面的对称点是，故D正确. 故选：ABD. 11．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B．若两圆有四条公切线，则 C．当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D．Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 【答案】ACD 【详解】圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径，， 对于A，当时，，圆与相交， 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，A正确； 对于B，由两圆有四条公切线，得圆与外离，则，解得，B错误； 对于C，当时，圆与外离，则，C正确； 对于D，设，依题意，点在以线段为直径的圆上， 线段为直径的圆方程为，与圆的方程相减， 得直线方程：，即， 由，解得，因此直线过定点，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．记为等差数列的前n项和，已知，，，的前n项和为，则 . 【答案】50 【解析】利用等差数列的求和公式可得，再利用通项公式即可求出的通项，即可得到，从而得出． 【详解】解：设等差数列的公差为，，． ，解得． ． 因为，所以 所以 故答案为： 13．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1， 则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示： 解得. 故答案为： 14．已知双曲线，的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是 ，双曲线的离心率是 ． 【答案】 【详解】不妨设直线与圆C相切于点A，如图所示， 则，，， ，，， ，， 在第一象限，， 所以直线的斜率， 将的坐标代入，可得， ，， 离心率. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为， 所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）可得， 所以， 所以. 16．已知，点在直线上. (1)若点的横坐标为，求的面积； (2)若的周长最小，求点的坐标及的周长. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1），代入，解得，即， 解法一：， . 解法二：根据得出， 到的距离为， . （2）设点关于直线的对称点为， 由题意得，解得，即， 因为， 所以三点共线距离和最小，即的周长最小， ，交于点，解得， 此时. 17．已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 18．如图，在四面体 中, .    (1)证明: ; (2)已知棱上两点,满足，且点到平面的距离为 ，点到平面的距离为，点到平面的距离为. 若，求直线与 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明:取的中点，连接 . 因为 ,所以. ,平面，从而平面. 又平面，所以.因为 , 平面,所以平面. 又平面 ,所以 . 因为,所以平面 . 又平面,所以. （2）由（1）可知， 两两垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴,轴,轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，由 ， 得 即，则.   由 ，得 ，则.    则. 则 故直线与所成角的余弦值为. 19．（1）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，. （2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】解：（1）由，得，， 又，， 所以， ， 即，. （2）由题意，在椭圆中，，，，. 设，， 则由焦半径公式，得，所以， 所以线段的中点为. 设.由题意知，直线与坐标轴不平行，且直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为. 代入，得 ， 解得，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$