08空间直线、平面的平行-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

08空间直线、平面的平行（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：直线与直线平行 3 考点二：直线与平面平行 7 考点三：平面与平面平行 13 【自学检测】 25 自学概念 1. 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. 2. 等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 3. 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 4. 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 5. 平面与平面平行的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. (2)符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. 6. 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 自学考点 考点一：直线与直线平行 一、单选题 1．（23-24高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（    ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 二、多选题 3．（23-24高一·全国·课后作业）(多选题)下列命题中，错误的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 4．（23-24高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 三、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是 6．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B D AC BD 1．B 【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断. 【详解】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个． 故选：B 2．D 【分析】利用中位线定理和等角定理即可解决. 【详解】由图可知，在中，,,分别是 ,的中点， 所以 且， 同理在中， 且， 所以所以四边形为平行四边形， 所以，， ， 四点共面，所以A正确; 在中,由中位线定理得 同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以, 所以由等角定理可知， ，,, 所以，所以C正确; 由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误; 故选:D. 3．AC 【分析】由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假. 【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误； 对于选项B：由等角定理可知B正确； 对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误； 对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确. 故选：AC. 4．BD 【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；利用反证法判断D. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误； 对于B，所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，故B正确； 对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等或互补，故C错误； 对于D，因为四个点不共面，假设其中任意三点共线， 由平面公理2的推论可得此四点共面，与已知矛盾，所以假设错误，故D正确. 故选：BD. 5．或 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 6．或 【分析】根据等角定理可求角的值. 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 考点二：直线与平面平行 一、单选题 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 二、多选题 3．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是（    ） A．对于任意的点，都有 B．对于任意的点，四边形不可能为平行四边形 C．存在点，使得为等腰直角三角形 D．存在点，使得直线平面 4．（22-23高一下·福建龙岩·期中）下列说法中正确的是（    ） A．已知两直线平行于平面，那么直线一定平行 B．若直线平行，直线在平面内，则直线平行于平面内的无数条直线 C．若直线不平行于平面，则平面内的所有直线均与a异面 D．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 三、填空题 5．（23-24高三上·河南·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则 . 6．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，直线平面，点平面，并且直线a和点A位于平面两侧，点B，C，，AB，AC，AD分别交平面于点E，F，G，若，，，则EG= . 四、解答题 7．（2024高三·全国·专题练习）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点.求证：平面； 8．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D D ABD BD 1．D 【分析】根据题意只需作出过点并且和平行的平面即可得出平面的个数. 【详解】分别在上取点，使得，连接，如下图所示： 易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等， 显然这样的平面可以作出无数个. 故选：D 2．D 【分析】经推理得出是过点且平行于的直线，再根据各选项中需判断的直线，平面之间的关系，结合图形，利用线线平行，线面平行的判定和性质逐一判断即得. 【详解】 因为点平面平面，所以. 又因直线平面平面，故得， 所以是过点且平行于的直线. 对于A，因为,，所以，故不成立，即A错误； 对于B，因为，而，故不成立，即B错误； 对于C，因为，而平面,故平面不成立，即C错误； 对于D，因为,，所以， 又平面平面，所以平面，即D正确. 故选：D. 3．ABD 【分析】根据面面平行的性质判断，，使用假设法判断，． 【详解】解：∵，面，面，所以面， 又，同理可证面，因为 ∴平面平面，∵平面平面，平面平面，∴，故正确． ∵四边形是直角梯形，，∴平面与平面不平行， ∵平面平面，平面平面， ∴与不平行，故四边形不可能为平行四边形，故正确． ，要使为等腰直角三角形，则，但根据题意，故C不正确． 延长至，使得，则四边形是矩形，∴． 当，，三点共线时，平面，∴平面，故正确． 故选：ABD 4．BD 【分析】根据线线、线面位置关系等有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，直线平行于平面，可能平行、异面、相交，A选项错误. B选项，由于，所以在内与平行的直线（异于），都与平行，B选项正确. C选项，若直线不平行于平面，如， 则内有无数条直线与平行，所以C选项错误. D选项，根据平面的性质可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内， 则这条直线在这个平面内，所以D选项正确. 故选：BD 5． 【分析】根据线面平行的性质定理，平行线分线段成比例等知识求得正确答案． 【详解】设，连接， 由于平面，平面，平面平面， 则， 由于,,所以， 所以． 故答案为：． 6．/ 【分析】利用线面平行的性质可得∥，然后利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解 【详解】因为直线平面，点B，C，，平面平面， 所以∥， 所以, 所以， 故答案为： 7．证明见解析 【分析】由题意证得，再由线面平行的判定定理证明即可. 【详解】取中点D，连接DN、， 因为D、N分别为、，所以且， 因为与平行且相等，M为中点， 所以与平行且相等， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 8．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行的判定定理即可证明出结论； （2）由正四棱台的上、下底面边长分别求得上下底面面积以及侧面面积即可得出表面积. 【详解】（1）连结，交于点，连结.    在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点，    又为的中点， 又平面，平面，    平面. （2）由已知，梯形中，，，， 过作，交于点，    ，， 所以梯形的面积为 正四棱台的表面积为： . 考点三：平面与平面平行 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若是异面直线，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底面ABCD垂直）组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（   ）    A．异面直线AE与BC所成的角为 B． C．平面平面CDF D．直线AE与平面BDE所成的角为 二、多选题 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）长方体中，，，E是线段上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．平面 C．的最小值为 D．以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 4．（23-24高三下·湖南常德·阶段练习）如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为棱 、的中点，则下列结论正确的是 （    ）    A．直线与是异面直线 B．直线与是平行直线 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题 5．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件 . 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为4，E为的中点，F为线段上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，当时，截面S与，分别交于M，N，则 . 7．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于 . 四、解答题 8．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知正方体的棱长为1，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 9．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B B BCD AD 1．B 【分析】A中或； B中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可；C中，可能平行、相交或异面； D中或. 【详解】对于A，若且，则或，故A错误； 对于B，若是异面直线，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故B正确； 对于C，若，，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误. 故选：B. 2．B 【分析】对于A，异面直线AE与BC所成的角转化为直线AE与AD所成角即可；对于B，只需证明平面ACE即可；对于C，需证平面与平面,得出面面平行判断即可；对于D，先证平面BEDF，故即为直线AE与平面BDE所成的角，求解即可. 【详解】因为，所以（或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角， 又，所以，即异面直线AE与BC所成的角为，A错误； 连接AC交BD于点O，则点O为正方形的中心，连接EF， 根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且平面， 所以，又，，OE，平面ACE， 所以平面，又平面，所以，B正确； 由对称性可知，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 同理平面，又，AF，平面， 所以平面平面，C错误； 由，，得，在正方形ABCD中，， 又平面，所以平面， 所以即为直线AE与平面所成的角， 设该八面体的棱长为2，则， 所以，所以，D错误. 故选：B.    3．BCD 【分析】计算的边上的高后可判断A的正误，可证平面平面，从而可平面，故可判断B的正误，利用平面展开图结合余弦定理可求的最小值，故可判断C的正误，D中判断出交线的形状结合计算可判断D的正误. 【详解】 对于A，因为在长方体中，，， 故，故为等腰三角形， 而，故为锐角， 故的最小值为的边上的高，设高为， 则，故， 故的最小值为，故A错误. 对于B，由长方体的性质可得， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，而平面，故平面， 故B正确. 对于C，如图，将、放置在一个平面中， 则的最小值即为，而， ， 因为、均为锐角，故，， 故， 故，故C正确. 对于D，以A为球心，为半径的球面与侧面的交线为个圆弧， 该圆弧的圆心为，半径为，故弧长为，故D成立. 故选：BCD. 4．AD 【分析】利用异面直线的定义可判断A选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断B选项；求出的外接球的表面积，可判断C选项；分析出平面截正方体所得截面图形为梯形，并计算出的面积，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，平面， 由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，A对； 对于B选项，假设直线与是平行直线，则、、、四点共面， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，， 又因为，所以，，这与矛盾， 假设不成立，故与不平行，B错； 对于C选项，正方体的外接球半径为， 即三棱柱的外接球的半径为，该球的表面积为，C错； 对于D选项，连接，    在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为、分别为、的中点， 所以，且， 故且，故、、、四点共面， 所以，平面截正方体所得截面图形为梯形， 由勾股定理可得，同理可得， 故梯形为等腰梯形， 过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、， 在和中，，，， 所以，，所以，， 在梯形内，因为，，， 所以，四边形为矩形，故， 所以，，故， 所以，梯形的面积为， 故平面截正方体所得的截面面积为，D对. 故选：AD. 5． 【分析】确定为平面内的两条相交直线，，故，得到答案. 【详解】因为一个平面内两条相交直线平行于另一个面，则这两个面平行， 所以要证，需要，，以及，共五个条件， 所以需要在条件“”之外补充条件是. 故答案为：. 6． 【分析】由面面平行的性质可得截面与平面及平面的交线，后由几何知识可得答案. 【详解】由图，截面S与平面，平面相交，因平面//平面，则相应交线平行. 则过A作EF的平行线，则平行线与交点即为M，与延长线交于H. 注意到，则，又，则. 又注意到，则. 又截面S与平面，平面相交，则同理过M作AE平行线，则平行线与交点即为N. 注意到，则. 则根据勾股定理，. 故答案为：. 7． 【分析】连接交于点，连接、，过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使，证明出平面平面，计算出的面积，即可得解. 【详解】如图，连接交于点，连接、. 因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 故截面平行于平面. 过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使. ，，，. 因为平面，平面，所以，平面， 又因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 易得，故， 因为， 易知是边长为的等边三角形，所以，， 因此，. 故答案为：. 8．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由正方体的结构特征得到，，再由线面平行及面面平行的判定证面面，最后利用面面平行的性质定理即得结论； （2）利用棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】（1）连接，由正方体的性质易得，， 由面，面，则面， 由面，面，则面， 因为且都在面内，则面面， 由于面，故平面. （2）由正方体结构特征，易知三棱锥的底面为等腰且高为， 所以三棱锥的体积. 9．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【详解】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. （2），分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）如图，在已知正方体.中，是棱上的点，且 平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，点是平面外一点，，，分别是，的中点，且，则异面直线和所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 6．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东汕头·期中）如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．当在平面内运动时，四棱锥的体积变化. B．若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 C．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 D．当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 10．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知正方体的边长为4，，，的中点分别为，，，则（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．、、相交于一点 D．平面与正方体的截面的周长为 11．（2024·北京·模拟预测）在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形 B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·期中）如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、、中，直线与直线所成角为 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，，，，分别是正方体和正四面体所在棱的中点，则这四个点共面的图形是 ．（填序号）   14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体中，，．    (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 16. (15分) （24-25高三上·河南·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 17. (15分) （24-25高二上·广东·期中）如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面． (1)求证：点为线段的中点； (2)求点到平面的距离． 18. (17分) （2025高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点. 若为的中点，求证：平面.    19. (17分) （2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D B D A B BC ACD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】作出截面，利用台体的体积公式求出较小部分的体积，用正方体的体积减去较小部分的体积，可得较大部分的体积，可得两部分的体积之比. 【详解】如图：取棱上的点，使得，连接，.不妨设正方体棱长为3. 则，所以点共面，平面就是平面. 平面把正方体分成两部分，其中几何体为棱台， 其体积为：. 又正方体的体积为：. 所以较大部分的体积为：. 所以：. 故选：A 2．D 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 3．B 【分析】先寻找过点与垂直的两条件相交直线，再作出过点与垂直的平面，找到正四棱柱被平面所截的截面图形，证明并研究图形的特殊性质，根据几何性质求周长即可得. 【详解】如图，在上取点，使，连接， 则，故， 又， 故， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 故平面，又平面，故， 在上取点，使，同理可证， 又，平面，则平面， 设平面与棱交于点，连接， 则平面平面，又平面平面， 由平面平面，则， 同理可证，故四边形为平行四边形，则四点共面， 在平面内，在棱上取点，使，连接， 则，， 则四边形是平行四边形，则，所以， 又，所以四边形是平行四边形，则， 则为的中点，由， 可得，则四边形为菱形， 且平面，由，则点在过点且与垂直的平面内， 即平面内，又点是该正四棱柱表面上的一动点， 故点的运动轨迹即为菱形，且该菱形的周长为. 故选：B.    4．D 【分析】取的中点，连接，，证明为异面直线和所成的角，解三角形求其大小. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 故且，，且. 则为异面直线和所成的角， 又，故， 所以. 故选：D. 5．B 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可. 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 6．D 【分析】过作，过作，将几何体转化为三棱柱和两个三棱锥的体积之和求解. 【详解】过作，垂足为，连接，由对称性可得， 又，平面，平面， 过作，垂足为，连接，则， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，即空间几何体为直三棱柱. ∵，，所以，， 同理求得，，则， 又，等腰三角形的面积为， 空间几何体拆分为三棱柱、三棱锥和三棱锥三个部分， ∴空间几何体的体积为. 故选：D. 7．A 【分析】先证明平面，将点到平面的距离转化为点到平面的距离，再利用等体积计算即得. 【详解】 连接,因,可得,则, 因平面，平面，故平面， 则点到平面的距离即点到平面的距离. 在中，因, 由余弦定理，,则， 于是，而. 设点到平面的距离为， 由，可得，解得. 即点到平面的距离为. 故选：A. 8．B 【分析】A由平面平面及棱锥体积的求法判断；B若分别是的中点，利用正方体的结构特征及线面、面面平行的判定证明在上运动，结合截面为正六边形求PF长度的最小值；C根据正方体的结构确定的轨迹，即可求长度；D将问题化为求与所成角范围. 【详解】A：由平面平面，即到面的距离恒定，故四棱锥体积恒定不变，错； B：若分别是的中点，是棱的中点， 所以，面，面，故面， 同理可证面，由均在面内， 所以面面，又面面，即在上运动， 根据上述分析易知，面截正方体的截面是边长为的正六边形， 所以最小是的长度为，对； C：由直线AP与平面ABCD所成的角为，结合正方体的结构特征， 显然，在如下图的线段及圆弧上运动时，满足题设， 所以的轨迹长度为，错； D：由正方体结构知：，则与所成角，即为与所成角， 由在线段AC上运动，如下图是等边三角形，故与所成角范围是，错. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据各项描述结合正方体的结构特征找到的轨迹为关键. 9．BC 【分析】由由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断四边形形状判断A，D. 【详解】由三角形中位线的性质知，，，， 所以，所以四边形为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD不正确． 在中中位线定理得同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以, 所以由等角定理可知，，,, 所以，所以C正确; 故选：BC． 10．ACD 【分析】利用线线平行证明线面平行可判断A，由等体积法可判断B，由，相交于一点且平面平面可判断C，先求出截面再计算其周长可判断D. 【详解】A选项，因为，分别是和的中点， 所以在正方体中，， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； B选项，由等体积法， 因为，点到平面的距离， 又在中，， 所以等腰中边上的高， 进而可得，所以， 解得，即点到平面的距离为，故B错误； C选项，因为，所以相交于一点， 所以平面，平面， 所以有平面平面，即， 所以有、、相交于一点，故C正确； D选项，设点，，分别为，，中点，则，， 所以六点共面， 所以平面与正方体的截面为边长为的正六边形， 则其周长为，故D正确. 故选：ACD. 11．BCD 【分析】作出经过，，三点的截面，判断A的真假；作出异面直线与所成的角，利用等腰三角形的性质，求角的余弦，判断B的真假；判断点到平面的距离是否为定值，可判断C的真假；转化成平面上两点之间线段最短，并求出最小值，可判断D的真假. 【详解】对A：如图： 直线交直线于，设. 因为， 因为三点共线，所以，因为，所以. 所以点在线段上. 设射线与射线交于点，连接交于点. 在线段上取点，使；在线段上取点，使. 依次连接，可得经过，，三点的直棱柱的截面，可见截面不是四边形，故A错误； 对B：如图： 因为，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，所以，故B正确； 对C：易知平面平面，平面，所以平面. 点，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值.故C正确； 对D：如图 将绕旋转，使共面，则. 过作与直线垂直，垂足为. 在中，，，，所以，，， 所以.故D正确. 故选：BCD 12．/ 【分析】将正方体的平面展开图还原成正方体，在正方体中，连接，结合正方体的性质，利用异面直线所成角的定义，即可求解. 【详解】将正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，连接， 易知，则或其补角为直线与直线所成的角， 在中，易知，所以， 故答案为：. 13．①②③ 【分析】图①中，四点在梯形中，即可判定；图②中，四点在正六边形中，即可判定；图③中，四点在平行四边形中，可判定；图④中，由面，可判断. 【详解】图①中，连接，    易知①中四边形为梯形，故①共面； 图②中，可补齐为正六边形．    故②共面； 图③中，连接， 因为为中点，故且， 因为为中点，故且， 所以且，    所以四边形为平行四边形，故共面； 在图④中，因为为中点，故， 因为面，面，故面， 因此，，，四点不共面．    故答案为：①②③ 14．1 【分析】先利用面面平行的判定定理证得平面平面，从而得到点的轨迹，进而求得取得最小值时点的位置，再利用三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在长方体中，取的中点E，的中点F，连接EF，，，    而分别为的中点，则， 由，得四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面，同理平面AMN， 又平面，因此平面平面，又平面AMN， 则平面，即点在平面与平面的交线EF上， 当时，取最小值，又，则当取最小值时，P为EF的中点， 此时的面积， 三棱锥的体积. 故答案为：1 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合异面直线的判定定理分析证明； （2）连接，分析可知为异面直线与所成的角（或其补角），结合余弦定理运算求解. 【详解】（1）因为平面，平面，直线，平面， 由异面直线的判定定理可得与是异面直线． （2）如图，连接，    因为，，可知四边形为平行四边形， 则，即为异面直线与所成的角（或其补角）， 连接，由已知可得，， 则． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据线段的比例关系可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作，垂足分别为，分析可知绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为2的圆锥的侧面积之和，运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 连接，因为， 则， 可得， 且平面平面， 所以平面. （2）因为四边形是等腰梯形，， 所以， 又因为，可知， 所以， 且，即， 在平面中，作，垂足分别为，    则，， 又因为，则，可得， 所以绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为的圆锥的侧面积之和， 故所得几何体的表面积为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行可证面面平行，进而可证线线平行，结合中位线的性质即可得证； （2）根据棱台性质可得四边形为等腰梯形，结合等腰梯形的性质可得面积，等体积转化可得点到平面的距离. 【详解】（1）由已知为三棱台， 则， 又，，且点为中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 平面，且，，平面， 平面平面， 平面平面，平面平面， ， 为中点； （2） 连接，， 由（1）可知，， 又， 即，， 又，，平面， 平面， ， 易知四边形为直角梯形，则， 同理， 四边形为等腰梯形， 且等腰梯形的高为， 则， 设点到平面的距离为， 则， 即， 解得. 18．证明见解析 【分析】根据三角形中位线定理得证，则可由线面平行的判定定理得证. 【详解】如图所示，连接，因为为的中点， 为的中点，所以. 又因为平面， 平面，所以平面.    19．证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理先证明平面，再由面面平行的判定定理即可证明. 【详解】由题意，因为平面， 且平面 又因为平面平面， 所以由线面平行的性质得. 又因为点为的中点， 所以为的中点，即， 因为为的中点，即， 又因为， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又平面，，平面，平面， 所以平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 08空间直线、平面的平行（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：直线与直线平行 3 考点二：直线与平面平行 4 考点三：平面与平面平行 6 【自学检测】 10 自学概念 1. 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. 2. 等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 3. 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 4. 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 5. 平面与平面平行的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. (2)符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. 6. 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 自学考点 考点一：直线与直线平行 一、单选题 1．（23-24高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（    ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 二、多选题 3．（23-24高一·全国·课后作业）(多选题)下列命题中，错误的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 4．（23-24高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 三、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）空间中两个角和，若，则的大小是 6．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则 . 考点二：直线与平面平行 一、单选题 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 二、多选题 3．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是（    ） A．对于任意的点，都有 B．对于任意的点，四边形不可能为平行四边形 C．存在点，使得为等腰直角三角形 D．存在点，使得直线平面 4．（22-23高一下·福建龙岩·期中）下列说法中正确的是（    ） A．已知两直线平行于平面，那么直线一定平行 B．若直线平行，直线在平面内，则直线平行于平面内的无数条直线 C．若直线不平行于平面，则平面内的所有直线均与a异面 D．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 三、填空题 5．（23-24高三上·河南·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则 . 6．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，直线平面，点平面，并且直线a和点A位于平面两侧，点B，C，，AB，AC，AD分别交平面于点E，F，G，若，，，则EG= . 四、解答题 7．（2024高三·全国·专题练习）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点.求证：平面； 8．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 考点三：平面与平面平行 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若是异面直线，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底面ABCD垂直）组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（   ）    A．异面直线AE与BC所成的角为 B． C．平面平面CDF D．直线AE与平面BDE所成的角为 二、多选题 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）长方体中，，，E是线段上的一动点（包括端点），则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．平面 C．的最小值为 D．以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 4．（23-24高三下·湖南常德·阶段练习）如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为棱 、的中点，则下列结论正确的是 （    ）    A．直线与是异面直线 B．直线与是平行直线 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题 5．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件 . 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为4，E为的中点，F为线段上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，当时，截面S与，分别交于M，N，则 . 7．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于 . 四、解答题 8．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知正方体的棱长为1，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 9．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）如图，在已知正方体.中，是棱上的点，且 平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，点是平面外一点，，，分别是，的中点，且，则异面直线和所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 6．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东汕头·期中）如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．当在平面内运动时，四棱锥的体积变化. B．若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 C．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 D．当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 10．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知正方体的边长为4，，，的中点分别为，，，则（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．、、相交于一点 D．平面与正方体的截面的周长为 11．（2024·北京·模拟预测）在直棱柱中，底面为正方形，，为线段上动点，，分别为和的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则经过，，三点的直棱柱的截面为四边形 B．直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·期中）如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、、中，直线与直线所成角为 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，，，，分别是正方体和正四面体所在棱的中点，则这四个点共面的图形是 ．（填序号）   14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体中，，．    (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 16. (15分) （24-25高三上·河南·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，为棱上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积. 17. (15分) （24-25高二上·广东·期中）如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面． (1)求证：点为线段的中点； (2)求点到平面的距离． 18. (17分) （2025高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点. 若为的中点，求证：平面.    19. (17分) （2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$