06简单几何体的表面积与体积-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

06简单几何体的表面积与体积（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：棱柱、棱锥、棱台表面积 3 考点二：棱柱、棱锥、棱台体积 4 考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 7 考点四：球的表面积和体积 9 【自学检测】 10 自学概念 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 (1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积 (1)棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (2)棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (3)棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h. 3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 4. 圆柱、圆锥、圆台的体积 V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高). 5. 球的表面积与体积 前提条件 球的半径为R 球的表面积公式 S球＝4πR2 球的体积公式 V球＝πR3 球的表面积公式与体积公式的联系 V球＝S球R 自学考点 考点一：棱柱、棱锥、棱台表面积 一、单选题 1．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南保山·期中）已知三棱锥P-ABC，满足，，则三棱锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 二、多选题 4．（23-24高一下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ） A．直三棱柱的侧面积是 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．三棱锥的体积与点的位置有关 D．的最小值为 5．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 三、填空题 6．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为 ．    考点二：棱柱、棱锥、棱台体积 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（   ）    A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 2．（2024·广东·二模）已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）一个正四棱台油槽可以装汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度为（    ） A．25cm B．75cm C．100cm D．150cm 二、多选题 4．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 5．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点A到直线的距离为定值 D．三棱锥的体积不为定值 6．（23-24高一下·广东·期中）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 三、填空题 7．（24-25高三上·广东·开学考试）中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为 . 8．（24-25高三上·上海·期中）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，则它的体积为 ． 9．（24-25高三上·广东·开学考试）高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式．高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系．如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长，下底边长，侧棱长，则此四棱台的体积为 ．    考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在高为 ，底面半径为的圆柱轴截面 的两边 与 上分别有 两点，且 ，则 两点沿圆柱侧面的最短距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（    ） A．圆柱和圆锥的体积之比为3 B．圆柱的底面半径和高之比为 C．圆锥的母线和高之比为2 D．圆柱和圆锥的表面积之比为 5．（22-23高一下·山东·期中）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 6．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 三、填空题 7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高度为 . 8．（23-24高一下·天津红桥·期末）若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为 9．（2024·福建南平·模拟预测）已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为 ． 考点四：球的表面积和体积 一、单选题 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．圆柱与球的表面积之比为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 三、填空题 5．（24-25高三上·山东济南·期中）古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 . 6．（24-25高三上·上海·期中）如图（1），在长方体中，，，为上底面的中心.现将矩形绕点在原平面内顺时针旋转角，连接、、、、、、、，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积是 .    自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期中）《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵.阳马和鳖臑的体积分别为，则下列等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽滁州·开学考试）以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·宁夏·期中）若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广西·期中）如图甲，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·海南海口·期中）在正四棱台中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台的各个顶点均在球Q的表面上，，则（    ） A．该正四棱台的高为3 B．该正四棱台的侧面面积是 C．球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为 D．动点P的轨迹长度是 10．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，为靠近的四等分点，为线段MG上一动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．HD的最小值为 D．若，则 11．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知四棱锥的底面是矩形，平面，，，，则四棱锥外接球的表面积为 ． 13．（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 14．（24-25高三上·福建·期中）已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·课堂例题）如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 16. (15分) （24-25高二上·上海松江·阶段练习）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 17. (15分) （24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 18. (17分) （24-25高二上·广西柳州·开学考试）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线. (1)求圆台的表面积与体积； (2)若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值. 19. (17分) （23-24高一下·浙江台州·期中）在中，角的对边分别是，若． (1)证明：是正三角形． (2)若的三顶点都在球表面，且球的表面积为，求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06简单几何体的表面积与体积（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：棱柱、棱锥、棱台表面积 3 考点二：棱柱、棱锥、棱台体积 7 考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 14 考点四：球的表面积和体积 20 【自学检测】 24 自学概念 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 (1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积 (1)棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (2)棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (3)棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h. 3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 4. 圆柱、圆锥、圆台的体积 V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)， V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高). 5. 球的表面积与体积 前提条件 球的半径为R 球的表面积公式 S球＝4πR2 球的体积公式 V球＝πR3 球的表面积公式与体积公式的联系 V球＝S球R 自学考点 考点一：棱柱、棱锥、棱台表面积 一、单选题 1．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南保山·期中）已知三棱锥P-ABC，满足，，则三棱锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 二、多选题 4．（23-24高一下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ） A．直三棱柱的侧面积是 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．三棱锥的体积与点的位置有关 D．的最小值为 5．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 三、填空题 6．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为 ．    参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B C C ABD ACD 1．B 【分析】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，由正四面体的表面积求出，从而求出正方体的表面积. 【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 所以， 所以. 故选：B 2．C 【分析】利用勾股定理得四个侧面都是直角三角形，利用三角形面积公式即可求得三棱锥的表面积. 【详解】由题，， 由勾股定理可得，，，，则有， 所以， 三棱锥的表面积为. 故选：C 3．C 【分析】先根据正四棱台的结构特点，求出斜高，在根据侧面积的计算方法求其侧面积. 【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为， 所以侧面梯形的斜高为， 所以棱台的侧面积为. 故选：C 4．ABD 【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D． 【详解】在直三棱柱中，，，, 则，底面和是等腰三角形，侧面全是矩形， 所以其侧面积为1×2×2+，故A正确； 设底面外接圆半径为，即，即， 所以直棱柱的外接球半径， 直三棱柱的外接球表面积为，故B正确； 由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值， ××2＝，××＝，故C错误； 把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时， 取最小值，，故D正确． 故选：ABD． 5．ACD 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】如图在正六棱台中，    因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为： ， 所以梯形的面积为：， 故正六棱台的侧面积为: ，故B选项错误； 由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为：，故A正确； 同理下底面积为：， 所以该正六棱台的表面积是,故C正确； 正六棱台的高为，D正确. 故选：ACD. 6． 【分析】在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，即可得出为正四面体，求出表面积即可． 【详解】在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，如图所示， 因为为正方体的面对角线， 所以， 所以为正四面体， 所以表面积为：， 故答案为：．    考点二：棱柱、棱锥、棱台体积 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（   ）    A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 2．（2024·广东·二模）已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）一个正四棱台油槽可以装汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度为（    ） A．25cm B．75cm C．100cm D．150cm 二、多选题 4．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 5．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点A到直线的距离为定值 D．三棱锥的体积不为定值 6．（23-24高一下·广东·期中）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 三、填空题 7．（24-25高三上·广东·开学考试）中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为 . 8．（24-25高三上·上海·期中）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形，则它的体积为 ． 9．（24-25高三上·广东·开学考试）高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式．高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系．如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长，下底边长，侧棱长，则此四棱台的体积为 ．    参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B AC ABC AC 1．B 【分析】利用棱柱与棱锥的体积公式求解． 【详解】由题意，， 所以， 所以. 故选：B． 2．B 【分析】根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为即可得答案. 【详解】四棱锥的体积，得， 直线与平面所成角的正弦值为， 故选：B. 3．B 【分析】代入棱台的体积公式，即可求解. 【详解】设四棱台的高为，上底面的面积为，下底面的面积为， 所以，解得：. 故选：B 4．AC 【分析】根据题意，设图1中水的高度为，几何体的高为，底面正方形的边长为，利用水的体积，得出与的关系，从而结合选项即可逐一判断． 【详解】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为； 则图2中水的体积为，即，解得， 所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误． 对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确； 对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半， 所以水面也恰好经过点，C正确； 对于D，任意摆放该容器，当水面静止时，点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都恰好经过点，D正确． 对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得，由，可得，可得， 所以的体积为， 可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确. 故选：AC． 5．ABC 【分析】A选项，根据底边为定值，高为，为定值，故三角形面积为定值；B选项，根据，所以，故B正确；C选项，A到的距离为定值，C正确；D选项，由等体积法得到三棱锥体积为定值. 【详解】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值， 底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，所以，即，故B正确； 对于C，A到直线的距离等于A到的距离，为定值，故C正确； 对于D，的面积为，而A到平面的距离， 即A到平面的距离，为， 因此，为定值，故D错误. 故选：ABC. 6．AC 【分析】运用台体体积公式,结合正三角形面积计算即可. 【详解】因为正三棱台的下底面的面积为， 所以正三棱台的体积 则A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 7．28 【分析】令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，由四个三棱柱的体积之和与四个四棱锥的体积之和，可得和，则有，求出中间长方体的体积，即可得该正四棱台的体积. 【详解】如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为， 依题意，四棱锥的体积为，即， 三棱柱的体积为，即，因此 于是长方体的体积， 所以该正四棱台的体积为. 故答案为：28 8． 【分析】根据题干信息和圆锥的体积公式求解即可． 【详解】因为锥的侧面展开图是圆心角为且半径为5的扇形， 所以圆锥的底面半径为， 所以圆锥的体积为：． 故答案为：． 9． 【分析】利用正四棱台的特征先求棱台的高，再利用棱台的体积公式计算即可. 【详解】如图正四棱台，过作平面为垂足， 由题意可知, 所以， 所以 故答案为：    考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在高为 ，底面半径为的圆柱轴截面 的两边 与 上分别有 两点，且 ，则 两点沿圆柱侧面的最短距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（    ） A．圆柱和圆锥的体积之比为3 B．圆柱的底面半径和高之比为 C．圆锥的母线和高之比为2 D．圆柱和圆锥的表面积之比为 5．（22-23高一下·山东·期中）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 6．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 三、填空题 7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高度为 . 8．（23-24高一下·天津红桥·期末）若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为 9．（2024·福建南平·模拟预测）已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D C ABC BCD CD 1．C 【分析】根据圆柱的侧面展开图，结合勾股定理即可求解. 【详解】把圆柱侧面沿母线 剪下一半展成矩形 ，如图 ，则展开图中线段 的长即为所求. 作 ， 因为 ，所以 . 又因为 ，所以 . 而 ，所以 . 故选： C. 2．D 【分析】利用圆锥的体积和侧面积公式求解即可. 【详解】设圆柱和圆锥的高为， 则圆锥的母线长为：， 由圆锥与圆柱侧面积相等得：，解得， 故圆锥的体积：. 故选：D 3．C 【分析】由圆台的表面积公式求解即可. 【详解】由题可知，该旋转体为上底面半径，下底面半径，母线长的圆台， 则该圆台的表面积. 故选：C. 4．ABC 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径为，高为，根据体积公式判断A；求出圆锥的母线，由侧面积相等得到，即可判断B、C；再由表面积公式判断D. 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，高为，则，， 所以，故A正确； 圆锥的母线，又圆柱和圆锥的侧面积相等，所以， 所以，则，即圆柱的底面半径和高之比为，故B正确； 所以圆锥的母线，则圆锥的母线和高之比为，故C正确； 圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 所以，故D错误. 故选：ABC 5．BCD 【分析】根据弧长公式、圆锥体积公式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 对于A，因为圆锥的体积为，故A错误； 对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确； 对于C，设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为， 当时，面积有最大值，最大值为，故C正确； 对于D，圆锥的侧面积为，故D正确. 故选：BCD. 6．CD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 7． 【分析】根据浇铸前后体积不变列方程，求得圆锥的高. 【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，圆锥的底面半径为，高为， 则圆柱的侧面积为，又，代入解得， 故，又，又，解得. 故答案为：. 8． 【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，因此圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故答案为： 9． 【分析】设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是，然后根据轴截面周长为16，可求出，从而可求出上下底面的面积和侧面积，进而可求出其表面积. 【详解】设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是， 故轴截面周长为，解得， 所以上、下底面圆的面积分别为，圆台侧面积， 所以圆台的表面积为 故答案为： 考点四：球的表面积和体积 一、单选题 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·福建三明·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．圆柱与球的表面积之比为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 三、填空题 5．（24-25高三上·山东济南·期中）古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 . 6．（24-25高三上·上海·期中）如图（1），在长方体中，，，为上底面的中心.现将矩形绕点在原平面内顺时针旋转角，连接、、、、、、、，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积是 .    参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A C BCD ACD 1．A 【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圆半径，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半径即得.解法2：先判断正三棱柱的外接球球心在高线的中点，即可判断外接球半径继而得出外接球体积范围，排除其他三项即得. 【详解】 解法1：如图，设正三棱柱外接球的球心为，半径为. 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：.而为的中点， 所以则 故选:A. 解法2：设正三棱柱外接球的半径为 因正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点， 故此时. 故选:A. 2．C 【分析】根据圆锥的特征先计算其高与底面圆半径，再利用相似的性质计算内切球半径，计算其表面积即可. 【详解】设该圆锥底面圆半径为r，高为h，根据题意有， 设其内切球半径， 所以内切球的表面积， 故选：C. 3．BCD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的表面积、体积公式计算可得. 【详解】对于A：圆锥的母线，所以圆锥的侧面积，故A错误； 对于B：圆柱的侧面积，则圆柱的表面积， 球的表面积，所以圆柱与球的表面积之比为，圆柱的侧面积与球的表面积相等，故B、C正确； 对于D：圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积， 所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：BCD 4．ACD 【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径，即可得出结论． 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为，选项A正确； 连接、和，则是直角三角形，且， 所以球的半径为， 所以圆台的体积为，故选项B错误； 圆台的表面积为，故选项C正确； 球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD． 5． 【分析】先根据球的体积得出球的半径，再根据圆柱的表面积公式计算即可. 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得： ， 故答案为：. 6． 【分析】首先确定球心，再求球心到顶点的距离，即可求得外接球的半径，再代入球的表面积公式. 【详解】该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，该点到该十面体每个顶点的距离均为， 所以这个十面体的外接球的半径为，从而其表面积. 故答案为： 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期中）《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵.阳马和鳖臑的体积分别为，则下列等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽滁州·开学考试）以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·宁夏·期中）若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广西·期中）如图甲，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·海南海口·期中）在正四棱台中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台的各个顶点均在球Q的表面上，，则（    ） A．该正四棱台的高为3 B．该正四棱台的侧面面积是 C．球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为 D．动点P的轨迹长度是 10．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，为靠近的四等分点，为线段MG上一动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．HD的最小值为 D．若，则 11．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知四棱锥的底面是矩形，平面，，，，则四棱锥外接球的表面积为 ． 13．（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 14．（24-25高三上·福建·期中）已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·课堂例题）如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 16. (15分) （24-25高二上·上海松江·阶段练习）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 17. (15分) （24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 18. (17分) （24-25高二上·广西柳州·开学考试）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线. (1)求圆台的表面积与体积； (2)若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值. 19. (17分) （23-24高一下·浙江台州·期中）在中，角的对边分别是，若． (1)证明：是正三角形． (2)若的三顶点都在球表面，且球的表面积为，求三棱锥的体积． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D D B D D BCD AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积. 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 2．A 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】相邻两个氟原子间的距离为2a， 故正八面体的每个面都是边长为2a的等边三角形， 故正八面体的表面积为：. 故选：A. 3．C 【分析】根据题设得，，再分析阳马与鳖臑的体积数量关系，即可判断各项正误. 【详解】由题意可知：，， 如下图，连接，将阳马一分为二，      因为， 可得，， 则，故， 所以ABD错，C正确. 故选：C. 4．D 【分析】先根据扇形的弧长公式求出圆锥的母线长，进而求出高，再根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：D. 5．D 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可； 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高， 侧面积， 故选：D. 6．B 【分析】根据圆锥的特征先计算底面圆半径，面积，周长，结合圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知该圆锥母线2，高为；底面圆半径为1，则其周长为，面积为， 所以该圆锥的侧面积为，表面积为. 故选：B 7．D 【分析】将三棱锥补成一个长方体，由三棱锥的外接球即为长方体的外接球求解. 【详解】解：由题意可得，，，且，，， 所以三棱锥可补成一个长方体， 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 如图所示： 设长方体的外接球的半径为R，可得， 所以外接球的体积为. 故选：D. 8．D 【分析】由已知得球的半径，作出圆台的轴截面，求出圆台的上、下底面半径，由圆台的体积公式即可得解． 【详解】设球的半径为，由，解得． 作出圆台的轴截面，如图，设，则， 由相切的性质可知，， 易知，分别是，的平分线，即，， 又， 所以，所以， 所以，又，则， 所以，即，所以， 所以，解得（负值已舍去）， 所以该圆台的体积为， 故选：D．    9．BCD 【分析】根据正四棱台的结构特征，结合已知条件计算判断AB；确定球心的位置，结合勾股定理求解判断C；确定点的轨迹，再求出轨迹长度判断D. 【详解】对于A，取正方形的中心，正方形ABCD的中心O，连接，则平面， 直角梯形中，过点作交于点M，则平面，， 由，得，，则，， ， 又，由勾股定理得，A错误； 对于B，过点作于点W，则， ， 正四棱台的侧面面积是，B正确； 对于C，正四棱台的外接球球心Q是直线与线段的中垂面的交点， 即直角梯形的斜腰的中垂线与直线的交点，连接，则， 由于，故Q在落在的延长线上， 设OQ=h，则，由勾股定理得， ，即，解得，C项正确； 对于D，显然，即点P的轨迹为以M为圆心、半径的圆在正方形ABCD内的部分，如图， 作于T，作于K， 则，则，又，由勾股定理得， 由，得，则， 所以动点P的轨迹长度是，D正确． 故选：BCD 10．AC 【分析】根据题意先证明线面平行结合三棱锥的体积公式判断A；在三角形中利用余弦定理计算判断B；根据点到直线的距离公式计算HD的最小值判断C；利用当与重合计算判断D； 【详解】对于A，取中点为，连中点为，连， 则易得且，故为平行四边形，， 又GM为中位线，故，故， 又平面平面，故平面， 其上任意一点到平面的距离相等，故三棱锥体积为定值，A正确， 对于B，由题，，而， 故，B错误， 对于C，当时HD最小，在平面内以为原点，DB为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则到GM的距离为，经验证此时在线段GM上，C正确， 对于D，当与重合时，，则，取明显错误，故D错误. 故选：AC. 11．ACD 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】将四棱锥还原到长方体中，可知四棱锥外接球即为对应长方体外接球，根据长方体外接球的半径公式可得半径与表面积. 【详解】 如图所示，将四棱锥还原到长方体中， 可知四棱锥外接球即为对应长方体外接球， 即外接球球心在长方体的体对角线中点处， 即外接球半径， 则外接球表面积， 故答案为：. 13． 【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算． 【详解】因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形， 则圆锥的母线长，底面半径， 所以圆锥表面积为． 故答案为：． 14． 【分析】设的外心为点，连接、，则平面，利用余弦定理求出方长，利用正弦定理求出的长，利用勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式结合锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】如下图所示： 设的外心为点，连接、，则平面， 在中，，，， 由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得，则， 所以，， ， 所以，. 故答案为：. 15． 【分析】将上面六棱锥的侧面积求出来，底面六棱柱的侧面积求出来，求和即可. 【详解】解：连接．因为，， 所以． 取的中点为Q，连接、PQ， 易得，， ． 设帐篷上部的侧面积为，下部的侧面积为， 所以， ，所以搭建帐篷的表面积为． 16．(1) (2)元 【分析】（1）利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积； （2）根据石凳表面的构成，求出其表面积，进而求粉刷一个石凳的价格. 【详解】（1）正方体体积为，石凳体积为正方体体积减去8个正三棱锥体积， 其一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，则一个小正三棱锥体积为， 故石凳体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳表面积为， 则粉刷一个石登需要元. 17．(1) (2) 【分析】（1）求出圆锥部分的母线长，根据圆锥以及圆柱的侧面积公式即可求得答案； （2）根据圆锥以及圆柱的体积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得，又, 故该蒙古包的表面积为（）； （2）由题意可得该蒙古包的体积为. 18．(1)表面积为，体积为 (2) 【分析】（1）根据圆台表面积以及体积公式计算可得结果； （2）利用圆锥与圆台的位置关系求得圆锥体积最大值，再根据圆内切条件可得球的最大半径为，即可求得球体积的最大值. 【详解】（1）由上、下底面直径可得上底面面积为，下底面面积， 圆台侧面积为； 所以圆台的表面积为. 取圆台轴截面，易知为等腰梯形，高为，即为圆台的高； 可得圆台的体积为. （2）如下图所示： 圆锥的高为，当其底面圆的半径最大时，其体积最大； 圆锥底面圆的最大半径为，此时底面右侧以为直径刻画最大圆， 而，则圆台上底面与该圆可得一个倾斜的圆柱，且轴截面为菱形， 当球与上述倾斜圆柱轴截面各边都相切时，其体积最大， 易知为等边三角形，可得， 作于点，易知， 因此球的直径为时，体积最大，此时圆台的高也能满足条件， 所以球体积的最大值为. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，再结合，即可得证； （2）设球的半径为，根据题意，求得，再设外接圆半径为，求得，由球的截面圆性质，求得，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 所以， 即， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 又因为，所以是正三角形． （2）解：设球的半径为，因为球的表面积为，所以，得到， 由（1）知是正三角形，且边长为， 设外接圆半径为，由正弦定理得，所以， 设球心到所在平面距离为，则由球的截面圆性质，可得， 则， 又因为， 所以三棱锥的体积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$