05基本立体图形与直观图-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

05基本立体图形与直观图（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 5 考点一：柱、锥、台 5 考点二：球 22 考点三：直观图 27 【自学检测】 31 自学概念 1. 空间几何体 (1)空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. (2)多面体、旋转体 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴 2. 棱柱的结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 3. 棱锥的结构特征 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥 S－ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 4. 棱台的结构特征 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 5. 旋转体的结构特征 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为球O 6.简单组合体 (1)定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的. 7. 水平放置的平面图形的直观图的画法 (1)直观图的概念 把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图. (2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 8. 空间几何体的直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 自学考点 考点一：柱、锥、台 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 4．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 6．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）正四棱台的上底面边长为a，下底面边长为b，上底面中心处高为h的旗杆顶点恰好为该四棱台四条侧棱的交点，则该四棱台的高为（　　） A． B． C． D． 7．（22-23高三上·河北张家口·期末）石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（    ） A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3 8．（23-24高一下·福建宁德·期中）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，下图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，的变化规律为边的正方形，依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的底面积为（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 10．（23-24高一下·江西·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱中至少有两个面完全相同 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 二、多选题 11．（2024·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 12．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 13．（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥． 14．（23-24高二上·福建厦门·开学考试）下列命题中错误的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 15．（22-23高一下·重庆·期中）下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 B．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、等腰梯形等 D．底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱 16．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 17．（22-23高一下·甘肃·期中）下列命题正确的是（    ） A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 三、填空题 18．（22-23高三上·贵州贵阳·期末）在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为 ． 19．（22-23高三·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，过三点的平面与直线交于点P，则线段的长为 ． 20．（24-25高二·上海·课堂例题）正三棱锥的侧棱长为2，高为1，则该正三棱锥的底面周长为 ． 21．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，点，分别是、的中点，过，，三点的平面与棱的交点为，若，则 ． 22．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 23．（23-24高一下·天津·期中）圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为 ． 24．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C A D B A C C 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 BCD AB ABC ACD AC BCD AC 1．C 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 2．D 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 3．D 【分析】根据题意，结合正棱锥的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误； 对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误； 对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确. 故选：D. 4．C 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 5．A 【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可. 【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为， 分别取的中点，连接， 在平面内，作交于， 则，，， 显然四边形是矩形，则，， 所以， 在直角中，， 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选：A 6．D 【分析】利用正四棱台的结构特征，借助相似三角形性质计算即得. 【详解】正四棱台的侧棱延长线交于点，则是正四棱锥， 分别是正方形的中心，则共线，且是正四棱锥的高， 连接，则有，于是， 因此，即，解得， 所以该四棱台的高为. 故选：D 7．B 【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解. 【详解】由题意知，； 故选：B. 8．A 【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，进一步求出圆锥的底面半径，即可求解. 【详解】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， 所以接下来的圆弧所在扇形的半径是， 对应的弧长， 设圆锥的底面半径为，则，即， 所以该圆锥的底面积为. 故选：. 9．C 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 10．C 【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B，两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台， 还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图，各侧棱的延长线不交于一点，该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的， 故棱柱中至少有两个面完全相同，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，故D错误. 故选：C. 11．BCD 【分析】根据点所在的特殊位置，分别求出，可得答案. 【详解】如图，当点在顶点处时，，故B选项正确； 当点在线段的中点时，，，，故C选项正确； 把三角形沿展开，使点与在同一平面， 当点为与的交点时，， 在中，，， 所以， 所以的最小值为，故D选项正确； 因为，故A选项不正确. 故选：BCD. 12．AB 【分析】由棱锥的定义和结构特点可判断A，C；由四面体的特点可判断B；举反例可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由棱锥的定义可知：棱锥的各个侧面都是三角形，故选项A正确； 对于B：四面体是由四个三角形围成的封闭图形，所以四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故选项B正确； 对于C：棱锥的侧棱相交于一点，故选项C不正确； 对于D：如图几何体是由两个四棱锥组成的几何体，满足有一个面是多边形，其余各面是三角形，但不是棱锥，故选项D不正确； 故选：AB.    13．ABC 【分析】对于A，根据棱锥的定义分析判断，对于B，根据棱台的定义分析判断，对于C，根据正三棱锥的定义分析判断，对于D，根据正六棱锥的定义分析判断. 【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥， 而有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误， 对于B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误， 对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心，所以C错误， 对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确， 故选：ABC 14．ACD 【分析】结合棱台和棱柱的结构特征逐一判断选项即可. 【详解】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱. 每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故A、D错误； B：符合棱柱的定义，故B正确； C：截面与底面 不一定互相平行，故C错误. 故选：ACD 15．AC 【分析】利用相关几何体的定义域特点一一分析判断即可. 【详解】对A，根据棱柱的特点知其侧棱都相等, 侧面都是平行四边形，故A正确； 对B，根据棱台定义知两个面不仅要平行，还要相似，各条侧棱所在直线交于一点，故B错误； 对C，若用与圆柱上下底面平行的平面去截圆柱，则得到截面为圆，若用与圆柱轴截面平行的平面截圆柱（也可是轴截面），则得到矩形，若此截面保证与上下底面相交，且交线相互平行，并且交线长不等，此时截面为等腰梯形，C正确； 对D，若这两个是矩形的侧面为相对的侧面，则此时另外两个面可以是平行四边形，则此时不是正四棱柱，故D错误. 故选：AC. 16．BCD 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台及圆锥的定义即可判断. 【详解】对于A，四面体为三棱锥，每个面都是三角形，所以每个面可以作为底面， 故A正确； 对于B，用不平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 截面与底面的部分组成的几何体不叫棱台，故B错误； 对于C，若以直角三角形的斜边为旋转轴， 其余两边旋转形成的曲面所围成几何体不叫圆锥. 故C错误； 对于D，如图所示，是由两个相同形状的三棱柱 叠放在一起形成的几何体，这个几何体就不是棱柱. 故D错误； 故选：BCD. 17．AC 【分析】根据圆锥母线的定义可判断A，根据棱台的定义可判断B，根据圆台的定义可判断C，根据平面与圆柱底面的位置关可判断D. 【详解】对于A，根据圆锥的母线的定义，可知A正确； 对于B，把梯形的腰延长后有可能不交于一点， 此时得到几何体就不是棱台，故B错误； 对于C，根据圆台的定义，可知C正确； 对于D，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时， 得到的截面不是圆和矩形，故D错误. 故选：AC 18．/ 【分析】根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度. 【详解】由题意，在面的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆弧，    所以轨迹长度为. 故答案为： 19．/0.75 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，画出图形，数形结合，根据正方形的性质求解即可 【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，如图所示： 在棱长为1的正方体中，分别为，的中点， 则为的中点， 所以为的中位线， 所以， 所以， 故答案为：. 20．9 【分析】由题画出图形，求出即可由正三角形重心性质求出正三棱锥底面正三角形中线，从而得底面边长，进而得解. 【详解】如图，三棱锥是侧棱长为2，高为的正三棱锥， 且由正三棱锥以及正三角形性质可知为底面正三角形的重心， 连接并延长交于点， 则D为中点且，故， 设该正三棱锥底面边长为， 则由得， 所以该正三棱锥的底面周长为. 故答案为：. 21．2 【分析】延长和交于点，根据，得到，连接交于点，得到过点的截面，取的中点，连接，根据，求得，进而得到，即可求解. 【详解】如图所示，延长和交于点， 由，且为的中点，所以，即， 连接交于点，连接，则过点的截面即为截面， 取的中点，连接，因为为的中点，所以，且， 所以，可得，即，所以， 因为，所以. 故答案为：.      22． 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【详解】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 23． 【分析】由题意可知任两条母线的夹角，轴截面的面积，根据的范围，求截面面积的最大值. 【详解】因为圆锥轴截面顶角为， 所以任两条母线夹角的范围是， 设母线长为，母线的夹角是， 所以圆锥顶点的轴截面面积， 因为，所以 ， 所以轴截面面积的最大值是. 故答案为：. 24． 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为（cm）. 故答案为： 考点二：球 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高三上·海南·阶段练习）若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 5．（23-24高一下·江西上饶·期末）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面 6．（2024高三·全国·专题练习）两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2024·上海徐汇·二模）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离是 ． 8．（2023高三·全国·专题练习）在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A A A BD AD 1．C 【分析】根据小圆周长求出小圆半径，再根据和均为等边三角形计算即可. 【详解】设小圆半径为r，则，∴． 在中，由正弦定理得， 又由已知，所以为等边三角形，得球半径为. 故选：C. 2．A 【分析】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可. 【详解】如图， 设球的半径为，线段的中点为，因为， 所以，解得， 设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离， 则，要截面面积最小，则要最小，即要最大， 因为当为点到的距离时最大，此时，又， 所以， 所以， 故截面面积的最小值为． 故答案为：． 故选：A 3．A 【分析】 如图示取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，即可得到，从而得到，利用勾股定理求出，从而得到为等边三角形，即可求出，从而得解. 【详解】如图示：取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，则⊥平面， 则，，所以， 因为在北纬圈上有两个点、，在西经，在东经， 所以，在中，， 所以为等边三角形，则，所以、两点的球面距离为. 故选：A 4．A 【分析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理列式求解即可. 【详解】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，. 设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以. 故选：A 5．BD 【分析】根据空间几何体的定义逐个分析判断即可 【详解】根据空间几何体的定义， 对于A，如图所示：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，错误； 对于B，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确； 对于C，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，错误； 对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，正确； 故选：BD. 6．AD 【解析】对两个平行平面在球心的同侧和异侧两种情况讨论，计算出球心到两截面的距离，进而可求得两平面间的距离. 【详解】如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧， 则； 如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧， 则. 故选：AD. 【点睛】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质“与底面全等或相似”，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面“轴截面”的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组，进而得解. 7． 【分析】正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角为直角，就可以求出的球面距离． 【详解】解：正四棱柱的对角线为球的直径，由得， ， ， （其中为球心） 、两点间的球面距离为， 故答案为：． 8．12 【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等且等于球体半径，故可得解. 【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，    由题意可知，为球心，在正方体中，， 即，则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为:12. 考点三：直观图 一、单选题 1．（23-24高一下·山东滨州·期末）如图所示，是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图．其中，，则四边形的面积是（    ） A． B．20 C． D．10 2．（23-24高一下·云南昆明·期中）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 3．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，，下列说法错误的是（   ） A．线段平行于轴 B． C．梯形是直角梯形 D．梯形的面积是3 4．（22-23高一下·湖南长沙·期末）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6 三、填空题 5．（24-25高二上·上海杨浦·期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是 ． 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B C ABC AD 1．B 【分析】根据斜二测法则得出，由此即可得解. 【详解】将直观图还原，如图： ，则四边形的面积是. 故选：B. 2．C 【分析】运用斜二测画法的结论直接求解. 【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则． 依题意，所以原平面图形的面积． 故选：C 3．ABC 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图复原为原图，一一判断各选项，即得答案. 【详解】根据斜二测画法的规则，将直观图复原为原图， 由于轴，故线段平行于轴，A正确； 由于，故，B正确； 由直观图复原为原图可知，梯形是直角梯形，C正确； 由于，，， 梯形的面积是，D错误； 故选：ABC 4．AD 【分析】根据斜二测画法的定义，求得边长，再求周长与面积即可． 【详解】如图过作于， 由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即，即A正确； 还原平面图为下图， 即， 过C作，由勾股定理得，即错误； 故四边形ABCD的周长为：，即C错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 故选：AD 5．12 【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到周长. 【详解】如图所示， 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，，， 所以原图形的周长是． 故答案为： 6． 【分析】利用原图和直观图的对应关系将直观图还原，即可得到原三角形的面积. 【详解】如图，将直观图还原，则， 的面积为. 故答案为：2. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 2．（24-25高三上·云南昆明·期中）正四棱锥的棱长均为分别是的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东潮州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河北承德·开学考试）在圆锥中，轴截面为腰长为的等腰直角三角形，为底面圆上一点，且为线段上一动点，为等腰三角形，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高三上·广东·阶段练习）如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为，则（     ） A．三棱锥的直度的最大值为1 B．直度为的三棱锥只有一种 C．四棱锥的直度的最大值为1 D．四棱锥的直度的最大值为 10．（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列说法中，错误的是（    ） A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 D．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是 11．（22-23高三上·江苏常州·阶段练习）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则（    ） A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B．勒洛四面体内切球的半径是 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 13．（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的半径为 . 14．（24-25高二上·广东深圳·期中）在正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三下·全国·专题练习）四棱锥中，，，，过P，Q，R三点作出此棱锥的截面（图）. 16. (15分) （22-23高一下·全国·课后作业）已知正方体的棱长为3，M，N分别为，上的点，且，P，Q分别为，上的动点，求折线MPQN长度的最小值.    17. (15分) （23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 18. (17分) （23-24高一·全国·课后作业）如图，已知各顶点均在球的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面的距离． (1)是边长为3的正三角形； (2)是边长分别为，，的三角形． （以上结果均保留2位小数） 19. (17分) （22-23高一下·全国·课后作业）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C B A B A AD ABC 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】由长方体的结构特征判断A；由正方体的结构特征判断B；由直平行六面体的结构特征判断C、D. 【详解】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确； 对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；. 对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确. 故选：D. 2．C 【分析】根据四棱锥的性质，在中，求得三边长，再利用直角三角形边角关系求解. 【详解】如图，过点作的垂线，垂足为， 在中，，所以，即， 所以，即点到直线的距离为. 选：C. 3．B 【分析】连接，作平面，平面，侧棱. 【详解】连接，作平面，平面，， 因为为正四棱台，则在上， 因为上底面的边长为2，下底面的边长为4， ， 侧棱. 故选：B 4．C 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【详解】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C 5．B 【分析】根据圆锥的几何性质，确定相应长度，再将和平铺成一个平面，利用余弦定理即可求解. 【详解】如图， 因为轴截面为腰长为的等腰直角三角形， 所以, 又因为为等腰三角形， 所以 所以 将和平铺成一个平面，如下图， 此时, 当三点共线时，最小， 最小值为， 故选：B. 6．A 【分析】根据圆柱和圆台的侧面积和体积公式求解即可. 【详解】设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则. 瓶子的侧面积， 解得. 瓶子的体积. 故选：A. 7．B 【分析】先求得等边三角形内切圆的半径，也即求得正三棱柱内切球的半径，根据向量运算求得正确答案. 【详解】设等边三角形内切圆的半径为， 则， 则正三棱柱的内切球半径，则正三棱柱的高为. 设等边三角形外接圆半径为，则， 所以，设是等边三角形的中心，是的中点， 连接，则，， 是球表面上一点，则 ， ，（同向是为，反向时为）， 所以，所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛:通过内切圆求内切球：首先通过等边三角形的内切圆半径，求得正三棱柱的内切球半径，这是确定球的大小的关键步骤. 利用向量运算确定数量积的取值范围：通过设定球心和球面上一点之间的关系，转化后利用向量运算确定数量积的取值范围，确保所有可能情况都得到考虑. 8．A 【分析】利用斜二测画法得到原图矩形中，，从而求出面积. 【详解】平行四边形，由斜二测画法得，在原图矩形中，，为正方形， 故该图形的面积为． 故选：A. 9．AD 【分析】借助于正方体模型，一一判断各选项，即得答案. 【详解】如图，借助于正方体模型，图1中三棱锥的四个面都是直角三角形， 其直度为1，A正确；    图1中三棱锥，三个面都是直角三角形， 面为正三角形，其直度为； 图2中三棱锥，三个面都是直角三角形， 面为正三角形，其直度为，故直度为的三棱锥不止一种，B错误； 四棱锥的共有5个面，底面为四边形，故其直度不可能为1，C错误； 图3中的四棱锥的四个侧面都是直角三角形，底面为正方形， 故四棱锥的直度的最大值为，D正确， 故选：AD 10．ABC 【分析】根据棱台的概念可判断A；根据棱锥的概念可判断B；根据圆柱母线的概念可判断C；根据直观图与原图面积关系可判断D. 【详解】对于A：有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台， 只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，故不正确； 对于B：棱锥有一个面是多变形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故不正确； 对于C：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，当这两点的连线与圆柱的轴平行时， 这两点的连线才是圆柱的母线，故不正确； 对于D：直观图面积为，根据直观图与原图面积关系可得，解得，故正确. 故选：ABC 11．BC 【分析】求出勒洛四面体被平面截得的截面面积判断选项；求出勒洛四面体内切球的半径判断选项． 【详解】观察几何体知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得， 勒洛四面体被平面截得的截面是正及外面拼接上以各边为弦的三个弓形， 弓形弧是以正各顶点为圆心，边长为半径且所含圆心角为的扇形弧，如图所示： 因此，截面面积为：，选项A错误，C正确； 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 正外接圆半径，正四面体的高， 设正四面体的外接球半径为，在中，，解得， 因此，勒洛四面体内切球半径为，选项B正确； 勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，选项D错误． 故选：BC． 12．15 【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 因为圆柱体的底面周长为，即，且, 所以最短路程为：. 故答案为：. 13．/ 【分析】利用三棱锥对棱相等，将三棱锥补全为为长方体，再利用长方体的外接圆直径为长方体的体对角线即可得解. 【详解】 如图，由于三棱锥对棱相等， 将三棱锥补全为为长方体， 从而外接圆直径为长方体的体对角线， 设长方体的棱长分别为，球的半径为， 则， 所以， 解得. 故答案为： 14． 【分析】利用补为长方体法来求这个三棱锥的外接球半径，利用等体积法来求内切球半径，最后求比值即可. 【详解】因为在正方形中，，，， 所以折起后，，两两互相垂直， 故该三棱锥的外接球，即以，，为棱的长方体的外接球. 设正方形的边长为2，则，，， 故，则. 设内切球球心为，由，三棱锥的表面积， ，所以， 则有.    故答案为：. 15．答案见解析 【分析】 用射影法作多面体的截面，选定投影方向及基面，锥体作中心投影，然后利用投影找出对应点、对应直线，直到完全确定基面的对应图形（截面），即可得答案. 【详解】 以点V为投影中心，以所在平面为投影面. （i）作P，Q，R三点的中心投影点A，B，C，则RQ的投影是AC； （ii）连接交于O，连接，设交于，即的中心投影为点O； （iii）连接与交于点T，顺次连接四点， 则四边形就是过P，Q，R三点的截面. 16． 【分析】根据题意，将正方体的面，，展开成平面图形，结合图形，得到在一条直线上时，折线的长度最小，利用平面图形的性质，即可求解. 【详解】如图所示，将正方体的面，，展开成如图所示的形状， 由图可得，当在一条直线上时，折线的长度最小. 作分别与正方形的边平行， 因为正方体的棱长为3，且，所以，， 所以，即折线长度的最小值为.    17．(1) (2) 【分析】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 18．(1)9.85 (2)9.11 【分析】结合图形，利用正弦定理求得，再利用即可求得所求. 【详解】（1）记所在小圆的半径为，球心到平面的距离为，则有， 因为是边长为3的正三角形，利用正弦定理，得， 所以，解得． （2）记所在小圆的半径为，球心到平面的距离为，则有， 因为是边长分别为，，， 所以由余弦定理得， 又，所以， 再由正弦定理得，即， 所以． 19． 【分析】作出圆台的展开图，设，，为最短距离，计算得到，，再根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：圆台的展开图，设，，为最短距离，    则，，解得，， 故. 故BM间细绳的最短长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05基本立体图形与直观图（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 5 考点一：柱、锥、台 5 考点二：球 10 考点三：直观图 11 【自学检测】 13 自学概念 1. 空间几何体 (1)空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. (2)多面体、旋转体 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴 2. 棱柱的结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 3. 棱锥的结构特征 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥 S－ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 4. 棱台的结构特征 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 5. 旋转体的结构特征 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为球O 6.简单组合体 (1)定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的. 7. 水平放置的平面图形的直观图的画法 (1)直观图的概念 把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图. (2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 8. 空间几何体的直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 自学考点 考点一：柱、锥、台 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 4．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 6．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）正四棱台的上底面边长为a，下底面边长为b，上底面中心处高为h的旗杆顶点恰好为该四棱台四条侧棱的交点，则该四棱台的高为（　　） A． B． C． D． 7．（22-23高三上·河北张家口·期末）石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（    ） A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3 8．（23-24高一下·福建宁德·期中）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，下图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，的变化规律为边的正方形，依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的底面积为（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 10．（23-24高一下·江西·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱中至少有两个面完全相同 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 二、多选题 11．（2024·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 12．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 13．（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥． 14．（23-24高二上·福建厦门·开学考试）下列命题中错误的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 15．（22-23高一下·重庆·期中）下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 B．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、等腰梯形等 D．底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱 16．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 17．（22-23高一下·甘肃·期中）下列命题正确的是（    ） A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 三、填空题 18．（22-23高三上·贵州贵阳·期末）在棱长为1的正方体中，点Q为侧面内一动点（含边界），若，则点Q的轨迹长度为 ． 19．（22-23高三·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，过三点的平面与直线交于点P，则线段的长为 ． 20．（24-25高二·上海·课堂例题）正三棱锥的侧棱长为2，高为1，则该正三棱锥的底面周长为 ． 21．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，点，分别是、的中点，过，，三点的平面与棱的交点为，若，则 ． 22．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 23．（23-24高一下·天津·期中）圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为 ． 24．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 考点二：球 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高三上·海南·阶段练习）若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 5．（23-24高一下·江西上饶·期末）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面 6．（2024高三·全国·专题练习）两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2024·上海徐汇·二模）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离是 ． 8．（2023高三·全国·专题练习）在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 . 考点三：直观图 一、单选题 1．（23-24高一下·山东滨州·期末）如图所示，是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图．其中，，则四边形的面积是（    ） A． B．20 C． D．10 2．（23-24高一下·云南昆明·期中）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 3．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，，下列说法错误的是（   ） A．线段平行于轴 B． C．梯形是直角梯形 D．梯形的面积是3 4．（22-23高一下·湖南长沙·期末）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6 三、填空题 5．（24-25高二上·上海杨浦·期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是 ． 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为 . 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 2．（24-25高三上·云南昆明·期中）正四棱锥的棱长均为分别是的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东潮州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河北承德·开学考试）在圆锥中，轴截面为腰长为的等腰直角三角形，为底面圆上一点，且为线段上一动点，为等腰三角形，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高三上·广东·阶段练习）如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为，则（     ） A．三棱锥的直度的最大值为1 B．直度为的三棱锥只有一种 C．四棱锥的直度的最大值为1 D．四棱锥的直度的最大值为 10．（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列说法中，错误的是（    ） A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 D．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是 11．（22-23高三上·江苏常州·阶段练习）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则（    ） A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B．勒洛四面体内切球的半径是 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 13．（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的半径为 . 14．（24-25高二上·广东深圳·期中）在正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三下·全国·专题练习）四棱锥中，，，，过P，Q，R三点作出此棱锥的截面（图）. 16. (15分) （22-23高一下·全国·课后作业）已知正方体的棱长为3，M，N分别为，上的点，且，P，Q分别为，上的动点，求折线MPQN长度的最小值.    17. (15分) （23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 18. (17分) （23-24高一·全国·课后作业）如图，已知各顶点均在球的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面的距离． (1)是边长为3的正三角形； (2)是边长分别为，，的三角形． （以上结果均保留2位小数） 19. (17分) （22-23高一下·全国·课后作业）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    学科网（北京）股份有限公司 $$