检测08第四次月考（期末）（能力卷） -2024-2025学年高二年级上学期数学月考检测（新高考人教A版2019专用）

检测08第四次月考（期末）（能力卷）（2019人教A版） 测试范围：选择性必修第一册+数列 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知圆，直线，点为直线上的动点.过点作圆的两条切线，切点分别为.若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为（    ） A．或 B．或5 C．3或 D．3或5 6．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于198 8．（24-25高三上·江苏南通·期中）在正四棱柱中，，P是线段上靠近C的三等分点，过点C与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) （24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知曲线的方程是，则下列关于曲线的说法正确的是（   ） A．曲线与轴和轴共有4个公共点 B．曲线总长度为 C．点P、Q在曲线上，则的最大值为 D．曲线与坐标轴围成的图形面积为 11．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若和都为递增数列，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为 . 14．（23-24高一下·云南丽江·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·重庆渝中·期中）如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面. (1)若是的中点，求与平面所成角的余弦值； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 16. (15分) （湖北省部分重点中学2025届高三上学期12月联合测评数学试题）已知过，两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线E的一部分. (1)求曲线的标准方程； (2)已知点，，过点的动直线与曲线交于两点，设的外心为 为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由. 17. (15分) （24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 18. (17分) （23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 19. (17分) （24-25高三上·山东·阶段练习）已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：．数列对于确定的正整数k，若存在正整数n使得成立，则称数列为“阶可分拆数列” (1)已知数列满足，判断是否对，总存在确定的正整数k，使得数列为“k阶可分拆数列”，并说明理由； (2)设数列的前n项和为． （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值； （ⅱ）在（ⅰ）问的前提下，若数列满足，其前n项和为，求证：当且时，成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测08第四次月考（期末）（能力卷）（2019人教A版） 测试范围：选择性必修第一册+数列 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知圆，直线，点为直线上的动点.过点作圆的两条切线，切点分别为.若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为（    ） A．或 B．或5 C．3或 D．3或5 6．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于198 8．（24-25高三上·江苏南通·期中）在正四棱柱中，，P是线段上靠近C的三等分点，过点C与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) （24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知曲线的方程是，则下列关于曲线的说法正确的是（   ） A．曲线与轴和轴共有4个公共点 B．曲线总长度为 C．点P、Q在曲线上，则的最大值为 D．曲线与坐标轴围成的图形面积为 11．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若和都为递增数列，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为 . 14．（23-24高一下·云南丽江·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·重庆渝中·期中）如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面. (1)若是的中点，求与平面所成角的余弦值； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 16. (15分) （湖北省部分重点中学2025届高三上学期12月联合测评数学试题）已知过，两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线E的一部分. (1)求曲线的标准方程； (2)已知点，，过点的动直线与曲线交于两点，设的外心为 为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由. 17. (15分) （24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 18. (17分) （23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 19. (17分) （24-25高三上·山东·阶段练习）已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：．数列对于确定的正整数k，若存在正整数n使得成立，则称数列为“阶可分拆数列” (1)已知数列满足，判断是否对，总存在确定的正整数k，使得数列为“k阶可分拆数列”，并说明理由； (2)设数列的前n项和为． （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值； （ⅱ）在（ⅰ）问的前提下，若数列满足，其前n项和为，求证：当且时，成立． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C B C B BD BCD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 2．C 【分析】由题意得，，，，进而结合递推关系求解即可. 【详解】由题意得，，，， 则. 故选：C. 3．C 【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式可求得实数的值. 【详解】圆的圆心为， 由题意可得，即，解得或. 故选：C. 4．C 【分析】以为基底，表示向量，由可求的值. 【详解】因为 ． 由四点共面，所以． 故选：C． 5．C 【分析】根据直线与圆相切得圆心与点的距离，即结合正方形的性质可得符合的点的位置，从而可得结论. 【详解】由可知圆心，半径为2， 因为四边形为正方形，且边长为圆的半径2，所以， 所以直线上有且只有一个点，使得，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以，解得或． 故选：C. 6．B 【分析】连接，，，，由条件证明四边形为矩形，利用勾股定理和双曲线定义联立求出的值，代入三角形面积公式即得. 【详解】由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，，，三点共线， 连接，，，，，则四边形为矩形， 所以，，    由双曲线可得，， 则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以. 故选：B. 7．C 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 8．B 【分析】分别取，，的对应三等分点，，，利用空间向量证明共面，再通过向量数量积证明平面，最后采用割补法求解出较小部分的体积，从而体积比可求. 【详解】分别取靠近的三等分点，取靠近的三等分点，取靠近的三等分点， 连接，建立如下图所示空间直角坐标系， 不妨设， 所以， 所以，所以，且不共线，所以共面， 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，且， 所以平面， 较小部分的几何体如下图所示， 其体积为， 由正四棱柱结构特点易知平面，平面， 所以， 所以较大部分体积， 所以较大部分与较小部分的体积比为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键一方面是确定平面与正四棱柱各条棱的交点，根据交点坐标和空间向量运算能更高效说明线面垂直，另一方面是采用割补法求解几何体的体积，将复杂几何体转化为简单几何体再去计算. 9．BD 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 10．BCD 【分析】由曲线C的方程中的取值判断A；分类讨论，画出曲线C的图象，可计算曲线的总长度和面积，判断BD；由图象的对称性，当PQ经过原点时取得最大值判断C. 【详解】曲线的方程中，且，即曲线与坐标轴无公共点，A错误； 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为，作出曲线， 圆的圆心为，交轴正半轴于， 交轴正半轴于， 直线的斜率，直线的倾斜角为，，， 因此曲线的总长度为，B正确； 与坐标轴围成的面积为，D正确； 当点P、Q与圆弧所在的圆心共线时，取得最大值，此时，C正确. 故选：BCD 11．BC 【分析】若的公差为，利用等差数列通项公式、前n项和公式，结合单调性依次判断各项正误. 【详解】若的公差为，则： A：由题设，故，则，错； B：，对； C：由，即，而，即，对； D：由题设，又是递增数列，则， 所以，即对，，而的符号无法确定，错. 故选：BC 12． 【分析】利用前项和与第项的关系，分段求解即可. 【详解】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为. 故答案为： 13．/ 【分析】先求出的轨迹方程，再根据两圆相离可求线段和的最小值. 【详解】设，则，整理得到， 设该圆的圆心为，则，半径为， 而，圆的半径为，， 故圆与圆相离，故的最小值为， 当且仅当共线时且在之间时取最小值. 而的最小值为，当且仅当共线且在之间时取最小值， 故的最小值为， 故答案为： 14． 【分析】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设并利用即可求解. 【详解】由正方体棱长为2，以为坐标原点，分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系； 设且， 易知，可得， 由可知，即， 即. 当时，，即图中的中点； 当时，，即图中点； 即可得点在底面上运动形成的轨迹为线段，易知. 故答案为： 15．(1). (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1）由题意：底面是正方形；连接交于点，连接； 因为平面，平面平面平面， 所以；又是中点，故是中点； 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系； 不妨设，则. 由题意，是的中点，则；故； 设平面的法向量为，则； 令，得； 记与平面所成角为，则， 故； 故与平面所成角的余弦值为. （2），故， 故；又平面， 平面，故平面； 故平面的法向量； 平面的法向量； 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 16．(1) (2)是定值. 【分析】由抛物线的焦点P到两定点A，B的距离之和等于点A，B到抛物线的准线的距离之和，满足椭圆的定义，根据定义求出即可. 设出直线方程,与轨迹的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,由直线与直线的斜率之积进行化简即可. 【详解】（1）由题意知抛物线的焦点P到两定点A，B的距离之和等于点A，B到抛物线的准线的距离之和，等于的中点O到准线的距离的2倍，即等于圆的半径的2倍， ∴， ∴点P在以A，B为焦点的椭圆E上， 设椭圆E的标准方程为， 则，， ∴，，∴， ∴曲线E的标准方程为. （2）设直线：， 由 ∴. 设，，则，， 的中点坐标为，， 的垂直平分线的斜率为. ∴的垂直平分线方程为，即， 由得， ∴的垂直平分线方程为. 同理的垂直平分线方程为. 设点， 则，是方程， 即的两根， ∴ 两式相除得，∴. ∴， 即直线与的斜率之积为定值. 17．(1)，当取得最小值时，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可； （2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； （2）由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据轴，可得点坐标，代入曲线方程，结合离心率可得解； （2）联立直线与椭圆，结合弦长公式及点到直线的距离可得面积，再利用换元法结合基本不等式可得面积的最值. 【详解】（1）由椭圆的对称性，不妨设点在第二象限， 则， 代入椭圆方程可得， 又椭圆的离心率， 则， 解得， 又， 则， 所以椭圆方程为； （2） 由（1）得椭圆方程为， 设直线与椭圆的交点，， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则， 又原点到直线的距离， 的面积， 令， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最大值为． 19．(1)存在，理由见解析； (2)（ⅰ）符合条件的实数的值为0；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“k阶可分拆数列”的概念，判断数列为“1阶可分拆数列”. （2）先根据前项和公式，求出数列的通项公式，（ⅰ）由可求的值，再讨论时，无解即可；（ⅱ）根据，可得，利用“累加法”可得：；再利用“错位相减法”证明，即可. 【详解】（1）存在，理由如下： 由已知得， ， ，即， 对，当正整数时，存在，使得成立， 即数列为“1阶可分拆数列”. （2）， 当时，， 当时，， （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立， 当时，，即，解得， 当时，，即， 因，所以，又， 故方程无解. 综上所述，符合条件的实数的值为0. （ⅱ）证明：， 当时，， ， ， 由（ⅰ）知，所以， ①， ②， 由①-②可得 ， ， ， ， 当且时，成立. 【点睛】思路点睛：本题为数列新定义题，由题意可知对于确定的正整数，存在正整数使得成立即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$