检测07第四次月考（期末）（基础卷） -2024-2025学年高二年级上学期数学月考检测（新高考人教A版2019专用）

检测07第四次月考（期末）（基础卷）（2019人教A版） 测试范围：选择性必修第一册+数列 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西北海·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系 中，点 ，动点满足 ，则 面积的最大值为（     ） A． B．6 C． D． 6．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）等比数列中，，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·河南·期中）记等差数列的前项和为，，，则（　　） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·四川雅安·期中）已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．若直线平分圆的周长，则 D．圆与圆外切 11．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．抛物线的方程为 C． D．点在以线段为直径的圆上 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 13．（21-22高二·全国·单元测试）如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为 ． 14．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）等差数列{}与{}的前项和分别为、，且 则 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 16. (15分) （24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 17. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆， 左右焦点分别为，椭圆上的点P到两焦点距离之和是4，且长轴是焦距的2倍. (1)求椭圆的方程； (2)存在一组平行直线， ①直线与椭圆C相交时，求t的取值范围; ②当，直线与椭圆相交于两点，求. 18. (17分) （2022高三·全国·专题练习）在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知为等差数列的前n项和，若__________． (1)求； (2)令，求数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. (17分) （2024·广东韶关·一模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点.动点满足直线的斜率之积为，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于两点，若.求的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A A C D B ACD ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】先根据空间向量基本定理用向量，，表示向量，进而求得，，的值，即可求得的值. 【详解】由空间向量基本定理可得 又由题干，则，故. 故选：C. 2．D 【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由得：， 所以直线的斜率为， 直线的倾斜角为. 故选：D 3．C 【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解. 【详解】为单调递增的数列，故， 解得， 故选：C 4．A 【分析】根据概念得到，即可得到结果. 【详解】由题意易得，则， 因为椭圆的离心率为，所以， 则， 故的标准方程为， 故选：A． 5．A 【分析】满足 的动点的轨迹是圆，当点到轴距离最大时，面积最大. 【详解】设，由得， 化简，整理得， 即动点的轨迹方程为：， 的面积, 当点到轴距离=时， 为最大值. 故选：A. 6．C 【分析】先求出等比数列的通项公式，然后根据裂项法求和. 【详解】设等比数列的公比是，则，即，解得， 于是，， 于是的前项和为. 故选：C 7．D 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由已知条件求出点坐标间的关系，进而求出线段长度的最小值. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量，则，取，得， 设，，，则， 由平行于平面，得，整理得， 所以线段长度， 当且仅当时，线段长度取最小值． 故选：D 8．B 【分析】根据条件得到，又，从而得，再利用正切函数的性质，即可求解. 【详解】因为直线的方程为，所以， 即直线的斜率，又， 所以，又直线的倾斜角的取值范围为， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为， 故选：B. 9．ACD 【分析】设等差数列的公差为，由题意可得，计算可得判断A；可求判断B；，可判断C；计算可得判断D. 【详解】设等差数列的公差为， 又等差数列的前项和为，，， ∴，解得，，故A正确； ，故B错误； ，∴，故C正确； ，，∴，故D正确． 故选：ACD． 10．ABD 【分析】根据圆的半径、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的半径为2，所以，A选项正确. 所以圆的方程为，圆心为，半径为， ，所以点在圆的外部，B选项正确. 直线平分圆的周长，则直线过圆心， 即，所以C选项错误. 圆的圆心为，半径为， 与的距离为， 所以圆与圆外切，D选项正确. 故选：ABD 11．BCD 【分析】过点作，垂足为，根据抛物线的定义知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判断A；根据为等腰直角三角形，可求出可判断B；将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值可判断C；设线段的中点为，求出的坐标，得到可判断D. 【详解】如图，过点作，垂足为， 由抛物线的定义知， 与全等，则， ，，， ， ， 则，直线的倾斜角为，故A错误； 设直线与轴交于点，则， 由上可知，，则为等腰直角三角形， ，，得， 所以抛物线方程为，故B正确； 由上可知，直线的方程为， 设，， ，， 联立，整理得， 则，，则， ，故C正确； 设线段的中点为， 则，，， 由上可知，则， 又， 点在以线段为直径的圆上，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 13．/ 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，连接， 依题意，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即，令，得， 所以点到平面的距离. 故答案为：. 14． 【分析】根据等差数列项的性质结合前项和公式计算即可. 【详解】等差数列{}与{}的前项和分别为， 则. 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明. （2）先根据（1）的结论，求出数列的通项公式，再结合分组求和法求数列的前项和. 【详解】（1）因为. 又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）有，可得， 所以有. 16．(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据三线合一得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，证明出； （2）作出辅助线，得到，由线面平行的判定得到结论； （3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面的距离公式得到答案. 【详解】（1）因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）连接，与相交于点，连接， 因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面；    （3）由（2）知，平面， 故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得， 故，    所以到平面的距离， 故到平面的距离为. 17．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据椭圆的定义和题设条件列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）①联立直线与椭圆方程得一元二次方程，利用即可求得t的取值范围； ②将代入①中已得的二次方程，写出韦达定理，利用弦长公式化简计算即得. 【详解】（1）由已知可得解得， 故椭圆的方程为； （2）① 联立 ，消元得：（*） 直线与椭圆C相交时， 解得即；                   ②因 ，代入（*）可得，易知 设，则有 ， 故得. 18．(1) (2) 【分析】（1）无论选择哪一个条件，都要结合等差数列的相关公式求出首项以及公差，即可求得答案； （2）利用裂项求和法，即可求得答案. 【详解】（1）若选择条件①，在等差数列中， ，解得， ； 若选择条件②，在等差数列中， ，解得， ； 若选择条件③，在等差数列中，， 当时，，符合， ． （2）由（1）得， 所以． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，根据斜率公式代入上式，进行化简即可得曲线方程； （2）方法一、二，设出直线的方程为，与曲线方程联立，由韦达定理可得，结合向量关系求解；方法三，由题，的中点即的中点，由点差法可得弦中点坐标与弦所在直线的斜率的关系，列式运算得解. 【详解】（1）设点，由题意知. 直线的斜率分别， 所以， 化简得 点的轨迹方程为. （2）方法一，设， 由题意知直线的方程为，所以， 联立方程组，消去整理得， ，， 由得，， 故有，即， 解得. 方法二：设，由题意知直线的方程为，所以， 联立方程组，消去整理得. ，， 由得，， 故有，即， 解得. 方法三：设，由题意知直线的方程为，所以. 因为，所以线段的中点为， ，又因为，所以点也是的中点， 联立方程组， ①-②得，即， 所以， 又因为，所以， 解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测07第四次月考（期末）（基础卷）（2019人教A版） 测试范围：选择性必修第一册+数列 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西北海·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系 中，点 ，动点满足 ，则 面积的最大值为（     ） A． B．6 C． D． 6．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）等比数列中，，则数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·河南·期中）记等差数列的前项和为，，，则（　　） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·四川雅安·期中）已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．若直线平分圆的周长，则 D．圆与圆外切 11．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．抛物线的方程为 C． D．点在以线段为直径的圆上 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 13．（21-22高二·全国·单元测试）如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为 ． 14．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）等差数列{}与{}的前项和分别为、，且 则 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 16. (15分) （24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 17. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆， 左右焦点分别为，椭圆上的点P到两焦点距离之和是4，且长轴是焦距的2倍. (1)求椭圆的方程； (2)存在一组平行直线， ①直线与椭圆C相交时，求t的取值范围; ②当，直线与椭圆相交于两点，求. 18. (17分) （2022高三·全国·专题练习）在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知为等差数列的前n项和，若__________． (1)求； (2)令，求数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. (17分) （2024·广东韶关·一模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点.动点满足直线的斜率之积为，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于两点，若.求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$