数学（北京卷01）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学第一次模拟考试 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若全集，，，则（    ）. A． B． C． D． 2．i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．2 B．-2 C． D． 3．双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（   ） A． B． C． D． 4．若展开式二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（    ） A．40 B．25 C．15 D．10 5．印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 6．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚六尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙六尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（    ） A． B． C． D． 7．对于一个声强为为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强），设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则是的（）倍 A．1000 B． C．10 D．1 8．已知偶函数在上单调递减，对实数a，b，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 10．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．10 B． C．20 D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．抛物线的准线方程为 . 12．在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos B＝ . 13．写出一个同时满足下列条件①②③的函数 ． ①不是常数函数；②是偶函数；③的最大值为0． 14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称： ②当时，点不在直线上： ③当时，； ④当时，曲线所围成的区域的面积大于. 其中所有正确结论的有 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）已知函数，由下列四个条件中选出三个： ①最大值为2；     ②最小正周期为；③；     ④． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)设．当时，的值域为，求的取值范围． 17．（满分14分）如图1，在直角梯形中，，，，，，垂直平分，分别交、于点、，将四边形沿折至四边形（如图2），使得． (1)求证：； (2)求平面与平面BCD夹角的余弦值． 18．（满分14分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）： (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 19．（满分14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，直线与轴，轴分别交于点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的面积取最大值时，求的面积. 20．（满分15分）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)判断方程的实根个数. 21．（满分15分）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，. (1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”； (2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：； (3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若全集，，，则（    ）. A． B． C． D． 2．i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．2 B．-2 C． D． 3．双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（   ） A． B． C． D． 4．若展开式二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（    ） A．40 B．25 C．15 D．10 5．印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 6．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚六尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙六尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（    ） A． B． C． D． 7．对于一个声强为为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强），设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则是的倍 A．1000 B． C．10 D．1 8．已知偶函数在上单调递减，对实数a，b，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 10．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．10 B． C．20 D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．抛物线的准线方程为 . 12．在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos B＝ . 13．写出一个同时满足下列条件①②③的函数 ． ①不是常数函数；②是偶函数；③的最大值为0． 14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称： ②当时，点不在直线上： ③当时，； ④当时，曲线所围成的区域的面积大于. 其中所有正确结论的有 3、 解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）已知函数，由下列四个条件中选出三个： ①最大值为2；     ②最小正周期为； ③；     ④． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)设．当时，的值域为，求的取值范围． 17．（满分14分）如图1，在直角梯形中，，，，，，垂直平分，分别交、于点、，将四边形沿折至四边形（如图2），使得． (1)求证：； (2)求平面与平面BCD夹角的余弦值． 18．（满分14分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 19．（满分14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，直线与轴，轴分别交于点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的面积取最大值时，求的面积. 20．（满分15分）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)判断方程的实根个数. 21．（满分15分）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，. (1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”； (2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：； (3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和补集的定义，先算，然后再求 【详解】依题意得，于是. 故选：B. 2．i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解作答. 【详解】，而，且复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B 3．双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线的方程求解即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以，解得. 故选：D. 4．若展开式二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（    ） A．40 B．25 C．15 D．10 【答案】C 【分析】先根据二项式系数的性质求得n＝5，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得结果． 【详解】由展开式的二项式系数之和为2n＝32，求得n＝5， 可得展开式的通项公式为 Tr+1••=••， 令＝3，求得 r＝4，则展开式中含的项的系数是 5， 故选C． 5．印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得正四棱锥得高为，再结合柱体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】如图， 构造直角三角形得正四棱锥的高，则正四棱柱的高为， 所以印章摆件的体积 ． 故选：A. 6．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚六尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙六尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5. 第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺，因此第三天相遇． 设第三天，大鼠打y尺，小鼠打1.5−y尺， 则,解得. 相见时大鼠打了尺长的洞,用了天， 小鼠打了尺长的洞，用了天， 即天后两鼠相遇.故本题选择D. 7．对于一个声强为为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强），设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则是的倍 A．1000 B． C．10 D．1 【答案】C 【分析】根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出的值，可得出答案． 【详解】由题意可得，即，两式相减得，所以，， 因此，是的倍，故选C. 8．已知偶函数在上单调递减，对实数a，b，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解. 【详解】解： 偶函数在上单调递减， 在上单调递增，且，的最大值在处取到， ，，，充分性成立； 又，，，也符合， 不一定是，因而必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，利用正弦定理结合余弦定理即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴，即， ∴， ∴. 故选：B. 10．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】对于圆，整理可得：， 可知圆心为，半径为， 令，则，解得或，即； 令，则，解得或，即； 因为与相外切，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，    则点的轨迹方程为， 可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为20. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．抛物线的准线方程为 . 【答案】 【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是 12．在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos B＝ . 【答案】/0.5 【分析】根据B是A和C的等差中项结合三角形的内角和求出角，即可得解. 【详解】解：在△ABC中，B是A和C的等差中项， 所以， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13．写出一个同时满足下列条件①②③的函数 ． ①不是常数函数；②是偶函数；③的最大值为0． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用常见的偶函数有余弦函数、一次项系数为0的二次函数等，结合已知可得的一个解析式． 【详解】典型的偶函数有余弦函数、一次项系数为0的二次函数等，如，． 因为的最大值为0，所以可取或． 故答案为：(答案不唯一). 14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值； 解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 15．已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称： ②当时，点不在直线上： ③当时，； ④当时，曲线所围成的区域的面积大于. 其中所有正确结论的有 【答案】②③④ 【分析】对于①：举例，确定点和点是否满足曲线方程来判断；对于②：带入，然后对曲线方程左边因式分解即可；对于③：代入，因式分解得，然后利用基本不等式求的最值即可；对于④：代入，得到，结合双曲线的图象特点来判断面积的大小. 【详解】对于①：点满足曲线，但不满足曲线，所以曲线不关于直线对称，①错误； 对于②：当时，，即， 所以，所以，即点不在直线上，②正确； 对于③：当时，，即，所以 所以，得，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，③正确； 对于④：当时，曲线，所以， 所以，即，所以曲线所围成的区域的面积大于椭圆面积，椭圆面积大于以长轴和短轴为对角线的菱形面积， 故曲线所围成的区域的面积大于，④正确； 故选：②③④ 3、 解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （满分13分）已知函数，由下列四个条件中选出三个： ①最大值为2；     ②最小正周期为； ③；     ④． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)设．当时，的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）不管选择哪三个条件，均需利用三角函数的性质，并结合条件一一分析可求出解析式，再根据三角函数的单调性求递减区间即可； （2）根据（1）的结论，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的性质计算参数范围即可. 【详解】（1）对于条件③，有， 因为，则，， 显然不成立，因此只能选择条件①②④，.......................3分 则，，.......................5分 所以，此时；.......................6分 令，解之得；.......................8分 （2）由上可知 ，.......................11分 当时，， 因为此时的值域为，则， 则， 故........................13分 17．（满分14分）如图1，在直角梯形中，，，，，，垂直平分，分别交、于点、，将四边形沿折至四边形（如图2），使得． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即转化为证明平面； （2）根据垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求两个平面与平面的法向量，利用向量法求平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，， 所以，所以， 又，且，平面， 所以平面， 又平面，所以．.......................4分 （2）因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，．.......................6分 设平面的一个法向量， 则 令，则，，．.......................9分 设平面的一个法向量为， 则 令，则，，，.......................12分 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为．.......................14分 18．（满分14分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望； (3). 【分析】（1）根据散点图求出成绩达到优秀的人数，再求出古典概率. （2）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，再求出期望. （4）求出及的概率，再利用两点分布求出方差并比较大小. 【详解】（1）依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为........................5分 （2）依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则可取，.......................7分 ，，， 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望.................................11分 （3）依题意，，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， 所以.................................14分 19．（满分14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，直线与轴，轴分别交于点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的面积取最大值时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率，结合左焦点到点的距离可得椭圆方程； （2）利用点差法可得直线的斜率，设直线，，联立直线与曲线，结合根于系数关系可得弦长，再根据点到直线距离可得三角形，构造函数，求导，根据导数单调性可得最值及，即可得点，坐标，进而可得解. 【详解】（1）由已知椭圆左顶点为，到点的距离为，解得， 又椭圆离心率，解得， 所以椭圆方程为：；.......................4分 （2） 如图所示，设，，由于和为椭圆上两点， 两式相减，得，整理得，.......................6分 设，由得为线段的中点， ，， 由在线段所在直线上，且坐标为，则有， 即， 所以，故，.......................8分 设直线，，联立直线与椭圆的方程， 得，整理得， 则，得且， 且，， ， 点到直线的距离为， ，且，.......................12分 记，， 令，及得， 所以在时单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 此时直线方程为， 与坐标轴交点为， ........................14分 20．（满分15分）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)判断方程的实根个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，得到的单调性及零点，利用的符号判断的单调性，即可得的最小值； （2）转化方程即，构造函数，利用导数判断函数单调性，确定函数最值情况，分类讨论结合数形结合思想，即可求得答案. 【详解】（1）当时，，定义域为，.......................1分 则， 在上单调递增，且.，.......................3分 所以时，，单调递减， 时，，单调递增，.......................5分 所以， 故的最小值为........................7分 （2）方程即， 即，即. ......................8分 设，则即， 因为在上单调递增， 所以，即，.......................10分 设，则， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增，.......................12分 且时，，时，， 所以当，即时，方程无实根， 当，即时，方程有1个实根， 当，即时，结合图象和直线的交点情况， 可知方程有2个实根. .......................14分 综上，时，方程无实根； 时，方程有1个实根； 时，方程有2个实根........................15分 21．（满分15分）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，. (1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”； (2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：； (3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）根据阶乘表示的概念解题即可； （2）表示出和，再用作差法计算证明； （3）用数列累加法求和，结合解不等式组即可. 【详解】（1）因为，故“阶乘表示”为； ，故“阶乘表示”为； ，故“阶乘表示”为； 因为，故“阶乘表示”为；.......................4分 （2）因为，因为，故， 所以，由于，所以， 即， 依次化简可得，所以........................8分 （3）由于，由于， 故，.......................11分 所以， 即，.......................12分 累加可得， 即.当，时取到最小值，.......................13分 此时，解得，即，所以.................................15分 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D C A D C A B C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13．（答案不唯一） 14． 15．②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （满分13分） 【详解】（1）对于条件③，有， 因为，则，， 显然不成立，因此只能选择条件①②④，.......................3分 则，，.......................5分 所以，此时；.......................6分 令，解之得；.......................8分 （2）由上可知 ，.......................11分 当时，， 因为此时的值域为，则， 则， 故........................13分 17．（满分14分） 【详解】（1）因为，， 所以，所以， 又，且，平面， 所以平面， 又平面，所以．.......................4分 （2）因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，．.......................6分 设平面的一个法向量， 则 令，则，，．.......................9分 设平面的一个法向量为， 则 令，则，，，.......................12分 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为．.......................14分 18．（满分14分） 【详解】（1）依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为........................5分 （2）依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则可取，.......................7分 ，，， 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望.................................11分 （3）依题意，，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， 所以.................................14分 19．（满分14分） 【详解】（1）由已知椭圆左顶点为，到点的距离为，解得， 又椭圆离心率，解得， 所以椭圆方程为：；.......................4分 （2） 如图所示，设，，由于和为椭圆上两点， 两式相减，得，整理得，.......................6分 设，由得为线段的中点， ，， 由在线段所在直线上，且坐标为，则有， 即， 所以，故，.......................8分 设直线，，联立直线与椭圆的方程， 得，整理得， 则，得且， 且，， ， 点到直线的距离为， ，且，.......................12分 记，， 令，及得， 所以在时单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 此时直线方程为， 与坐标轴交点为， ........................14分 20．（满分15分） 【详解】（1）当时，，定义域为，.......................1分 则， 在上单调递增，且.，.......................3分 所以时，，单调递减， 时，，单调递增，.......................5分 所以， 故的最小值为........................7分 （2）方程即， 即，即. ......................8分 设，则即， 因为在上单调递增， 所以，即，.......................10分 设，则， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增，.......................12分 且时，，时，， 所以当，即时，方程无实根， 当，即时，方程有1个实根， 当，即时，结合图象和直线的交点情况， 可知方程有2个实根. .......................14分 综上，时，方程无实根； 时，方程有1个实根； 时，方程有2个实根........................15分 21．（满分15分） 【详解】（1）因为，故“阶乘表示”为； ，故“阶乘表示”为； ，故“阶乘表示”为； 因为，故“阶乘表示”为；.......................4分 （2）因为，因为，故， 所以，由于，所以， 即， 依次化简可得，所以........................8分 （3）由于，由于， 故，.......................11分 所以， 即，.......................12分 累加可得， 即.当，时取到最小值，.......................13分 此时，解得，即，所以.................................15分 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$