2.5 分式方程及其解法&2.6 分式方程的实际应用-【一战成名新中考】2025广西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·广西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 5　 分式方程及其解法 (4 年 2 考,均在第 20 题考查) 要点归纳 要点 1 分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 要点 2 分式方程的解法: 分式方程 去分母 转化 →整式方程 解整式方程 → 有解 检验 → 最简公分母不为 0 →分式方程有解 最简公分母为 0 →解是增根,分式 方程无解 ì î í ï ï ï ï 无解→分式方程无解 ì î í ï ï ï ï ï ï 例　 解方程: 3 2x-6 -1 = 2 x-3 . 答题规范 要点 3 分式方程的增根与无解 (1)增根:是去分母后的整式方程的解,同时也使得分式方程的分母等于 0; (2)无解的两种情况: ①分式方程化为整式方程后,整式方程无解􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解; ②分式方程化为整式方程后,整式方程的解是分式方程的增根􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解. 随堂练习 解方程:2x -5 x-2 = 3x-3 x-2 -3. 解:去分母、去括号得 2x-5=3x-3-3x+6, 移项、合并同类项得 2x=8,系数化为 1 得 x=4, 检验:把 x=4 代入最简公分母(x-2),得 x-2=4-2=2≠0, 故原分式方程的解为 x=4. 温馨提示:请完成《分层作业本》P16 习题 52 基础夯实练·广西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 6　 分式方程的实际应用 (4 年 2 考) 要点归纳 类型 1 购买问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…多 /少 /贵 / …”“…与􀪍…相等􀪍􀪍(同)” . 例 1　 某商场准备购进 A,B 两种书包,每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 10 元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,用􀪍 600 元购进 A 种书包的个数是用 350 元购进 B 种书包个数的 2 倍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则 A,B 两种书 包每个进价各是多少元? 审:基本数量关系式:总费用 单价 =数量. 设:设 A 种书包每个进价为 x 元, 列:依题意,得④　 　 　 　 　 　 , (根据两种书包数量的倍数关系列方程) 解:解得⑤　 x=60　 , 总费用(元) 单价(元) 数量(个) A 种 600 x ①　 　 　 B 种 350 ②　 　 　 ③　 　 　 验:⑥　 经检验,x=60 是原分式方程的解,且符合题意　 　 　 　 　 , ⑦　 则 B 种书包每个的进价为 x+10=70(元) 　 　 　 　 　 　 　 , 答:⑧　 A种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 　 . 注:双检验———①检验是否是分式方程的解;②检验是否符合实际问题. 类型 2 行程问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…晚 /少用 /提前 / …”“…先出发􀪍􀪍􀪍,…同时􀪍􀪍到达”“相遇”. 例 2　 [人教八上 P154 第 3 题改编]甲、乙两人分别从距目的地 6 千米􀪍􀪍􀪍和 10 千米􀪍􀪍􀪍􀪍的两地同 时出发,甲、乙的速度比是 3 ∶ 4􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,结果甲比乙提前 20 分钟􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍到达目的地,设甲的速度 为 3x 千米 /时,则所列方程是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 3x +20 = 10 4x B. 6 3x = 10 4x +20 C. 6 3x +20 60 = 10 4x D. 6 3x = 10 4x +20 60 审:基本数量关系式:路程 速度 =时间. 设:已知设出甲的速度为 3x 千米 /时. 列:依题意,得􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 　 　 . (根据甲乙 同时出发,到达目的地的时间差列方程) 【答案】􀃊􀁉􀁕　 C　 路程 (千米) 速度 (千米 / 时) 时间 (时) 甲 6 3x ⑨　 　 　 乙 10 ⑩　 　 　 􀃊􀁉􀁓　 　 　 62 基础夯实练·广西数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 类型 3 工程问题 例 3　 [人教八上 P152 例 3]两个工程队共同参与一项筑路工程,①甲队单独施工 1 个月完􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 成总工程的 1 3 , 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 这时②增加了乙队,两队又共同工作了半个月 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,总工程全部完成. 哪 个队的施工速度快? 审:工作总量看作“1”,工作总量=工作效率×工作时间. ①甲单独施工的工作量:􀃊􀁉􀁖　 　 　 　 ;甲单独施工的工作时间:1 个月,可得甲的工作 效率= 􀃊􀁉􀁗　 　 　 　 ; ②乙的工作时间􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 个月,甲、乙共同工作的时间为􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 个月; 甲的工作总量为􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 ;由①②可得甲、乙工作总量和为 1. 设:设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 1 x . 列:􀃊􀁉􀁛　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 解:解得􀃊􀁊􀁒　 x=1　 , 验:􀃊􀁊􀁓　 经检验,x=1 是原分式方程的解,且符合实际　 , ∴ 乙队单独施工 1 个月可完成全部任务. 答:􀃊􀁊􀁔　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 随堂练习 1. 为了实施乡村振兴,某企业帮扶火红村发展林果产业,先后两次购进同种果树苗,第一次 购树苗用去 12 000 元,第二次用去 10 000 元,第一次树苗的单价是第二次树苗单价的 1. 5 倍,第二次购进树苗的数量比第一次多 100 棵. 设第二次树苗单价为 x 元,则可列方 程:　 　 　 　 　 　 　 　 . 2. [人教八上 P153 例 4 改编]中国高铁已成为一张世界名片 . 经过技术改进,某次列车平 均提速 20 km / h,列车提速前行驶 540 km 所用的时间,提速后可多行驶 60 km,求 这次列车提速前的平均速度 . 设这次列车提速前的平均速度为 x km / h,则可列方 程:　 　 　 　 　 　 　 　 . 3. 【2022 年版课标新增内容】某施工队挖掘一条长 96 米的隧道,开工后每天比原计划多挖 掘 2 米,结果提前 4 天完成任务,求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数. 小明同 学根据题意列出方程:96 x - 96 x+2 =4,则方程中未知数 x 表示　 原计划每天挖掘隧道的长度　 . 变式 3-1 　 某施工队要挖掘一条长 120 米的隧道,因为采取了新的施工工艺,开工后每天挖 掘的长度是原计划的 4 3 倍,结果比原计划提前 5 天完成任务,则原计划每天挖掘的长度 为　 6　 　 　 米. 温馨提示:请完成《分层作业本》P17 习题 72 解法二:-5y= -10,y= 2,将 y= 2 代入②中,x= 5, x= 5, y= 2{ 随堂练习 1. C　 2. 2　 变式 2-1　 2　 变式 2-2 　 1 3. 解:(1) 2x+3y= 12,① x+1 = 2y,②{ 由②得 x= 2y-1,③ 把③代入①,得 2(2y-1)+3y= 12, 解得 y= 2, 把 y= 2 代入③,得 x= 3, ∴ 原方程组的解为 x= 3, y= 2.{ (2) 5x-2y= 3,① 4x+3y= 7,②{ ①×3,得 15x-6y= 9,③ ②×2,得 8x+6y= 14,④ ③+④,得 23x= 23, 解得 x= 1, 将 x= 1 代入②,得 4+3y= 7, 解得 y= 1, ∴ 原方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100- x= 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、 85 吨　 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1 3. 7. 2 km / h,2. 6 km / h　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 5. B 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等　 ⑤- b 2a ⑥没有　 ⑦a= 1　 ⑧6　 ⑨5　 ⑩16>0　 􀃊􀁉􀁓 -6± 16 2 　 􀃊􀁉􀁔x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁕x+5　 􀃊􀁉􀁖x+1　 􀃊􀁉􀁗x+5　 􀃊􀁉􀁘x+1　 􀃊􀁉􀁙x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁚- b a 　 􀃊􀁉􀁛 c a 随堂练习 1. 16,36,6 2. (1)解:由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)解:a= 2,b= -5,c= 2, b2 -4ac= (-5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)解:由原方程得 x(x-7)+8(x-7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x-7 = 0,或 x+8 = 0, ∴ x1 = 7,x2 = -8. 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4) a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 要点归纳 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③4(1+x) 2 = 4. 84 ④(a-2x)(b-2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x·m -x 2 ⑦x·m +1-x 2 　 ⑧2　 ⑨(40-2x)(26-x)= 144×6　 ⑩ax 􀃊􀁉􀁓ax2 　 􀃊􀁉􀁔(1+x)　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 2 随堂练习 1. 10　 2. B 命题点 5　 分式方程及其解法 随堂练习 解:去分母、去括号得 2x-5 = 3x-3-3x+6, 移项、合并同类项得 2x= 8, 系数化为 1 得 x= 4, 检验:把 x = 4 代入最简公分母( x- 2),得 x- 2 = 4 - 2 = 2≠0, 故原分式方程的解为 x= 4. 命题点 6　 分式方程的实际应用 要点归纳 ①600 x 　 ②x+10　 ③ 350 x+10 　 ④600 x = 2× 350 x+10 　 ⑤x = 60　 ⑥经检验,x= 60 是原分式方程的解,且符合题意 ⑦则 B 种书包每个的进价为 x+10 = 70(元) ⑧A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 ⑨ 6 3x 　 􀃊􀁉􀁒4x　 􀃊􀁉􀁓10 4x 　 􀃊􀁉􀁔 6 3x +20 60 = 10 4x 　 􀃊􀁉􀁕C　 􀃊􀁉􀁖 1 3 　 􀃊􀁉􀁗 1 3 􀃊􀁉􀁘 1 2 　 􀃊􀁉􀁙 1 2 　 􀃊􀁉􀁚 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁉􀁛 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1 􀃊􀁊􀁒x= 1　 􀃊􀁊􀁓经检验,x= 1 是原分式方程的解,且符合实际 􀃊􀁊􀁔乙队的施工速度快 随堂练习 1. 12 000 1. 5x +100 = 1 0000 x 　 2. 540 x = 540+60 x+20 3. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式 3-1　 6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021