第15章 分式（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

第15章 分式（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、分式的定义 分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式． 分式中，A叫做分子，B叫做分母． 注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0. ③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式. 知识点二、分式的相关概念 1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0 2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0 3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 知识点三、分式的基本性质 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）. 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． ③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解. 知识点四、分式的约分与通分 1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）. 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 知识点五、分式的混合运算 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． 2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：． 3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． 4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． 5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 知识点六、整数指数幂（幂的运算的扩大） 1）前面已学习： ①，（m，n是正整数）； ②，（m，n是正整数） ③，（m是正整数）； ④，（a≠0，m、n是正整数，m>n） ⑤，（n是正整数）； ⑥ 若按照④运算，当m<n时。如：；根据指数幂的定义 2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，（a≠0） 注：无意义 3）幂的运算性质扩大 当a≠0时 ①，（m，n是整数）（公式1、4的扩展） ②，（m，n是整数）（公式2的扩展） ③，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展） 4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0， 根据定义 还可转化为乘法： 5）科学记数法的扩大 一般，一个小于1的数可以表示为a×的形式，其中 步骤：确定a值的大小。；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x 知识点七、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 知识点八、分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 知识点九、分式方程的增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 知识点十、分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 考点1：分式的有关概念 【例题1】（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母中含有公因数，不是最简分式，该选项不合题意； 、，分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 、是最简分式，该选项符合题意； 、分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，理解“分式且”是解题的关键． 根据题意令分子为零，即，解得；将代入，结果不为零，即可得出． 【详解】解：要使分式的值为0， ， 解得：， 当时，； 故答案：． 【变式3】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知非零实数满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2)23 【分析】本题考查代数式求值，涉及根据已知代数式值恒等变形求值，利用完全平方公式恒等变形求值，熟记完全平方公式、掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据题中已知代数式的值，恒等变形即可得到答案； （2）由（1）中，利用完全平方公式将配方，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：非零实数满足， ，即； （2）解：由（1）知， ． 考点2：分式的运算 【例题2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键掌握分式运算的法则． （1）根据平方差公式和完全平方公式把分子、分母因式分解，把除法转化成乘法，然后约分，即可得出答案． （2）原式先把除法变为乘法，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先化简、将除法变形为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的减法，再计算乘方，然后计算除法，最后计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将分子分母分解因式，再进行分式的约分即可求解； （2）先通分再进行分式的加减运算即可求解； （3）先将分子分母分解因式化简后再进行通分计算即可求解； （4）先将分式通分再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查分式的混合运算： （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果； （3）原式先计算乘方及除法运算，再计算加减运算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点3：负整数指数幂及科学记数法 【例题3】（24-25八年级上·北京·阶段练习）计算∶． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，先去绝对值，进行负整数指数幂和零指数幂的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂公式，负整数指数幂公式计算即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂公式，负整数指数幂公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了负整数指数幂的运算，熟练掌握和灵活运用知识是解题的关键． 首先根据负整数指数幂的运算法则计算，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【答案】(1)立方米 (2)块 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，科学记数法，积的乘方的应用，同底数幂的除法的应用，准确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式列式计算即可； （2）先算出小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积即可． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这块正方体铁块的体积是立方米； （2）解：（立方米）， （个）， 答：需要1000块这样的小正方体铁块． 考点4：解分式方程 【例题4】（24-25八年级上·河北沧州·期中）解分式方程时，去分母变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，先将分式化为同分母分式，再乘以公分母即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， 两边同时乘以得：， 故选：B． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）分式与的最简公分母是 ，分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了解分式方程．根据最简公分母的定义可确定分式与的最简公分母；把原分式方程化为整式方程，再检验，即可求解． 【详解】解：∵， ∴分式与的最简公分母是， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为：； 【变式2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）解分式方程∶ 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：， 检验，经检验，是原方程的解 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得：， 即， 解得：， 经检验，当时，， 故原方程无解； （2）解： 方程两边同时乘以得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 考点5：分式方程的应用 【例题5】（24-25八年级上·山东东营·期中）“五•一”期间，几名同学共同包租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为（　　） A．8人 B．10人 C．12人 D．30人 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，准确理解题意是解题的关键．设原来人数为x人，根据结果每位同学少分摊3元列分式方程，求解即可． 【详解】解：设原来人数为x人，由题意得 ， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：原来旅游同学有8人， 故选：A． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）一个人步行从地出发，匀速向地走去；同时另一个人骑摩托车从地出发，匀速向地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从地直接驶往地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者的速度比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了行程问题在分式方程中的应用．如果设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为，两地相距，那么根据时间路程速度，可知骑摩托车者从地直接驶往地原计划所用时间为，而实际他在途中所用的时间可看作三段时间的和．当他骑摩托车从地出发，匀速向地驶去，与步行者在途中相遇用去时间；他把步行者送到地又用去时间；他再向地驶去又用去时间，这三段时间的和是骑车者原计划所用时间的2.5倍，即，根据这个等量关系列出方程，求出的值即可． 【详解】解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为，两地相距． 由题意，有， ， 解得， 经检验是原方程的根， ． 即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖南常德·期中）某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的倍，用这台机器生产个零件比个工人生产这些零件少用小时，则这台机器每小时生产 个零件． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．设一个工人每小时生产零件个，则机器一个小时生产零件个，根据这台机器生产个零件比个工人生产这些零件少用小时，列方程求解即可． 【详解】解：设一个工人每小时生产零件个，则机器一个小时生产零件个， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则． 即这台机器每小时生产个零件． 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）A种糖的单价为18元/千克，B种糖的单价为30元/千克，商店将10千克A种糖和30千克B种糖混合而成什锦糖． (1)求该什锦糖的单价； (2)商店要使该什锦糖的单价降低1元，请通过计算确定需加入A，B两种糖中的哪一种糖？且需要加入多少千克． 【答案】(1)27元/千克 (2)加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）根据总费用除以总质量进行计算即可； （2）根据“什锦糖的价格降低1元”列方程求解； 【详解】（1）解：（元/千克）， 答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克； （2）若加A种糖x千克，则有： ， 解得：， 经检验：是这个方程的解； 若加B种y千克，则有： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，不合题意，舍去； 答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元 考点6：三个思想 思想1：数形结合思想 【例题6】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在数轴上，表示的值的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的化简和数轴表示的点，利用平方差公式通分、约分即可求得值，结合数轴上点的位置即可． 【详解】解： ． 且点在数轴上表示的数为1． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（　　）    A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式求值，根据求出的值，然后再判断接近的数据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴表示的点落在段③内， 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是和，且点A，B到原点的距离相等，则x的值为 ． 【答案】 【分析】由点A，B到原点的距离相等，，得到它们对应的数互为相反数，根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值. 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解. 故答案为：. 【点睛】此题考查了解分式方程，相反数，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 【变式3】（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知如图，A、B、C三点在数轴上对应的数分别是，1，． (1)用含x的代数式表示线段长； (2)若点B是线段的中点，求点A表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式及数轴，解分式方程，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． （2）根据点是线段的中点，得出点和点所表示数和一半与点所表示的数，据此可解决问题． 【详解】（1）解：因为、两点在数轴上对应的数分别是，1， 所以； （2）解：因为点是线段的中点， 所以， 解得， 经检验是原方程的解， 所以， 故点表示的数是． 思想2：整体思想 【例题7】（23-24八年级上·全国·课堂例题）先化简，再求值：，其中．[提示：可以将看做一个整体] 【答案】，． 【分析】把底数化为，再按照单项式的乘法与除法运算进行计算即可． 【详解】解： 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法与除法运算，积的乘方运算，单项式的乘法与除法运算，熟记运算法则是解本题的关键 【变式1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：_______； (2)计算：_______； (3)已知． ①若，求m的值； ②计算：______． 【答案】(1) (2)2024 (3)①；② 【分析】（1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）由已知推出，，①分子分母同除以，再化简求解即可；②将原式整理，将代入得到，再整理再代入得到，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：将看成一个整体，令， 则 ； 故答案为：； （2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则 ； 故答案为：2024； （3）解：∵， ∴，即， ∴，， ①∵，， ∴，即， ∴， ∴， 经检验，是方程的解； ② ． 【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是看懂例题，掌握整体思想 【变式2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的x，y的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 请你用上述方法解决问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据题目中的整体代入思想，把已知代入，可得答案； （2）利用完全平方公式将变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式和分式的运算以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则、完全平方公式，并运用整体代入解决问题 【变式3】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1；5 【分析】（1）将“”看成一个整体，模仿例1求解； （2）令，，将原式变形，即可求解； （3）将中的1用替代，即可求解；将代入将原式变形为，再将代入，进一步将原式变形为，由此可解． 【详解】（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解：， ； ， ． 【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题 思想3：建模思想 【例题8】（2024八年级上·全国·专题练习）从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同，且速度速度b） 【答案】乙旅客 【分析】本题考查了分式的加减，正确列出算式是解答本题的关键．设甲乙两人走的路程为x，表示出两人用的时间，比较即可做出判断． 【详解】解：设甲乙两人走的路程为x， 甲用的时间为，乙用的时间为， ∵ ， ∴， 则乙旅客先到达目的地． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元 (2)该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据题意可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最小值为67， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【变式2】（24-25八年级上·山东·期末）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路天． (1)求乙队筑路的总公里数； (2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为，求乙队平均每天筑路多少公里． 【答案】(1)乙队筑路的总千米数为80千米； (2)乙队平均每天筑路千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的乘法的应用，关键是弄懂题意，找出题中的数量关系，根据数量关系确定等量关系． （1）根据乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的倍列式计算即可得； （2）设甲队平均每天筑路千米，则乙队平均每天筑路千米，根据题意可得等量关系：甲队筑路用的天数乙队筑路用的天数，列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：（千米）， ∴乙队筑路的总千米数为80千米； （2）解：设甲队平均每天筑路千米，则乙队平均每天筑路千米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ， 答：乙队平均每天筑路千米 【变式3】（24-25八年级上·四川眉山·期中）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． (1)求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 【答案】(1)甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元 (2)120个 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，根据“购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个”列出方程求解即可； （2） 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，根据“总金额不超过1300元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元． （2）设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个， 依题意得：， 解得：， 答：最多购进120个甲种月饼． 一、单选题 1．（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.0000007用科学记数法表示应为， 故选：C． 2．（2016·甘肃白银·中考真题）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，若设现在平均每天生产机器x台，根据题意可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列分式方程，设现在平均每天生产机器x台，则原计划平均每天生产台，根据生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设现在平均每天生产机器x台，则原计划平均每天生产台， 由题意可得：， 故选：C． 3．（2024·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 5．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 二、填空题 6．（2024·山东日照·中考真题）计算： 【答案】1 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值，零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解：原式， ． 故答案为：1 7．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 三、解答题 8．（2024·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 9．（2024·江苏徐州·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题： (1)计算： (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据绝对值的定义，算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂的运算法则，即可求解， （2）括号中两项通分，利用除法法则，约分得到最简结果，将代入，即可求解， 本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 当时，原式． 11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 【答案】该市谷时电价元/度 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得， ， 解得：，经检验是原方程的解， 答：该市谷时电价元/度． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知，则表示的值的点落在数轴上的位置位于（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，能正确把变形为是解此题的关键．代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解：， ， ， 落在段①， 故选：A 3．（24-25八年级上·北京·阶段练习）若分式有意义．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为的条件是分子为且分母不为． 先根据分式的值为的条件，列出关于的不等式组，求出的值即可． 【详解】解：∵分式的值为， ， 解得， 故选：C． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据分式的基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，改变分子、分母、分式本身三者中两个的符号，原分式的值不变，即可判断． 【详解】解：A、，故变形正确，符合题意； B、，故变形不正确，不符合题意； C、，故变形不正确，不符合题意； D、，故变形不正确，不符合题意； 故选：A． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）下列各式是最简分式的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可． 【详解】解：A、中，分子、分母不含公因式，原式是最简分式，故本选项正确； B、，原式不是最简分式，故本选项错误； C、，原式不是最简分式，故本选项错误； D、，原式不是最简分式，故本选项错误； 故选：A． 8．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先将分式方程移项，去分母，合并同类项得，再由原方程无解得，联立方程组，求解即可． 【详解】解：原方程移项得：， 去分母得：， 合并同类项得：， 原方程无解， ， 解得， 故选：B． 9．（24-25八年级上·北京·阶段练习）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可． 【详解】解：，解得：， 由题意，得：且， ∴且， 解得：且； 故选D． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的运算，解决本题的关键是根据分式的运算法则进行计算，根据计算的结果判断即可． 【详解】解：A选项：，故A选项不符合题意； B选项：，故B选项符合题意； C选项：，故C选项不符合题意； D选项：，故D选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如果式子有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握方式有意义的条件即“当分母不为零时，分式有意义”是解本题的关键．根据分式的分母不为零，即即可解答． 【详解】解：有意义， ． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把0.0000201用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：0.0000201用科学记数法表示为， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）在，，，，中，属于分式的有 个． 【答案】2 【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关． 本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 【详解】解：根据题意，得是分式的是，共有2个， 故答案为：2． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式方程的解为正整数，则整数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求出参数，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程的解为正整数，列出关于的方程，解方程求出，再判断分式方程有无意义，从而求出答案即可，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， ∴， ∵分式方程的解为正整数，为整数， ∴或， 解得或， ∵当时，，此时，分式方程无意义， ∴， ∴整数的值为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1得到，再由分式方程无解得到，确定关于的方程求解即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 关于的方程无解， ，即，则， 解得， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·全国·期末）当，时， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 17．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的性质，关键是把原式利用完全平方公式进行整理．根据题意，得到，将已知等式变形为，再利用完全平方公式变形，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴ 故答案为：． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）某星期日，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家和小新家到中山公园的距离分别是和，小明步行前往，小新骑共享单车前往．已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15min到达．若设小明步行的速度为，则根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要查了分式方程的实际应用．设小明步行的速度为，则骑共享单车的速度为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设小明步行的速度为，则骑共享单车的速度为，根据题意得：． 故答案为： 三、解答题 19．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解后，验根即可得到答案． （1）先去分母，再去括号，合并同类项，移项即可得到答案，注意分式方程需要验根； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1即可得到答案，注意分式方程需要验根． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 合并同类项得， ， 检验：当时，， 原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，，即是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把除法转化为乘法，把分子、分母约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 21．（23-24八年级·全国·课后作业）细菌是非常小的微生物，其中杆菌可以算较大的个体，但让70个杆菌“头尾相连”排成一列，刚抵上一根直径为的头发丝的宽度，这种杆菌每个大约有多长？ 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，用直径除以总个数，再用科学记数法表示即可得到答案． 【详解】解：． 故这种杆菌每个大约有长． 22．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】先由，结合平方非负性、二次根式非负性得到，再由分式混合运算将化简，再将代入化简后的式子求解即可得到答案． 【详解】解：满足， 由、可知当、才能使， ， ， 将代入，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及分式混合运算、平方非负性、二次根式非负性及非负式和为零的条件等知识，熟练掌握非负式和为零的条件及分式化简求值方法是解决问题的关键． 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)已知分式 ，当时，分式无意义；当时，分式的值为零，求的值； (2)当为何整数时，分式的值是整数？ 【答案】(1) (2)，，，，，，， 【分析】本题考查分式无意义，分式的值为0，分式的求值： （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为零，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可； （2）根据为整数，得到求解即可． 【详解】（1）当 时，分式 无意义， ， 解得 ； 当 时，分式的值为零， ， 解得 ， ． （2）要使分式 的值是整数， 则 ． 24．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知关于的分式方程有增根，求的值． （2）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【答案】（1）3；（2）m的值为3或0或4 【分析】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． （1）解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； （2）解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 26．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”；若不是，打“”．①（   ）；②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”， 求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， ①的答案是； 当，时， 分式方程，解得， ， ②的答案是； 故答案为：；； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，解得， ， ，解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 分式（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、分式的定义 分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式． 分式中，A叫做分子，B叫做分母． 注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0. ③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式. 知识点二、分式的相关概念 1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0 2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0 3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 知识点三、分式的基本性质 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）. 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． ③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解. 知识点四、分式的约分与通分 1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）. 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 知识点五、分式的混合运算 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． 2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：． 3）分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． 4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． 5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算． 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 知识点六、整数指数幂（幂的运算的扩大） 1）前面已学习： ①，（m，n是正整数）； ②，（m，n是正整数） ③，（m是正整数）； ④，（a≠0，m、n是正整数，m>n） ⑤，（n是正整数）； ⑥ 若按照④运算，当m<n时。如：；根据指数幂的定义 2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，（a≠0） 注：无意义 3）幂的运算性质扩大 当a≠0时 ①，（m，n是整数）（公式1、4的扩展） ②，（m，n是整数）（公式2的扩展） ③，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展） 4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0， 根据定义 还可转化为乘法： 5）科学记数法的扩大 一般，一个小于1的数可以表示为a×的形式，其中 步骤：确定a值的大小。；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x 知识点七、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 知识点八、分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 知识点九、分式方程的增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 知识点十、分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 考点1：分式的有关概念 【例题1】（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）当 时，分式的值为0． 【变式3】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知非零实数满足． (1)求的值； (2)求的值． 考点2：分式的运算 【例题2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) 考点3：负整数指数幂及科学记数法 【例题3】（24-25八年级上·北京·阶段练习）计算∶． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算： 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 考点4：解分式方程 【例题4】（24-25八年级上·河北沧州·期中）解分式方程时，去分母变形为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）分式与的最简公分母是 ，分式方程的解是 ． 【变式2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）解分式方程∶ 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 考点5：分式方程的应用 【例题5】（24-25八年级上·山东东营·期中）“五•一”期间，几名同学共同包租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为（　　） A．8人 B．10人 C．12人 D．30人 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）一个人步行从地出发，匀速向地走去；同时另一个人骑摩托车从地出发，匀速向地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从地直接驶往地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者的速度比是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南常德·期中）某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的倍，用这台机器生产个零件比个工人生产这些零件少用小时，则这台机器每小时生产 个零件． 【变式3】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）A种糖的单价为18元/千克，B种糖的单价为30元/千克，商店将10千克A种糖和30千克B种糖混合而成什锦糖． (1)求该什锦糖的单价； (2)商店要使该什锦糖的单价降低1元，请通过计算确定需加入A，B两种糖中的哪一种糖？且需要加入多少千克． 考点6：三个思想 思想1：数形结合思想 【例题6】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在数轴上，表示的值的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（　　）    A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【变式2】（22-23八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是和，且点A，B到原点的距离相等，则x的值为 ． 【变式3】（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知如图，A、B、C三点在数轴上对应的数分别是，1，． (1)用含x的代数式表示线段长； (2)若点B是线段的中点，求点A表示的数． 思想2：整体思想 【例题7】（23-24八年级上·全国·课堂例题）先化简，再求值：，其中．[提示：可以将看做一个整体] 【变式1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：_______； (2)计算：_______； (3)已知． ①若，求m的值； ②计算：______． 【变式2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的x，y的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 请你用上述方法解决问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式3】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 思想3：建模思想 【例题8】（2024八年级上·全国·专题练习）从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同，且速度速度b） 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【变式2】（24-25八年级上·山东·期末）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路天． (1)求乙队筑路的总公里数； (2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为，求乙队平均每天筑路多少公里． 【变式3】（24-25八年级上·四川眉山·期中）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． (1)求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？ 一、单选题 1．（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 2．（2016·甘肃白银·中考真题）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，若设现在平均每天生产机器x台，根据题意可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 5．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．（2024·山东日照·中考真题）计算： 7．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 三、解答题 8．（2024·陕西·中考真题）解方程：． 9．（2024·江苏徐州·中考真题）计算： (1)； (2)． 10．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题： (1)计算： (2)当时，求代数式的值． 11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知，则表示的值的点落在数轴上的位置位于（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 3．（24-25八年级上·北京·阶段练习）若分式有意义．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据分式的基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）下列各式是最简分式的是（） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 9．（24-25八年级上·北京·阶段练习）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 10．（2024八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如果式子有意义，则x的取值范围为 ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把0.0000201用科学记数法表示为 ． 13．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）在，，，，中，属于分式的有 个． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式方程的解为正整数，则整数的值为 ． 15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 16．（24-25八年级上·全国·期末）当，时， ． 17．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，求的值为 ． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）某星期日，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家和小新家到中山公园的距离分别是和，小明步行前往，小新骑共享单车前往．已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15min到达．若设小明步行的速度为，则根据题意可列方程 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4)． 21．（23-24八年级·全国·课后作业）细菌是非常小的微生物，其中杆菌可以算较大的个体，但让70个杆菌“头尾相连”排成一列，刚抵上一根直径为的头发丝的宽度，这种杆菌每个大约有多长？ 22．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值：，其中满足． 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)已知分式 ，当时，分式无意义；当时，分式的值为零，求的值； (2)当为何整数时，分式的值是整数？ 24．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知关于的分式方程有增根，求的值． （2）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 26．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”；若不是，打“”．①（   ）；②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”， 求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$